Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn chi tiết chuyên đề Tích vô hướng hai vecto
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
-
![Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 10]()
-
![Đề cương ôn tập Toán lớp 10]()
-
![Đề cương ôn tập Toán hình học lớp 10 trường THPT Giai Xuân]()
-
![100 Bài tập tự ôn vào 10 toán hay]()
-
![Tài liệu ôn tập HKII năm học 2020-2021 môn Toán 10, trường THPT Xuân Đỉnh - Hà Nội]()
-
![Hướng dẫn ôn tập học kì 2 Toán 10 năm 2020 – 2021 trường Vinschool – Hà Nội]()
-
![Nội dung ôn tập học kì 2 Toán 10 năm 2020 – 2021 trường THPT Việt Đức – Hà Nội]()
-
![Đề cương ôn tập HK2 Toán 10 năm 2020 – 2021 trường THPT Kim Liên – Hà Nội]()
-
![Một số bài toán Bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 năm 2021]()
-
![Đề cương ôn thi HKI Toán 10, trường THPT Xuân Đỉnh - Hà Nội năm học 2020-2021.]()
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Chương
2
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
y
0
0
TỪ 0 ĐẾN 180
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc
1800 , ta xác định
00
điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho
xOM . Giả sử
điểm M có tọa độ x ; y .
Khi đó:
y
x
sin
y; cos
x; tan
(
90 0 ); cot
(
0 0,
180 0 ) Các
x
y
số sin , cos , tan , cot được gọi là giá trị lượng giác của góc .
O
Hình 2.1
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M OP ;OQ .
Với 00
1800 ta có 0
sin
1;
1
cos
1
Dấu của giá trị lượng giác:
Góc
sin
cos
tan
cot
2. Tính chất
Góc phụ nhau
sin(900
) cos
cos(90
0
tan(90
0
)
900
00
)
sin
cos
tan
cot
)
cos
0
)
tan
cot(1800
)
cot
tan(180
00
300
450
600
0
1
2
2
2
1
3
2
2
2
3
2
1
2
0
3
3
1
3
3
1
3
3
sin
0
cos(180
cot
+
Góc bù nhau
sin(1800
)
cot(900
) tan
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Góc
1800
+
+
+
+
sin
M(x;y)
Q
900 1200
1350
3
2
1
2
2
2
2
2
3
2
–1
3
1
3
3
0
0
3
3
1
3
1
0
4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1
1500
1
2
1800
0
P
x
sin
(
cos
cos
2) cot
(
sin
3) tan .cot
1(
900 ) ;
1) tan
4) sin2
cos2
5) 1
tan2
6) 1
cot2
00 ; 1800 )
00 ; 900 ; 1800 )
1
1
cos2
1
sin2
(
900 )
(
00 ; 1800 )
Chứng minh:
- Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
- Ta có sin
OQ, cos
Suy ra sin2
cos2
OP
OQ
2
OP
+ Nếu
00 ,
900 hoặc
+ Nếu
00 ,
900 và
sin2
cos2
Vậy ta có sin2
2
Mặt khác 1
tan
Tương tự 1
cot2
OP 2
cos2
1
1
OQ 2
OP 2
1800 thì dễ dàng thấy sin2
cos2
1
1800 khi đó theo định lý Pitago ta có
OQ 2
1
2
sin2
cos2
cos2
sin2
OQ 2
QM 2
cos2
OM 2
sin2
cos
2
sin2
cos2
sin2
Câu 1. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. tan 180o a tan a .
1
cos2
1
sin2
1
suy ra được 5)
suy ra được 6)
B. cos 180o a cos a .
C. sin 180o a sin a .
D. cot 180o a cot a .
Lời giải
Chọn B.
Lý thuyết “cung hơn kém 180 ”
Câu 2. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. sin 180 sin .
B. cos 180 cos
C. tan 180 tan .
D. cot 180 cot
Lời giải
Chọn D.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 3. Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. sin sin .
B. cos cos .
C. tan tan .
D. cot cot .
Lời giải
Chọn D.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 4. Cho góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin 0 .
B. cos 0 .
C. tan 0 .
D. cot 0 .
Lời giải
Chọn D.
Câu 5. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
2
A. sin sin 180 .
B. cos cos 180 .
C. tan tan 180 .
D. cot cot 180 .
Lời giải
Chọn B.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 6. Hai góc nhọn và phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
A. sin cos .
C. cot
B. tan cot .
1
.
cot
D. cos sin .
Lời giải
Chọn D.
cos cos 90 sin .
Câu 7. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. sin150
3
.
2
B. cos150
3
.
2
C. tan150
1
.
3
D. cot150 3
Lời giải
Chọn C.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. sin 90 sin100 .
B. cos95 cos100 . C. tan 85 tan125 . D. cos145 cos125 .
Lời giải
Chọn B.
Câu 9. Giá trị của tan 45 cot135 bằng bao nhiêu?
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
Lời giải
D. 1 .
3.
D. 1 .
Chọn B.
tan 45 cot135 1 1 0
Câu 10. Giá trị của cos30 sin 60 bằng bao nhiêu?
A.
3
.
3
B.
3
.
2
C.
Lời giải
Chọn C.
3
3
3.
2
2
Câu 11. Giá trị của E sin 36 cos 6 sin126 cos84 là
cos 30 sin 60
A.
1
.
2
B.
3
.
2
C. 1 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
E sin 36 cos 6 sin 90 36 cos 90 6 sin 36 cos 6 cos 36 sin 6 sin 30
1
2
Câu 12. Giá trị của biểu thức A sin 2 51 sin 2 55 sin 2 39 sin 2 35 là
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D.
A sin 2 51 sin 2 39 sin 2 55 sin 2 35 sin 2 51 cos 2 51 sin 2 55 cos 2 55 2 .
Câu 13. Giá trị của cos 60 sin 30 bằng bao nhiêu?
3
A.
3
.
2
B.
3.
C.
3
.
3
D. 1
2
.
3
D. 2 .
Lời giải
Chọn D.
1 1
1.
2 2
Câu 14. Giá trị của tan 30 cot 30 bằng bao nhiêu?
Ta có cos 60 sin 30
A.
4
.
3
B.
1 3
.
3
C.
Lời giải
Chọn A.
3
4 3
3
.
3
3
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A. sin 0 cos 0 1 .
B. sin 90 cos90 1 .
C. sin180 cos180 1 .
D. sin 60 cos 60 1 .
Lời giải
Chọn D.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. cos 60 sin 30 .
B. cos 60 sin120 . C. cos30 sin120 . D. sin 60 cos120 .
Lời giải
Chọn B.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Đẳng thức nào sau đây sai?
A. sin 45 sin 45 2 .
B. sin 30 cos 60 1 .
C. sin 60 cos150 0 .
D. sin120 cos30 0 .
Lời giải
Chọn D.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Cho hai góc nhọn và ( ) . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos cos .
B. sin sin .
C. tan tan 0 . D. cot cot .
Lời giải
Chọn B.
Biểu diễn lên đường tròn.
Cho ABC vuông tại A , góc B bằng 30 . Khẳng định nào sau đây là sai?
tan 30 cot 30
Câu 15.
Câu 16.
Câu 17.
Câu 18.
Câu 19.
A. cos B
1
.
3
B. sin C
3
.
2
C. cos C
1
.
2
D. sin B
1
2
Lời giải
Chọn A.
3
.
2
Câu 20. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. cos 75 cos50 .
