Bài 1: Lũy thừa

1. Các định nghĩa.

• Lũy thừa với số mũ nguyên dương : \(a^n=a.a.a...a\) (n thừa số a) (a ∈ R, n ∈ N ∗ ).

• Lũy thừa với số mũ 0 : \(a^0=1,\left(a\ne0\right)\)

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm : \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)(a\(\ne\) 0, n ∈ N ∗ ).

• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ : \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) (a > 0; m, n ∈ Z; n \(\ge\) 2).

• Lũy thừa với số mũ thực : \(a^{\alpha}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a^{r_n}\); \(\left(a>0;\left(r_n\right)\subset Q;\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}r_n=\alpha\right)\)

2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

Cho hai số thực a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có

• \(a^{\alpha}.a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\) .

• \(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha.\beta}\) .

• \(\left(ab\right)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}\).

• \(\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\).

•\(\left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha}=\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\).

• Nếu a > 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\) \(\Leftrightarrow\alpha>\beta\)

• Nếu 0 < a < 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha<\beta\).

• Nếu α > 0 thì 0 < a < b ⇔ \(a^{\alpha}\)<\(b^{\alpha}\)

• Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔\(a^{\alpha}\) > \(b^{\alpha}\)

3. Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Tính giá trị biểu thức sau :

\(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}\)

Bài giải :

\(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}=\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}+\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}=2^3+2^2=12\)

Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức

\(A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}\)

Bài giải :

\(A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}=\frac{3^{\frac{4}{5}}.3^{\frac{1}{5}}.3^{\frac{2}{5}}.2.3^{\frac{1}{2}}}{\left(3^{\frac{1}{10}}\right)^3.3.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{3}{5}}.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{9}{10}}}=3^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Ví dụ 3 : Đơn giản biểu thức sau :

\(B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}\)

Bài giải :

\(B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}=\left(a^2.a^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(a^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\)

4. Tài liệu tham khảo

Hàm số mũ và hàm số logarit có lời giải