Bài 2: Mặt cầu

1. Định nghĩa

- Mặt cầu S(O;R) = {M| OM = R}. Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh đường thẳng chứa một đường kính của đường tròn đó.

- Khối cầu S(O;R) = {M|\(OM\le R\)}. Khối cầu là hình tròn xoay sinh bởi một hình tròn khi quay quanh đường thẳng chứa một đường kính của hình tròn đó.

2. Ví trí tương đối của mặt cầu

a. Vị trí tương đối của mặt cầu với một điểm

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A. Khi đó:

- Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.

- Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu.

- Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

b. Vị trí tương đối của mặt cầu với một đường thẳng

Cho mặt cầu S(O;R) và một đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. Khi đó:

- Nếu OH < R thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt AB và \(AB=2\sqrt{R^2-OH^2}\).

- Nếu OH = R thì d tiếp xúc với (S) tại H. Các đường thẳng tiếp xúc với (S) tại H nằm trên tiếp diện với mặt cầu tại H.

- Nếu OH > R thì d không cắt mặt cầu.

c. Vị trí tương đối của mặt cầu với một mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (P). Đặt OH = d. Khi đó:

- Nếu d < R thì giao của (S) và (P) là đường tròn nằm trên (P) và có tâm H và bán kính \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

- Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H. (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H.

- Nếu OH > R thì (P) không cắt mặt cầu.

3. Tiếp tuyến - tiếp diện của mặt cầu

- Tại mỗi điểm H trên mặt cầu S(O;R) có duy nhất một tiếp diện. Đó là mặt phẳng vuông góc với bán kính OH tại H. Khi đó tất cả các tiếp tuyến tại H của mặt cầu đều nằm trên tiếp diện này.

- Từ một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) kẻ được vô số các tiếp tuyến tới mặt cầu. Khi đó các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau và bằng \(\sqrt{OA^2-R^2}\). Hơn nữa tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn.

4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

- Mặt cầu bán kính R thì có diện tích là:

\(S=4\pi R^2\)

- Thể tích khối cầu bán kính R là:

\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)

5. Mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp đa diện

- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện đó.