B. sin 80 sin 50 .
C. tan 45 tan 60 .
Lời giải
Chọn A.
Lý thuyết.
Câu 21. Cho biết sin cos a . Giá trị của sin .cos bằng bao nhiêu?
A. sin .cos a 2 .
B. sin .cos 2a .
cos B cos 30
4
D. cos30 sin 60 .
C. sin .cos
1 a2
.
2
D. sin .cos
a2 1
.
2
Lời giải
Chọn D.
a2 1
.
2
2
cot 3 tan
Câu 22. Cho biết cos . Tính giá trị của biểu thức E
?
3
2 cot tan
19
19
25
25
A. .
B.
.
C.
.
D.
13
13
13
13
Lời giải
Chọn B.
3
2
2
cot 3 tan 1 3 tan 2 3 tan 1 2 cos 2
3 2 cos 2 19
E
.
2
1
2 cot tan 2 tan 2
1
cos
13
1 1 tan 2
1
cos 2
Câu 23. Cho biết cot 5 . Tính giá trị của E 2cos2 5sin cos 1 ?
10
100
50
101
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
26
26
26
26
Lời giải
Chọn D.
1
1
101
E sin 2 2cot 2 5cot 2
3cot 2 5cot 1
.
2
sin 1 cot
26
Câu 24. Đẳng thức nào sau đây là sai?
a 2 sin cos 1 2sin cos sin cos
2
A. cos x sin x cos x sin x 2, x .
2
2
C. sin 4 x cos 4 x 1 2sin 2 x cos 2 x, x .
B. tan 2 x sin 2 x tan 2 x sin 2 x, x 90
D. sin 6 x cos6 x 1 3sin 2 x cos 2 x, x
Lời giải
Chọn D.
sin 6 x cos6 x sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 x cos 2 x .
Câu 25. Đẳng thức nào sau đây là sai?
1 cos x
sin x
A.
x 0 , x 180 .
sin x
1 cos x
1
B. tan x cot x
x 0 ,90 ,180
sin x cos x
1
C. tan 2 x cot 2 x
2 x 0 ,90 ,180
2
2
sin x cos x
2
2
D. sin 2 x cos 2 x 2 .
Lời giải
Chọn D.
sin 2 2 x cos 2 2 x 1 .
Câu 26. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
B. sin 2 cos 2
A. sin 2 cos 2 1 .
1.
2
D. sin 2 2 cos2 2 1 .
Lời giải
C. sin 2 cos 2 1 .
Chọn D.
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 27. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
5
A. sin 2 cos 2 1 .
B. sin 2 cos 2
2
1 . C. sin 2 cos 2 1 . D. sin 2 cos 2 1 .
Lời giải
Chọn D.
Công thức lượng giác cơ bản.
2
Câu 28. Cho biết cos . Tính tan ?
3
A.
5
.
4
5
B. .
2
C.
5
.
2
D.
5
.
2
Lời giải
Chọn D.
Do cos 0 tan 0 .
5
1
5
.
tan 2 tan
2
cos
4
2
Câu 29. Giá trị của biểu thức A tan1 tan 2 tan 3...tan 88 tan 89 là
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn D.
A tan1.tan 89 . tan 2.tan 88 ... tan 44.tan 46 .tan 45 1 .
Ta có: 1 tan 2
Câu 30.
D. 1 .
Tổng sin 2 2 sin 2 4 sin 2 6 ... sin 2 84 sin 2 86 sin 2 88 bằng
A. 21 .
B. 23 .
C. 22 .
Lời giải
Chọn C.
S sin 2 2 sin 2 4 sin 2 6 ... sin 2 84 sin 2 86 sin 2 88
sin 2 2 sin 2 88 sin 2 4 sin 2 86 ... sin 2 44 sin 2 46
D. 24 .
sin 2 2 cos 2 2 sin 2 4 cos 2 4 ... sin 2 44 cos 2 44 22 .
Câu 31. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. sin 2 cos 2 1 . B. sin 2 cos 2 1 .C. sin 2 cos 2 1 . D. sin 2 cos2 1 .
Lời giải
Chọn D.
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 32. Biết sin a cos a 2 . Hỏi giá trị của sin 4 a cos4 a bằng bao nhiêu ?
3
1
A. .
B. .
C. 1 .
D. 0 .
2
2
Lời giải
Chọn B.
1
2
Ta có: sin a cos a 2 2 sin a cos a sin a.cos a .
2
2
1 1
sin a cos a sin a cos a 2sin a cos a 1 2 .
2
2
4
4
6
6
Câu 33. Biểu thức f x 3 sin x cos x 2 sin x cos x có giá trị bằng:
4
A. 1 .
4
2
2
2
2
C. 3 .
Lời giải
B. 2 .
Chọn A.
sin 4 x cos4 x 1 2sin 2 x cos 2 x .
sin 6 x cos6 x 1 3sin 2 x cos2 x .
f x 3 1 2sin 2 x cos 2 x 2 1 3sin 2 x cos 2 x 1 .
6
D. 0 .
Câu 34. Biểu thức: f x cos 4 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x có giá trị bằng
A. 1 .
C. 2 .
Lời giải
B. 2 .
D. 1 .
Chọn A.
f x cos 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 1 .
Câu 35. Biểu thức tan 2 x sin 2 x tan 2 x sin 2 x có giá trị bằng
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn B.
tan 2 x sin 2 x tan 2 x sin 2 x tan 2 x sin 2 x 1 sin 2 x
D. 1 .
sin 2 x
cos 2 x sin 2 x 0 .
cos 2 x
Câu 36. Giá trị của A tan 5.tan10.tan15...tan 80.tan 85 là
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
Lời giải
Chọn B.
A tan 5.tan 85 . tan10.tan 80 ... tan 40 tan 50 .tan 45 1 .
Câu 37. Chọn mệnh đề đúng?
A. sin 4 x cos4 x 1 2cos 2 x .
C. sin 4 x cos4 x 1 2sin 2 x .
D. 1 .
B. sin 4 x cos4 x 1 2sin 2 x cos 2 x .
D. sin 4 x cos4 x 2cos 2 x 1 .
Lời giải
Chọn A.
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 cos 2 x cos 2 x 1 2 cos 2 x .
Câu 38. Giá trị của B cos2 73 cos2 87 cos 2 3 cos 2 17 là
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn B.
B cos 2 73 cos 2 17 cos 2 87 cos 2 3 cos 2 73 sin 2 73 cos 2 87 sin 2 87 2 .
1
3sin 4 cos
Câu 39. Cho cot . Giá trị của biểu thức A
là:
3
2sin 5cos
15
15
A. .
B. 13 .
C.
.
D. 13 .
13
13
Lời giải
Chọn D.
3sin 4sin .cot 3 4 cot
A
13 .
2sin 5sin .cot 2 5cot
2
cot 3 tan
Câu 40. Cho biết cos . Giá trị của biểu thức E
bằng bao nhiêu?
3
2 cot tan
25
11
11
25
A. .
B. .
C. .
D. .
3
13
13
3
Lời giải
Chọn C.
3
2
4
2
cot 3 tan 1 3 tan 2 4 3 tan 1
cos 2 4 cos 3 11 .
E
2 cot tan 2 tan 2
3cos 2 1
3
3 1 tan 2 3 1
2
cos
2
2
Câu 41. Cho tan cot m . Tìm m để tan cot 7 .
