Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lý thuyết

Bài 20 (SGK trang 19)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=3\\2x-y=7\end{matrix}\right.;\)         b) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+5y=8\\2x-3y=0\end{matrix}\right.;\)     c)  \(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y=6\\2x+y=4\end{matrix}\right.;\)

d)  \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=-2\\3x-2y=-3\end{matrix}\right.;\)   e) \(\left\{{}\begin{matrix}0,3x+0,5y=3\\1,5x-2y=1,5\end{matrix}\right..\)

Hướng dẫn giải

Bài 21 (SGK trang 19)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{2}-3y=1\\2x+y\sqrt{2}=-2\end{matrix}\right.;\)    b)  \(\left\{{}\begin{matrix}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{matrix}\right..\)

Hướng dẫn giải

a) ⇔

⇔ ⇔ ⇔

b) Nhân phương trình thứ nhất với √2 rồi cộng từng vế hai phương trình ta được:

5x√6 + x√6 = 6 ⇔ x =

Từ đó hệ đã cho tương đương với ⇔

Bài 22 (SGK trang 19)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}-5x+2y=4\\6x-3y=-7\end{matrix}\right.;\)       b) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=11\\-4x+6y=5\end{matrix}\right.;\)   c)  \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=10\\x-\dfrac{2}{3}y=3\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right..\)

Hướng dẫn giải

Bài 23 (SGK trang 19)

Giải hệ phương trình sau:

 \(\left\{{}\begin{matrix}\left(1+\sqrt{2}\right)x+\left(1-\sqrt{2}\right)y=5\\\left(1+\sqrt{2}\right)x+\left(1+\sqrt{2}\right)y=3\end{matrix}\right..\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

+ Ta có:

Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) ta được:

(1 - √2)y - (1 + √2)y = 2

⇔ (1 - √2 - 1 - √2)y = 2 ⇔ -2y√2 = 2

⇔ y = ⇔ y = ⇔ y = (3)

Thay (3) vào (1) ta được:

⇔ (1 + √2)x + (1 - √2) = 5

⇔ (1 + √2)x + + 1 = 5

⇔ (1 + √2)x = ⇔ x =

⇔ x = ⇔ x =

⇔ x = ⇔ x =

Hệ có nghiệm là:

Nghiệm gần đúng (chính xác đến ba chữ số thập phân) là:

Bài 24 (SGK trang 19)

Giải các hệ phương trình:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{matrix}\right.;\)    b) \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-2\right)+3\left(1+y\right)=-2\\3\left(x-2\right)-2\left(1+y\right)=-3\end{matrix}\right..\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) Đặt x + y = u, x - y = v, ta có hệ phương trình (ẩn u, v):

nên

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

⇔ ⇔

b) Thu gọn vế trái của hai phương trình:

⇔ ⇔ ⇔

⇔⇔ ⇔ ⇔

Bài 25 (SGK trang 19)

Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

\(P\left(x\right)=\left(3m-5n+1\right)x+\left(4m-n-10\right).\)

Hướng dẫn giải

Ta có P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10)

Nếu P(x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔

Bài 26 (SGK trang 19)

Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(2;-2) và B(-1;3);             b) A(-4;-2) và B(2;1);

c) A(3;-1) và B(-3;2);             d)\(A\left(\sqrt{3};2\right)\) và B(0;2).

 

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) Vì A(2; -2) thuộc đồ thì nên 2a + b = -2.

Vì B(-1; 3) thuộc đồ thì nên -a + b = 3. Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.

. Từ đó

b) Vì A(-4; -2) thuộc đồ thị nên -4a + b = -2.

Vì B(2; 1) thuộc đồ thị nên 2a + b = 1.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b: ⇔

⇔

c) Vì A(3; -1) thuộc đồ thị nên 3a + b = -1

Vì B(-3; 2) thuộc đồ thị nên -3a + b = 2.

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

⇔ ⇔

d) Vì A(√3; 2) thuộc đồ thị nên √3a + b = 2.

Vì B(0; 2) thuộc đồ thị nên 0 . a + b = 2.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b.

⇔ ⇔

Bài 27 (SGK trang 20)

Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{y}=5\end{matrix}\right.\)                          Hướng dẫn: Đặt \(u=\dfrac{1}{x};v=\dfrac{1}{y};\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{y-1}=1\end{matrix}\right.\)           Hướng dẫn: Đặt \(u=\dfrac{1}{x-2};v=\dfrac{1}{y-1}.\)

 

Hướng dẫn giải

a) ĐK : x,y \(\ne0\)

Đặt \(u=\dfrac{1}{x};v=\dfrac{1}{y}\)

Hệ pt đã cho trở thành :

\(\left\{{}\begin{matrix}u-v=1\\3u+4v=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=1+v\\3\left(1+v\right)+4v=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=1+\dfrac{2}{7}\\v=\dfrac{2}{7}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{9}{7}\\v=\dfrac{2}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{9}{7}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{9}\\y=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)(TM)

Vậy x=7/9 và y=7/2