A. Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) =
Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→
A. 45° B. 90° C. 120° D.60°
Hướng dẫn giải:
Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).
Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?
A. 90° B. 60° C. 45° D. 120°
Hướng dẫn giải
Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:
(do ABCD là hình vuông)
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:
A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°
Hướng dẫn giải
Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương
Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .
Lại có, DA’ song song CB’ nên
(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.
Chọn C
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
Hướng dẫn giải
Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :
(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'
Chọn B
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°
B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°
C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°
D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°.
Khẳng định B sai. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD
Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD
Từ (1) và (2) suy ra:
Do đó IJEF là hình thoi
Suy ra (IE; JF) = 90°.
Chọn D
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.
Ta có:
Gọi O là giao điểm của MN và IJ.
Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .
Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?
A. 120° B. 90° C. 60° D.45°
Hướng dẫn giải
Chọn B
+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều
Tương tự tam giác ABD đều.
⇒ BC = BD (= AB)
+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :
BC = AC.
AD = BD
CD chung
⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ
⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
⇒ IJ ⊥ AB.
⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°
Được cập nhật: 14 tháng 4 lúc 16:56:52 | Lượt xem: 2898