A. m 9 .
B. m 3 .
C. m 3 .
D. m 3 .
Lời giải
7
Chọn D.
2
7 tan 2 cot 2 tan cot 2 m2 9 m 3 .
Câu 42. Biểu thức cot a tan a bằng
2
A.
1
1
.
2
sin cos 2
B. cot 2 a tan 2 a2 .
C.
1
1
.
2
sin cos 2
D. cot 2 a tan 2 a 2 .
Lời giải
Chọn C.
cot a tan a
2
cot 2 a 2 cot a.tan a tan 2 a cot 2 a 1 tan 2 a 1
Câu 43. Rút gọn biểu thức sau A tan x cot x tan x cot x
2
A. A 4 .
B. A 1 .
1
1
.
2
sin a cos 2 a
2
C. A 2 .
Lời giải
D. A 3
Chọn A.
A tan 2 x 2 tan x.cot x cot 2 x tan 2 x 2 tan x.cot x cot 2 x 4 .
Câu 44. Đơn giản biểu thức G 1 sin 2 x cot 2 x 1 cot 2 x .
B. cos 2 x .
A. sin 2 x .
C.
1
.
cos x
D. cos x .
Lời giải
Chọn A.
G 1 sin 2 x 1 cot 2 x 1 sin 2 x.cot 2 x 1 1 cos 2 x sin 2 x .
sin x
ta được
1 cos x
1
1
B.
.
C.
.
cos x
sin x
Lời giải
Câu 45. Đơn giản biểu thức E cot x
A. sin x .
Chọn C.
E cot x
cos x 1 cos x sin x.sin x
sin x
cos x
sin x
1 cos x sin x 1 cos x
sin x 1 cos x
cos x 1 cos x 1 cos 2 x
sin x 1 cos x
Câu 46. Rút gọn biểu thức sau A
A. A 1 .
D. cos x .
cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
sin x 1 cos x
cot 2 x cos 2 x sin x.cos x
.
cot 2 x
cot x
B. A 2 .
C. A 3 .
Lời giải
1
.
sin x
D. A 4
Chọn A.
cot 2 x cos 2 x sin x.cos x
cos 2 x sin x.cos x
A
1
1 sin 2 x sin 2 x 1 .
2
2
cot x
cot x
cot x
cot x
1
Câu 47. Cho biết tan . Tính cot .
2
1
1
A. cot 2 .
B. cot 2 .
C. cot .
D. cot .
4
2
Lời giải
Chọn A.
1
tan .cot 1 cot x
2.
tan x
Câu 48. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
8
A. sin x cos x 12sin x cos x .
2
B. sin 4 x cos4 x 12sin 2 x cos2 x .
C. sin x cos x 1 2sin x cos x .
2
Chọn D.
3
sin 6 x cos6 x sin 2 x cos 2 x
D. sin 6 x cos6 x 1sin 2 x cos2 x .
Lời giải
sin
3
2
3
x cos 2 x 3 sin 2 x cos 2 x .sin 2 x.cos 2 x
1 3sin 2 x.cos 2 x .
Câu 49. Khẳng định nào sau đây là sai?
1
sin 0 .
sin 2
1
D. 1 tan 2
cos 0 .
cos 2
Lời giải
B. 1 cot 2
A. sin 2 cos2 1 .
C. tan .cot 1 sin .cos 0 .
Chọn C.
sin x cos x
.
1.
cos x sin x
1 sin 2 x
Câu 50. Rút gọn biểu thức P
ta được
2sin x.cos x
1
1
A. P tan x .
B. P cot x .
2
2
tan .cot
C. P 2cot x .
Lời giải
Chọn B.
1 sin 2 x
cos 2 x
cos x 1
P
cot x .
2sin x.cos x 2sin x.cos x 2sin x 2
9
D. P 2 tan x .
Chương
2
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
a) Góc giữa hai vectơ.
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA
a và OB
b . Số đo góc
AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b .
+ Quy ước : Nếu a
+ Kí hiệu: a ;b
0 hoặc b
0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 00 đến 1800 ).
b) Tích vô hướng của hai vectơ.
Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a.b
a b .cos(a,b) .
2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a, b, c và mọi số thực k ta luôn có:
1) a.b
b.a
2) a(b
c)
3) (ka )b
a.b
a.c
k (a.b)
2
a(kb)
2
4) a
0, a
0
a
Chú ý: Ta có kết quả sau:
0
+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a
+ a.a
a
+ (a
b)2
2
a
a
2
2
b
a.b
0
gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a .
2a.b
2
b , (a
b)(a
b)
a
2
b
2
3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn.
a) Công thức hình chiếu.
Cho hai vectơ AB , CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có
ABCD
.
A ' B '.CD
b) phương tích của một điểm với đường tròn.
Cho đường tròn O ; R và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu
.
thức MAMB
được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn O ; R . Kí hiệu là PM / O .
MAMB
.
MO 2
Chú ý: Ta có PM / O
3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ a
1) a.b
2) a
(x1; y1 ) và b
x1x 2
(x ; y )
3) cos(a, b)
R2
MT 2 với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M
(x 2 ; y2 ) . Khi đó
y1y2
|a |
x2
y2
x 1x 2
a.b
x 12
a b
y1y2
y12 x 22
y22
Hệ quả:
+a
b
x1x 2
y1y2
0
10
+ Nếu A(x A; yA ) và B(xB ; yB ) thì AB
(x B
x A )2
yA )2
(yB
3
Câu 1. Trong mp Oxy cho A 4;6 , B 1; 4 , C 7; . Khảng định nào sau đây sai
2
9
A. AB 3; 2 , AC 3; .
B. AB. AC 0 .
2
13
C. AB 13 .
D. BC
.
2
Lời giải
Chọn D
Phương án A: AB 3; 2 , nên loại A.
Phương án B: AB. AC 0 nên loại B.
9
Phương án C : AB 13 nên loại C. AC 3;
2
2
Câu 2.
5
5 13
Phương án D: Ta có BC 6; suy ra BC 62 nên chọn D.
2
2
2
Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn
kết quả đúng:
B. a.b 0 .
A. a.b a . b .
C. a.b 1 .
D. a.b a . b .
Lời giải
Chọn A
Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.
Bài toán cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 suy ra a, b 00
Do đó a.b a . b .cos 0o a . b nên chọn A
Câu 3.
Cho các vectơ a 1; 2 , b 2; 6 . Khi đó góc giữa chúng là
A. 45o .
B. 60o .
D. 135o .
C. 30o .
Lời giải
Chọn A
a.b
Ta có a 1; 2 , b 2; 6 , suy ra cos a; b
Câu 4.
a.b
Cho OM 2; 1 , ON 3; 1 . Tính góc của OM , ON
B.
A. 135o .
2
.
2
10
2
a; b 45o .
2
5. 40
C. 135o .
D.
2
.
2
Lời giải
Chọn A
Ta có cos OM , ON
Câu 5.
OM . ON
5
2
OM , ON 135o .
2
5. 10
Trong mặt phẳng Oxy cho a 1;3 , b 2;1 . Tích vô hướng của 2 vectơ a.b là:
A. 1.
Câu 6.
OM .ON
B. 2.
C. 3.
Lời giải
Chọn A
Ta có a 1;3 , b 2;1 , suy ra a.b 1. 2 3.1 1.
