Ôn tập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết

Bài 40 (SGK trang 27)

Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+5y=2\\\dfrac{2}{5}x+y=1\end{matrix}\right.;\)    b) \(\left\{{}\begin{matrix}0,2x+0,1y=0,3\\3x+y=5\end{matrix}\right.;\)  c) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x-y=\dfrac{1}{2}\\3x-2y=1\end{matrix}\right..\)

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình:

Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được: 0x + 0y = -3

Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

- Vẽ đồ thị hàm số 2x + 5y = 2.

Cho y = 0 ⇒ x = 1. Ta xác định được điểm A(1; 0)

Cho y = 1 ⇒ x = -1,5. Ta xác định được điểm B(-1,5; 1).

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số

Cho x = 0 ⇒ y = 1. Ta xác định được điểm C(0; 1)

Cho y = 2 ⇒ x = -2,5. Ta xác định được điểm D(-2,5; 2)

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

b) Giải hệ phương trình:

Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được x = 2

Thế x = 2 vào (2), ta được: 6 + y = 5 ⇔ y = -1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x = 2; y = -1)

Minh họa hình học:

- Đồ thị hàm số 0,2x + 0,1y = 0,3 là một đường thẳng đi qua hai điểm:

A(x = 0; y = 3) và B(x = 1,5; y = 0)

- Đồ thị hàm số 3x + y = 5 là một đường thẳng đi qua hai điểm C(x = 0; y = 5) và D(x = 1; y = 2)

- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: M(x = 2; y = -1).

Vậy (2; -1) là một nghiệm của hệ phương trình.

c) Giải hệ phương trình:

Cộng (1’) và (2’) vế theo vế, ta có: 0x + 0y = 0.

Phương trình này có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là với x ∈ R

Minh họa hình học

- Đồ thị hàm số (1) là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; ) và B(1;1) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm.

Bài 41 (SGK trang 27)

Giải các hệ phương trình sau:

a) \( \left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{5}-\left(1+\sqrt{3}\right)y=1\\\left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\end{matrix}\right.;\)        b) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}=\sqrt{2}\\\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{3y}{y+1}=-1\end{matrix}\right..\)

Hướng dẫn giải

Nam tính tiếp câu b để tìm ra nghiệm của bài toán nhé.

Bài 42 (SGK trang 27)

Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=m\\4x-m^2y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(m=-\sqrt{2};\)       b) \(m=\sqrt{2};\)    c) m = 1.

Hướng dẫn giải

a. Với \(m=-\sqrt{2}\), ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=-\sqrt{2}\\4x-2y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=-\sqrt{2}\\2x-y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b. Với \(m=\sqrt{2}\), ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=\sqrt{2}\\4x-2y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=\sqrt{2}\\2x-y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

c. Với \(m=1\), ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\4x-y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-1\\4x-2x+1=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-1\\x=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\sqrt{2}-2\\x=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2};2\sqrt{2}-2\right).\)

Bài 43 (SGK trang 27)

Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Hướng dẫn giải

Gọi x(km/h) là vận tốc xe đi từ A-B

y (km/h) là vận tốc xe đi từ B-A

ĐK: x,y > 0

thời gian xe 1 đi từ A đến địa điểm cách A 2km: \(\dfrac{2}{x}\)(h)

thời gian xe 2 đi từ B đến điểm cách A 2km: \(\dfrac{1,6}{y}\)(h)

ta có pt : \(\dfrac{2}{x}=\dfrac{1,6}{y}\) (1)

Nếu cả 2 cùng giữ nguyên vận tốc như ban đầu thì:

+ thời gian xe 2 đi được nửa quảng đường ( đã xuất phát trước 6p):

\(\dfrac{1,8}{y}-0,1\)(h)

+ thời gian xe 1 đi được nửa quảng đường: \(\dfrac{1,8}{x}\)

Ta có pt: \(\dfrac{1,8}{x}=\dfrac{1,8}{y}-0,1\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}=\dfrac{1,6}{y}\\\dfrac{1,8}{x}=\dfrac{1,8}{y}-0,1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1,25y\\\dfrac{1,8}{1,25y}=\dfrac{1,8}{y}-0,1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1,25y\\\dfrac{0,36}{y}=0,1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1,25.3,6\\y=3,6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4,5\\y=3,6\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy vận tốc của xe 1 là 4,5 km/h vận tốc xe 2 là 3,6 km/h

Bài 44 (SGK trang 27)

Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15 cm³ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm³ và 7g kẽm có thể tích là 1cm³.

Hướng dẫn giải

Gọi x(g) là khối lượng đồng

y (g) là khối lượng kẽm

ĐK : 0 < x,y < 124

thể tích của x(g) đồng: \(\dfrac{10}{89}\). x (\(cm^3\))

thể tích của y(g)kẽm : \(\dfrac{1}{7}.y\) (\(cm^3\))

Ta có hệ pt :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=124\\\dfrac{10}{89}.x+\dfrac{1}{7}.y=15\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=124-x\\\dfrac{10}{89}.x+\dfrac{1}{7}.\left(124-x\right)=15\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=124-x\\-\dfrac{19}{623}.x=-\dfrac{19}{7}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=89\\y=124-89\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=89\\y=35\end{matrix}\right.\)

Vậy trong đó có 89 gam đồng và 35 gam kẽm

Bài 45 (SGK trang 27)

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đối II tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là số ngày mà đội I và đội II cần để một mình hoàn thành xong công việc \(\left(x,y\in N;x,y>12\right)\)

Trong một ngày , cả hai đội làm được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) công việc nên ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (công việc)

Khi làm chung được 8 ngày, cả hai đội đã làm được: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}\) (công việc)

Năng suất đội II tăng gấp đôi nên trong 3,5 ngày sau, đội II làm được: \(3,5.\dfrac{2}{y}=\dfrac{7}{y}\) (công việc)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{7}{y}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{14}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{35}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=14\\y=35\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy với năng suất ban đầu, nếu làm một mình thì đội I hoàn thành công việc sau 14 ngày, đội II hoàn thành công việc sau 35 ngày.

Bài 46 (SGK trang 27)

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Hướng dẫn giải

Gọi x(tấn) và y (tấn ) lần lượt là số thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (x, y > 0) . Ta có : x + y = 720