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
11
D. 4.
A. a 2; 1 và b 3; 4 .
B. a 3; 4 và b 3; 4 .
C. a 2; 3 và b 6;4 .
D. a 7; 3 và b 3; 7 .
Lời giải
Chọn C
Phương án A: a.b 2. 3 1 .4 10 0 suy ra A sai.
Phương án B: a.b 3. 3 4 .4 0 suy ra B sai.
Phương án C: a.b 2. 6 3.4 0 a b suy ra C đúng.
Phương án D: a.b 7.3 3 . 7 42 0 suy ra D sai.
Câu 7.
Cho 2 vec tơ a a1; a2 , b b1; b2 , tìm biểu thức sai:
1
D. a.b a b a b .
2
A. a.b a1.b1 a2 .b2 .
C. a.b
B. a.b a . b .cos a, b .
2
1 2
a b2 a b .
2
2
2
2
Lời giải
Chọn C
Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng a.b a1.b1 a2 .b2 nên loại A
Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ a.b a . b .cos a, b nên loại B
Câu 8.
2
1 2
1
a b 2 a b a 2 b 2 a 2 b 2 2ab ab nên chọn C.
2
2
Cho tam giác đều ABC cạnh a 2 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
Phương án C:
C. AB BC . AC 4 .
B. BC .CA 2 .
A. AB. AC BC 2 BC .
D. BC AC .BA 2 .
Lời giải
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.
Phương án A: AB. AC AB. AC cos 60o 2 x AB. AC BC 2 BC nên loại A.
Phương án B: BC.CA BC. AC cos120o 2 nên loại B.
Phương án C: AB BC . AC AC. AC 4 , BC.CA 2.2.cos120o 2 nên chọn C.
Cho tam giác ABC cân tại A , A 120o và AB a . Tính BA.CA
a2
a2
a2 3
a2 3
A. .
B. .
C.
.
D.
.
2
2
2
2
Lời giải
Chọn B
1
Ta có BA.CA BA.CA.cos120o a 2 .
2
Câu 10. Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB. AC 0 .
B. AB. AC AC . AB .
C. AB. AC BC AB AC.BC .
D. AB. AC BA.BC .
Câu 9.
Lời giải
Chọn D
Phương án A: Do AB. AC AB. AC.cos 60o 0 nên loại A.
AB. AC 0
Phương án B:
AB. AC AC. AB nên loại B.
AC. AB 0
12
Phương án C: Do AB. AC BC và AB AC.BC không cùng phương nên loại C.
a2
nên chọn D.
2
Câu 11. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 1;1 , C 5; 1 .Tính cos A
Phương án D: AB AC BC a , AB. AC BA.BC
2
.
5
A.
B.
1
.
5
C.
1
.
5
D.
2
.
5
Lời giải
Chọn B
Ta
cos A=
có
AB. AC
AB. AC
AB 2; 1 ,
2 .4 1 . 3
2
2
2
2 1 . 42 3
AC 4; 3
suy
ra
5
1
.
5 25
5
Câu 12. Cho hình vuông ABCD tâm O . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
1
A. OA.OB 0 .
B. OA.OC OA. AC .
2
C. AB. AC AB.CD .
D. AB. AC AC . AD .
Lời giải
Chọn C
Phương án A: OA OB suy ra OA.OB 0 nên loại A.
1
1
Phương án B: OA.OC 0 và OA. AC 0 suy ra OA.OC OA. AC 0 nên loại B.
2
2
2
Phương án C: AB. AC AB. AC.cos 45o AB. AB 2.
AB 2 .
2
0
2
AB.CD AB.DC.cos180 AB AB. AC AB.CD nên chọn C.
Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 1 , B 3;1 , C 6;0 . Khảng định nào sau đây đúng.
A. AB 4; 2 , AC 1;7 .
B. B 135o .
Lời giải
Chọn B
Phương án A: do AB 4;2 nên loại A
Phương án B:
Ta có AB 4;2 suy ra
AB 20 ,
C. AB 20 .
BA 4; 2 ;
D. BC 3 .
BC 3; 1 BC 10 .
BA.BC
10
1
B 135o nên chọn B.
BA.BC
20. 10
2
Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. DA.CB a 2 .
B. AB.CD a 2 .
C. AB BC . AC a 2 .
D. AB. AD CB.CD 0 .
cos B
Lời giải
Chọn B
Phương án A:Do DA.CB DA.CB.cos 00 a 2 nên loạiA.
Phương án B:Do AB.CD AB.CD.cos180o a 2 nên chọn B.
Câu 15. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB 4a , đáy nhỏ CD 2a , đường cao AD 3a ; I
là trung điểm của AD . Câu nào sau đây sai?
A. AB.DC 8a 2 .
B. AD.CD 0 .
C. AD. AB 0 .
D. DA.DB 0 .
Lời giải
Chọn D
13
Phương án A: AB.DC AB.DC.cos 0o 8a 2 nên loại A.
Phương án B: AD CD suy ra AD.CD 0 nên loại B.
Phương án C: AD AB suy ra AD. AB 0 nên loại C.
Phương án D: DA không vuông góc với DB suy ra DA.DB 0 nên chọn D .
Câu 16. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB 4a , đáy nhỏ CD 2a , đường cao AD 3a ; I
là trung điểm của AD . Khi đó IA IB .ID bằng :
A.
9a 2
.
2
B.
9a 2
.
2
D. 9a 2 .
C. 0 .
Lời giải
Chọn B
9a 2
nên chọn B.
2
Câu 17. Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH , BK ; vẽ HI AC. Câu nào sau đây
đúng?
A. BA.BC 2 BA.BH .
B. CB.CA 4CB.CI .
C. AC AB .BC 2 BA.BC .
D.Cả ba câu trên.
Ta có IA IB .ID IA IA AB .ID 2 IA.ID
Lời giải
Chọn D
Phương án A: BC 2 BH BA.BC 2 BA.BH nên đẳng thức ở phương án A là đúng.
Phương án B: CA 4CI CB.CA 4CB.CI nên đẳng thức ở phương án B là đúng.
AC AB .BC BC.BC a 2
Phương án C:
AC AB .BC 2 BA.BC nên đẳng thức ở
1
2
2 BA.BC 2.a.a. a
2
phương án C là đúng.
Vậy chọn D.
Câu 18. Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH , BK ; vẽ HI AC. Câu nào sau đây
đúng?
a2
a2
a2
A. AB AC .BC a 2 . B. CB.CK
.
C. AB. AC .
D. CB.CK
.
8
2
2
Lời giải
Chọn C
a2 a2
0 nên loại A
Phương án A:do AB AC .BC AB.BC AC.BC
2 2
a2
Phương án B:do CB.CK CB.CK .cos 0o
nên loại B
2
a2
o
AB
.
AC
AB
.
AC
.cos
60
Phương án C:do
nên chọn C
2
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. AB. AD 0.
B. AB. AC a 2 .
C. AB.CD a 2 .
D. ( AB CD BC ).AD a 2 .
Lời giải
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án.
Phương án A: AB AD AB. AD 0 nên loại A.
Phương án B: AB. AC AB. AC.cos 45o a 2 nên loại B.
Phương án C: AB.CD a.a.cos180o a 2 nên chọn C.
14
Câu 20. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B 50o . Hệ thức nào sau đây là sai?
A. AB, BC 130o .
B. BC , AC 40o .
C. AB, CB 50o .
D. AC , CB 120o .
Lời giải
Chọn D
Phương án A: AB, BC 1800 AB, CB 130o nên loại A.
Phương án B: BC , AC CB, CA 40 nên loại B.
Phương án C: AB, CB BA, BC 50 nên loại C.
Phương án D: AC , CB 180 CA, CB 140 nên chọn D.
Trong mặt phẳng O; i, j cho 2 vectơ : a 3i 6 j và b 8i 4 j. Kết luận nào sau đây sai?
o
o
0
Câu 21.
A. a.b 0.
o
B. a b .
C. a . b 0 .
D. a.b 0 .
Lời giải
Chọn C
a 3;6 ; b 8; 4
Phương án A: a.b 24 24 0 nên loại A
Phương án B: a.b 0 suy ra a vuông góc b nên loại B
Phương án C: a . b 32 62 . 82 4 0 nên chọn C.
2
Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 2 , B 4;1 , C 5; 4 . Tính BAC ?
A. 60o .
B. 45o .
D. 120o .
C. 90o .
Lời giải
Chọn B
Ta
có
AB 3; 1 ,
AC 4;2
suy
ra
cos AB; AC
AB. AC
10
2
AB. AC
2
10. 20
AB; AC 45o .
Câu 23. Cho các vectơ a 1; 3 , b 2;5 . Tính tích vô hướng của a a 2b
A. 16 .
B. 26 .
D. 16 .
C. 36 .
Lời giải
Chọn D
Ta có a.a 10 , a.b 13 suy ra a a 2b 16 .
Câu 24. Cho hình vuông ABCD, tính cos AB, CA
1
A. .
2
1
B. .
2
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Lời giải
Chọn D
Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc AB, CA sau đó mới tính cos AB, CA
2
.
2
Câu 25. Cho hai điểm A 3, 2 , B 4,3 . Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam giác
Vì AB, CA 180o AB, CA 135o cos AB, CA
MAB vuông tại M
A. M 7;0 .
B. M 5;0 .
C. M 3;0 .
Lời giải
Chọn C
15
D. M 9;0 .
Ta có A 3, 2 , B 4,3 , gọi M x;0 , x 0 . Khi đó AM x 3; 2 , BM x 4; 3 .
x 2 l
M 3;0 .
Theo YCBT AM .BM 0 x 2 x 6 0
x
3
Câu 26. Cho A 2; 5 , B 1; 3 , C 5; 1 . Tìm tọa độ điểm K sao cho AK 3BC 2CK
A. K 4;5 .
B. K 4;5 .
Chọn B
Gọi K x; y với x, y
C. K 4; 5 .
Lời giải
D. K 4; 5
.
Khi đó AK x 2; y 5 , 3BC 12; 12 , 2CK 2 x 10;2 y 2 .
x 2 12 2 x 10
x 4
K 4;5 .
Theo YCBT AK 3BC 2CK nên
y 5 12 2 y 2
y 5
Câu 27. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC a 2 .Tính CA.CB
A. CA.CB a 2 .
C. CA.CB
B. CA.CB a .
a 2
2
.
D. CA.CB a 2 .
Lời giải
Chọn A
2
a2 .
2
Câu 28. Cho hình vuông ABCD có cạnh a . Tính AB. AD
Ta có CA.CB a.a 2.
B. a .
A. 0 .
a2
C. .
2
Lời giải
D. a 2 .
Chọn A
Ta có AB. AD a.a.cos90o 0 .
Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy , cho a 2; 1 và b 3; 4 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là 10 . B.Độ lớn của vectơ a là 5 .
C.Độ lớn của vectơ b là 5 .
D.Góc giữa hai vectơ là 90o .
Lời giải
Chọn D
Ta có a 22 1 5 nên B đúng.
2
b
3
2
42 5 nên C đúng.
a.b 2. 3 1 .4 10 0 nên A đúng, D sai.
Câu 30. Cho M là trung điểm AB , tìm biểu thức sai:
A. MA. AB MA. AB .
B. MA.MB MA.MB .
C. AM . AB AM . AB .
D. MA.MB MA.MB .
Lời giải
Chọn D
Phương án A: MA, AB ngược hướng suy ra MA. AB MA. AB.cos180o MA. AB nên loại A.
Phương án B: MA, MB ngược hướng suy ra MA.MB MA.MB.cos180o MA.MB nên loại B.
Phương án C: AM , AB cùng hướng suy ra AM . AB AM . AB.cos 0o AM . AB nên loại C.
Phương án D: MA, MB ngược hướng suy ra MA.MB MA.MB. cos180o MA.MB nên chọn D.
Câu 31. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC . Tính AH .CA
16
A.
3a 2
.
4
3a 2
.
4
B.
C.
3a 2
.
2
D.
3a 2
.
2
Lời giải
Chọn B
a 3
3a 2
.
.a.cos150o
2
4
Câu 32. Biết a , b 0 và a.b a . b . Câu nào sau đây đúng
Ta có AH .CA AH .CA.cos AH , CA
A. a và b cùng hướng.
B. a và b nằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc 120o .
C. a và b ngược hướng.
D. A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn C
Ta có a.b a . b a . b cos a, b a . b cos a, b 1 nên a và b ngược hướng
Câu 33. Tính a, b biết a.b
A. 120o .
1
a .b , (a , b 0)
2
B. 135o .
C. 150o .
Lời giải
D. 60o .
Chọn A
1
1
1
a.b a . b a . b cos a, b a . b cos a, b nên a, b 120o
2
2
2
Câu 34. Cho tứ giác lồi ABCD có AD 6 cm . Đặt v AB DC CB .Tính v. AD
B. 24 cm 2 .
A. 18 cm 2 .
C. 36 cm 2 .
Lời giải
D. 48 cm 2 .
Chọn C
v AB DC CB AB CD BC AD suy ra v. AD AD2 36 cm2 .
Câu 35. Cho 2 vectơ a và b có a 4 , b 5 và a, b 120o .Tính a b
B. 61 .
A. 21 .
C. 21 .
Lời giải
D. 61 .
Chọn A
Ta có a b
a b
2
2
2
a b 2a.b
2
2
a b 2 a b cos a, b 21 .
Câu 36. Cho tam giác ABC có cạnh BC 6 cm và đường cao AH , H ở trên cạnh BC sao cho
BH 2HC .Tính AB.BC
A. 24 cm 2 .
B. 24 cm 2 .
C. 18 cm 2 .
Lời giải
D. 18 cm2 .
Chọn A
Ta có AB.BC AH HB .BC AH .BC HB.BC HB.BC 24 cm 2 .
Câu 37. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 1;1 , C 5; 1 .Tính AB. AC
A. 7 .
B. 5 .
C. 7 .
Lời giải
D. 5 .
Chọn D
Ta có AB. AC 2 .4 1 . 3 5 .
Câu 38. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;1 , B 1;3 , C 1; 1 . Khảng định nào sau đây đúng.
A. AB 4;2 , BC 2; 4 .
B. AB BC .
17
C. Tam giác ABC vuông cân tại A .
D. Tam giác ABC vuông cân tại B .
Lời giải
Chọn C
Phương án A: do AB 2;2 nên loại A.
Phương án B: AB 2;2 , BC 0; 4 , AB.BC 8 suy ra AB không vuông góc BC nên loại
B.
Phương án C : Ta có AB 2;2 , AC 2; 2 , BC 0; 4 , suy ra AB AC 8 ,
AB. AC 0 .Nên Tam giác ABC vuông cân tại A .Do đó chọn C.
Câu 39. Cho a 1; 2 , b 1; 3 . Tính a, b .
A. a, b 120o .
B. a, b 135o .
C. a, b 45o .
D. a, b 90o .
Lời giải
Chọn C
Ta có cos a, b
a.b
1. 1 2 . 3
12 1 .
2
a.b
1 3
2
2
5
5 10
1
a, b 45o .
2
Câu 40. Cho tam giác ABC vuông tại A có B 60o , AB a . Tính AC.CB
A. 3a 2 .
B. 3a2 .
C. 3a .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
3
2
Ta có AC.CB AC.BC.cos150o a 3.2a.
3a .
2
Câu 41. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC 12 cm . M là trung điểm AC . Tính BM .CA
B. 144 cm2 .
A. 144 cm2 .
D. 72 cm2 .
C. 72 cm2 .
Lời giải
Chọn D
BM .CA BA AM .CA BA.CA AM .CA AM .CA 72 cm 2
Câu 42. Cho tam giác ABC có đường cao BH ( H ở trên cạnh AC ).Câu nào sau đây đúng
A. BA.CA BH .HC .
B. BA.CA AH .HC . C. BA.CA AH . AC . D. BA.CA HC. AC .
Lời giải
Chọn C
Ta có BA.CA BH HA .CA BH .CA HA.CA HA.CA AH . AC nên chọn C.
Câu 43. Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏa a b 2 . Hãy xác định 3a 4b 2a 5b
A. 7 .
Chọn C
C. 7 .
Lời giải
B. 5 .
a b 1, a b 2 a b
2
D. 5 .
2
2
4 a.b 1 , 3a 4b 2a 5b 6a 20b 7a.b 7 .
Câu 44. Cho tam giác ABC . Lấy điểm M trên BC sao cho AB. AM AC. AM 0 .Câu nào sau đây đúng
A. M là trung điểm của BC .
B. AM là đường phân giác của góc A .
C. AM BC .
D. A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn C
Ta có AB. AM AC. AM 0 AM AB AC 0 AM .CB 0 nên AM BC .
Câu 45. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB 4a , đáy nhỏ CD 2a , đường cao AD 3a .Tính
DA.BC
18
A. 9a 2 .
B. 15a 2 .
D. 9a 2
C. 0 .
Lời giải
Chọn A
Vì DA.BC DA. BA AD DC DA. AD 9a 2 nên chọn A.
Câu 46. Cho tam giác ABC vuông tại C có AC 9 , BC 5 . Tính AB. AC
A. 9 .
B. 81 .
C. 3 .
D. 5 .
Lời giải
ChọnB
Ta có AB. AC AC CB . AC AC. AC CB. AC AC. AC 81 nên chọn B.
Câu 47. Cho hai vectơ a và b . Biết
A. 7 3 .
3 và a, b 120o .Tính a b
a =2 , b =
B. 7 3 .
C. 7 2 3 .
Lời giải
D. 7 2 3 .
Chọn C
a b
Ta có a b
2
2
2
2
a b 2a.b
2
a b 2 a b cos a, b 7 2 3 .
2
Câu 48. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM là :
B. Đường tròn B; BC .
A.Đường tròn đường kính BC .
C. Đường tròn C ; CB .
D. Một đường khác.
Lời giải
Chọn A
2
2
CM .CB CM CM .CB CM 0 CM .MB 0 .
Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC .
Câu 49. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB CA.CB là :
A. Đường tròn đường kính AB .
B.Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC .
D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB .
Lời giải
Chọn B
CM .CB CA.CB CM .CB CA.CB 0 CM CA .CB 0 AM .CB 0 .
Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
Câu 50. Cho hai điểm A 2, 2 , B 5, 2 . Tìm M trên tia Ox sao cho AMB 90o
A. M 1, 6 .
B. M 6, 0 .
C. M 1, 0 hay M 6, 0 .
D. M 0,1 .
Lời giải
Chọn C
Gọi M x;0 , với x . Khi đó AM x 2; 2 , BM x 5;2 . Theo YCBT ta có
x 1 M 1;0
AM .BM 0 x 2 x 5 4 x 2 7x 6 0
,nên chọn C.
x 6 M 6;0
19
Chương
2
§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC
a2
b2
c2
2bc.cos A
b2
c2
a2
2ca.cos B
c2 a 2
Hệ quả:
b2
2ab.cosC
a, AC
b và AB
c . Ta có :
A
b
c
b2
c2 a 2
2bc
B
c2 a 2 b2
cos B
2ca
a 2 b2 c2
cos C
2ab
2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC
cos A
C
a
Hình 2.6
a, AC
b , AB
c và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp. Ta có :
a
b
c
2R
sin A
sin B
sin C
3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.
Ta có :
c2 ) a 2
m
4
2
2(
a
c2 ) b2
mb2
4
2
2(
a
b2 ) c2
mc2
4
4. Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA,
2
a
2(b 2
AB; R, r
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p
diện tích tam giác. Khi đó ta có:
1
1
1
bhb
ch
S = aha
2
2
2 c
1
1
ca sin B
= bc sin A
2
2
abc
=
4R
= pr
=
Câu 1.
p(p
a )(p
b)(p
1
ab sin C
2
c) (công thức Hê–rông)
Cho ABC có b 6, c 8, A 600 . Độ dài cạnh a là:
20
a
b
2
c
là nửa chu vi tam giác; S là
A. 2 13.
Câu 2.
B. 3 12.
C. 2 37.
Lời giải
D.
20.
Chọn A.
Ta có: a 2 b2 c2 2bc cos A 36 64 2.6.8.cos600 52 a 2 13 .
Cho ABC có S 84, a 13, b 14, c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam
giác trên là:
A. 8,125.
B. 130.
C. 8.
D. 8,5.
Lời giải
Chọn A.
a.b.c
a.b.c 13.14.15 65
R
.
4R
4S
4.84
8
Cho ABC có a 6, b 8, c 10. Diện tích S của tam giác trên là:
Ta có: SABC
Câu 3.
A. 48.
B. 24.
C. 12.
Lời giải
D. 30.
Chọn B.
abc
.
2
Áp dụng công thức Hê-rông: S p( p a)( p b)( p c) 12(12 6)(12 8)(12 10) 24 .
Ta có: Nửa chu vi ABC : p
Câu 4.
Cho ABC thỏa mãn : 2cos B 2 . Khi đó:
A. B 300.
B. B 600.
C. B 450.
Lời giải
D. B 750.
Chọn C.
Ta có: 2cos B 2 cos B
Câu 5.
Cho ABC vuông tại B và có C 250 . Số đo của góc A là:
A. A 650.
Câu 6.
2
B 450.
2
B. A 600.
C. A 1550.
Lời giải
D. A 750.
Chọn A.
Ta có: Trong ABC A B C 1800 A 1800 B C 1800 900 250 650 .
Cho ABC có B 600 , a 8, c 5. Độ dài cạnh b bằng:
A. 7.
B. 129.
C. 49.
Lời giải
D. 129 .
Chọn A.
Ta có: b 2 a 2 c 2 2ac cos B 82 52 2.8.5.cos 600 49 b 7 .
Câu 7.
Cho ABC có C 450 , B 750 . Số đo của góc A là:
A. A 650.
Câu 8.
C. A 600.
Lời giải
D. A 750.
Chọn C.
Ta có: A B C 1800 A 1800 B C 1800 750 450 600.
Cho ABC có S 10 3 , nửa chu vi p 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam
giác trên là:
A. 3.
B. 2.
C. 2.
D. 3 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: S pr r
Câu 9.
B. A 700
S 10 3
3.
p
10
Cho ABC có a 4, c 5, B 1500. Diện tích của tam giác là:
21
A. 5 3.
B. 5.
C. 10.
Lời giải
D. 10 3.
Chọn B.
1
1
2
2
Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cos A 1 . Khi đó:
Ta có: SABC a.c.sin B .4.5.sin1500 5.
A. A 300.
B. A 450.
C. A 1200.
Lời giải
D. A 600.
Chọn D.
1
2
Ta có: 2cos A 1 cos A A 600.
Câu 11. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cos A
A.
7 2
.
2
3
. Đường cao ha của tam giác ABC là
5
B. 8.
C. 8 3.
D. 80 3.
Lời giải
Chọn A.
3
5
Ta có: a 2 b2 c 2 2bc cos A 72 52 2.7.5. 32 a 4 2.
Mặt khác: sin 2 A cos 2 A 1 sin 2 A 1 cos 2 A 1
9 16
4
sin A (Vì sin A 0 ).
25 25
5
4
7.5.
1
1
bc sin A
5 7 2 .
Mà: SABC b.c.sin A a.ha ha
2
2
a
2
4 2
Câu 12. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
b2 c2 a 2
.
2
4
2
2
a b c2
.
C. ma2
2
4
a 2 c2 b2
.
2
4
2
2
2c 2b a 2
.
D. ma2
4
Lời giải
A. ma2
B. ma2
Chọn D.
b2 c 2 a 2 2b2 2c 2 a 2
.
2
4
4
Câu 13. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai:
Ta có: ma2
A.
a
2R .
sin A
B. sin A
a
.
2R
C. b sin B 2 R .
D. sin C
c sin A
.
a
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
a
b
c
2 R.
sin A sin B sin C
Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
1
1
A. S bc sin A .
B. S ac sin A .
2
2
1
C. S bc sin B .
2
Lời giải
1
D. S bc sin B .
2
Chọn A.
1
1
1
Ta có: S bc sin A ac sin B ab sin C .
2
2
2
Câu 15. Cho tam giác ABC có a 8, b 10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là ?
A. c 3 21 .
B. c 7 2 .
C. c 2 11 .
22
D. c 2 21 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: c 2 a 2 b 2 2a.b.cos C 82 102 2.8.10.cos 600 84 c 2 21 .
Câu 16. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
1
2
A. SABC a.b.c .
C. cos B
B.
b2 c 2 a 2
.
2bc
a
R.
sin A
D. mc2
2b2 2a 2 c 2
.
4
Lời giải
Chọn D.
Câu 17. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng ?
A. AB2 AC 2 BC 2 2 AC.AB cos C .
C. AB 2 AC 2 BC 2 2 AC.BC cos C .
B. AB 2 AC 2 BC 2 2 AC.BC cos C .
D. AB2 AC 2 BC 2 2 AC.BC cos C .
Lời giải
Chọn C.
Câu 18. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. cos B cos C 2cos A.
B. sin B sin C 2sin A.
1
C. sin B sin C sin A .
D. sin B cos C 2sin A.
2
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
bc
a
b
c
b
c
bc
bc
2R 2
sin B sin C 2sin A.
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
2sin A sin B sin C
Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ?
A. sin( A B 2C ) sin 3C.
C. sin( A B) sin C.
BC
A
sin .
2
2
A B 2C
C
D. cos
sin .
2
2
Lời giải
B. cos
Chọn D.
Ta có:
A B C 1800
A B 2C
C
C
BC
0 C
BC
900 cos
cos 90 cos
sin .
2
2
2
2
2
2
Câu 20. Gọi S ma2 mb2 mc2 là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
3
4
A. S (a 2 b 2 c 2 ) .
B. S a 2 b 2 c 2 .
3
C. S (a 2 b 2 c 2 ) .
2
D. S 3(a2 b2 c2 ) .
Lời giải
Chọn A.
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 a 2 b2 c 2 3 2
(a b 2 c 2 ).
2
4
2
4
2
4 4
Câu 21. Độ dài trung tuyến mc ứng với cạnh c của ABC bằng biểu thức nào sau đây
Ta có: S ma2 mb2 mc2
A.
b2 a 2 c2
.
2
4
C.
1
2
2b
2
2a 2 c 2 .
23
B.
b2 a 2 c2
.
2
4
D.
b2 a 2 c2
.
4
Lời giải
Chọn C.
b2 a 2 c 2
b2 a 2 c 2 1
mc
(2b 2 2a 2 ) c 2 .
Ta có: m
2
4
2
4 2
Câu 22. Tam giác ABC có cos B bằng biểu thức nào sau đây?
b2 c2 a 2
a 2 c2 b2
.
.
A.
B. 1 sin 2 B .
C. cos( A C ).
D.
2bc
2ac
Lời giải
Chọn D.
2
c
Ta có: b2 a 2 c 2 2ac cos B cos B
a 2 c 2 b2
.
2ac
Câu 23. Cho tam giác ABC có a 2 b 2 c 2 0 . Khi đó :
A. Góc C 900
C. Góc C 900
B. Góc C 900
D. Không thể kết luận được gì về góc C.
Lời giải
Chọn B.
a 2 b2 c 2
.
2ab
Mà: a 2 b 2 c 2 0 suy ra: cos C 0 C 900 .
Ta có: cos C
Câu 24. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết :
A. Độ dài 3 cạnh
B. Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ
3
C. Số đo góc
D. Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ
Lời giải
Chọn C.
Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố
độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2 ).
Câu 25. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?
A. 84.
B.
84 .
C. 42.
Lời giải
D. 168 .
Chọn A.
a b c 13 14 15
21 .
2
2
Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 .
Ta có: p
Câu 26. Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là:
A. 16.
B. 8.
C. 4.
D. 4 2.
Lời giải
Chọn B.
a b c 26 28 30
42.
2
2
p ( p a )( p b)( p c)
42(42 26)(42 28)(42 30)
S
S pr r
8.
p
p
42
Ta có: p
Câu 27. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
A.
65
.
8
B. 40.
C. 32,5.
Lời giải
Chọn C.
a b c 52 56 60
84.
2
2
Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 84(84 52)(84 56)(84 60) 1344 .
Ta có: p
24
D.
65
.
4
abc
abc 52.56.60 65
R
.
4R
4S
4.1344
2
Câu 28. Tam giác với ba cạnh là 3,4,5. Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?
Mà S
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải
D. 2.
Chọn A.
a b c 3 45
6.
2
2
p ( p a )( p b)( p c)
6(6 3)(6 4)(6 5)
S
1.
Suy ra: S pr r
p
p
6
Ta có: p
Câu 29. Tam giác ABC có a 6, b 4 2, c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 . Độ dài đoạn
AM bằng bao nhiêu ?
1
A. 9 .
B. 9.
C. 3.
D.
108 .
2
Lời giải
Chọn C.
Ta có: Trong tam giác ABC có a 6 BC 6 mà BM 3 suy ra M là trung điểm BC .
Suy ra: AM 2 ma2
b2 c 2 a 2
9 AM 3 .
2
4
Câu 30. Cho ABC , biết a AB (a1; a2 ) và b AC (b1; b2 ) . Để tính diện tích S của ABC . Một
học sinh làm như sau:
a.b
( I ) Tính cos A
a .b
( II ) Tính sin A 1 cos A 1
2
a.b
a
2
2
.b
2
2
2
1
1
2
AB. AC.sinA
a b a.b
2
2
1
( IV ) S
a12 a22 b12 b22 a1b1 a2b2 2
2
1
2
S
a1b2 a2b1
2
( III ) S
1
S (a1b2 a2b1 )
2
Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào?
A. ( I )
B. ( II )
C. ( III )
D. ( IV )
Lời giải
Chọn A.
a.b
Ta có: cos A
.
a .b
Câu 31. Câu nào sau đây là phương tích của điểm M (1; 2) đối với đường tròn (C ) . tâm I (2;1) , bán
kính R 2 :
A. 6.
B. 8.
C. 0.
D. 5.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: MI (3;1) MI 10 .
Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C ) tâm I là:
25
MI 2 R 2
(2 1) 2 (1 2) 2
4 6.
2
Câu 32. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o 24' . Biết
CA 250 m, CB 120 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?
A. 266 m.
B. 255 m.
C. 166 m.
D. 298 m.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: AB 2 CA2 CB 2 2CB.CA.cos C 2502 1202 2.250.120.cos 78o 24' 64835 AB 255.
Câu 33. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
60 0 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2
giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ?
A. 13.
B. 15 13.
C. 10 13.
Lời giải
D. 15.
Chọn
Không có đáp án.
Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 30.2 60 km.
Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 40.2 80 km.
Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S S12 S22 2S1.S2 .cos 600 20 13.
Câu 34. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các
góc nhìn là 72012 ' và 340 26' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ?
A. 71 m.
B. 91 m.
C. 79 m.
D. 40 m.
Lời giải
Chọn B.
CD
CD
80
AD
25,7.
0
AD
tan 72 12' tan 72012'
CD
CD
80
BD
116,7.
Trong tam giác vuông CDB : tan 340 26'
0
BD
tan 34 26' tan 340 26'
Suy ra: khoảng cách AB 116,7 25,7 91 m.
Ta có: Trong tam giác vuông CDA : tan 72012'
Câu 35. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016 ' . Biết
CA 200 m , CB 180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?
A. 163 m.
B. 224 m.
C. 112 m.
D. 168 m.
Lời giải
Chọn
Không có đáp án
Ta có: AB 2 CA2 CB 2 2CB.CA.cos C 2002 1802 2.200.180.cos56016' 32416 AB 180.
Câu 36. Cho đường tròn (C ) đường kính AB với A(1; 2) ; B (2;1) . Kết quả nào sau đây là phương tích
của điểm M (1; 2) đối với đường tròn (C ) .
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 2.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: AB (3;3) AB 3 2 .
1 1
AB
3 2
Đường tròn (C ) đường kính AB có tâm I ; là trung điểm AB và bán kính R
2
2
2 2
.
Suy ra: phương tích của điểm M đối với đường tròn (C ) là: MI 2 R 2 2.
26
Câu 37. Cho các điểm A(1; 2), B(2;3), C (0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu ?
A.
13
.
2
B. 13.
C. 26.
D.
13
.
4
Lời giải
Chọn A.
Ta có: AB (3;5) AB 34 , AC (1;6) AC 37 , BC (2;1) BC 5 .
AB AC BC
37 34 5
.
2
2
13
Suy ra: S p( p AB)( p AC )( p BC ) .
2
Câu 38. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3), C (6;0). Diện tích ABC là
Mặt khác p
A. 12.
B. 6.
C. 6 2.
Lời giải
D. 9.
Chọn B.
Ta có: AB (2; 2) AB 2 2 , AC (5;1) AC 26 , BC (3;3) BC 3 2 .
Mặt khác AB.BC 0 AB BC .
1
2
Suy ra: SABC AB.BC 6.
Câu 39. Cho a (2; 3) và b (5; m) . Giá trị của m để a và b cùng phương là:
13
15
A. 6.
B. .
C. 12.
D. .
2
2
Lời giải
Chọn D.
Ta có: a , b cùng phương suy ra
5 m
15
m .
2 3
2
Câu 40. Cho các điểm A(1;1), B (2;4), C (10; 2). Góc BAC bằng bao nhiêu?
A. 90 0 .
B. 60 0.
C. 450.
Lời giải
D. 30 0.
Chọn A.
Ta có: AB (1;3) , AC (9; 3) .
Suy ra: cos BAC
AB. AC
0 BAC 900.
AB . AC
Câu 41. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ?
13
11
A. 6.
B. 8.
C.
.
D. .
2
2
Lời giải
Chọn C.
Ta có: 52 122 132 R
13
1
. (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
cạnh
2
2
huyền ).
Câu 42. Cho tam giác ABC có a 4, b 6, c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là:
A. 9 15.
B. 3 15.
C. 105.
Lời giải
Chọn B.
abc 468
9.
2
2
Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 3 15.
Ta có: p
27
D.
2
15.
3
Câu 43. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?
A. 2.
B. 2 2.
C. 2 3.
Lời giải
D. 3.
Chọn A.
5 12 13
1
15 . Mà 52 122 132 S .5.12 30.
2
2
S
Mặt khác S p.r r 2.
p
Ta có: p
Câu 44. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ?
A. 5.
B. 4 2.
C. 5 2.
D. 6 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: 62 82 102 R
10
1
5. (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
2
2
cạnh huyền ).
Câu 45. Cho tam giác ABC thoả mãn : b2 c 2 a 2 3bc . Khi đó :
A. A 300.
B. A 450.
C. A 600.
Lời giải
D. A 750 .
Chọn A.
Ta có: cos A
b2 c 2 a 2
3bc
3
A 300.
2bc
2bc
2
Câu 46. Tam giác ABC có a 16,8 ; B 56013' ; C 710 . Cạnh c bằng bao nhiêu?
A. 29,9.
B. 14,1.
C. 17,5.
D. 19,9.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: Trong tam giác ABC : A B C 1800 A 1800 710 56013' 520 47 ' .
a
b
c
a
c
a.sin C 16,8.sin 710
c
sin A sin B sin C
sin A sin C
sin A
sin 520 47'
Câu 47. Cho tam giác ABC , biết a 24, b 13, c 15. Tính góc A ?
Mặt khác
A. 33034'.
B. 117049'.
C. 28037 '.
Lời giải
19,9.
D. 580 24'.
Chọn B.
Ta có: cos A
b2 c 2 a 2 132 152 242
7
A 1170 49'.
2bc
2.13.15
15
Câu 48. Tam giác ABC có A 68012' , B 340 44 ' , AB 117. Tính AC ?
A. 68.
B. 168.
C. 118.
D. 200.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: Trong tam giác ABC : A B C 1800 C 1800 68012' 340 44' 770 4' .
Mặt khác
a
b
c
AC
AB
AB.sin B 117.sin 340 44'
AC
sin A sin B sin C
sin B sin C
sin C
sin 770 4'
68.
Câu 49. Tam giác ABC có a 8, c 3, B 600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ?
A. 49.
B.
97
C. 7.
Lời giải
D. 61.
Chọn C.
Ta có: b 2 a 2 c 2 2ac cos B 82 32 2.8.3.cos 600 49 b 7 .
Câu 50. Cho tam giác ABC , biết a 13, b 14, c 15. Tính góc B ?
A. 590 49'.
B. 530 7 '.
C. 590 29'.
28
D. 620 22'.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: cos B
a 2 c 2 b2 132 152 142 33
B 590 29'.
2ac
2.13.15
65
29