Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lý thuyết

Bài 44 (Sgk tập 2 - trang 54)

Đố :

Trong một cuộc thi đố vui, Ban tổ chức quy định mỗi người dự thi phải trả lời 10 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi nàu có sẵn đáp án, nhưng trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Người dự thi chọn đáp áp đúng sẽ được 5 điểm, chọn đáp án sai sẽ bị trừ đi 1 điểm. Ở vòng sơ tuyển, Ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi 10 điểm và quy định người nào có tổng điểm từ 40 điểm trở lên mới được dự thi ở vòng tiếp theo. Hỏi người dự thi phải trả lời chính xác bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được dự thi tiếp ở vòng sau ?

Hướng dẫn giải

Gọi x là số câu trả lời đúng

Số câu trả lời sai: 10 – x

Sau khi trả lời 10 câu thì người dự thi sẽ có: 5x – (10 – x) + 10

Để được dự thi tiếp vòng sau thì

5x – (10 – x ) +10 ≥ 40

⇔ 5x - 10 + x + 10 ≥ 40

⇔6x ≥ 40

⇔ x ≥\(\dfrac{20}{3}\) Vì x là số nguyên dương nhỏ hơn hay bằng 10 nên

Vậy người dự thi phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi tiếp ở vòng sau.

Bài 43 (Sgk tập 2 - trang 53)

Tìm \(x\) sao cho :

a) Giá trị của biểu thức \(5-2x\) là số dương

b) Giá trị của biểu thức \(x+3\) nhỏ hơn giá trị của biểu thức \(4x-5\)

c) Giá trị của biểu thức \(2x+1\) không nhỏ hơn giá trị của biểu thức \(x+3\)

d) Giá trị của biểu thức \(x^2+1\) không lớn hơn giá trị của biểu thức \(\left(x-2\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Bài 41 (Sgk tập 2 - trang 53)

Giải các bất phương trình :

a) \(\dfrac{2-x}{4}< 5\)

b) \(3\le\dfrac{2x+3}{5}\)

c) \(\dfrac{4x-5}{3}>\dfrac{7-x}{5}\)

d) \(\dfrac{2x+3}{-4}\ge\dfrac{4-x}{-3}\)

Hướng dẫn giải

Câu hỏi ôn tập - Câu 2 (Sgk tập 2 - trang 52)

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng như thế nào ? Cho ví dụ ?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0.

Ví dụ: 2x + 4 < 0 (hoặc 2x + 4 > 0, 2x + 4 ≤ 0, 2x + 4 ≥ 0)

Bài 39 (Sgk tập 2 - trang 53)

Kiểm tra xem - 2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau :

a) \(-3x+2>-5\)

b) \(10-2x< 2\)

c) \(x^2-5< 1\)

d) \(\left|x\right|< 3\)

e) \(\left|x\right|>2\)

f) \(x+1>7-2x\)

Hướng dẫn giải

(Bài này mình sẽ trình bày theo cách khác, không tính cụ thể VT, VP mà thay trực tiếp giá trị vào bất phương trình.)

Lần lượt thay x = -2 vào từng bất phương trình:

a) -3x + 2 > -5 => -3(-2) + 2 > -5

=> 6 + 2 > - 5 => 8 > -5 (đúng)

Vậy x = -2 là nghiệm của bất phương trình này.

b) 10 - 2x < 2 => 10 - 2.(-2) < 2

=> 10 + 4 < 2 => 14 < 2 (sai)

Vậy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình này.

c) x² - 5 < 1 => (-2)² - 5 < 1

=> 4 - 5 < 1 => -1 < 1 (đúng)

Vậy x = -2 là nghiệm của bất phương trình này.

d) |x| < 3 => |-2| < 3 => 2 < 3 (đúng)

Vậy x = -2 là nghiệm của bất phương trình này.

e) |x| > 2 => |-2| > 2 => 2 > 2 (sai)

Vậy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình này.

f) x + 1 > 7 - 2x => (-2) + 1 > 7 - 2(-2) => -1 > 11 (sai)

Vậy x = - 2 không là nghiệm của bất phương trình này.

Câu hỏi ôn tập - Câu 3 (Sgk tập 2 - trang 52)

Hãy chỉ ra một nghiệm của bất phương trình trong ví dụ của câu hỏi 2 ?

Hướng dẫn giải

Ví dụ: 2x + 4 < 0

⇔ 2x < -4 ⇔ x < -2

Ví dụ -3 là một nghiệm của bất phương trình này.

Câu hỏi ôn tập - Câu 4 (Sgk tập 2 - trang 52)

Phát biểu quy tắc chuyển vế để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số ?

Hướng dẫn giải

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu của hạng tử đó.

Quy tắc này dựa trên tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng trên tập số (sgk trang 36 Toán 8 Tập 2):

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Bài 40 (Sgk tập 2 - trang 53)

Giải các bấ phương trình và biểu diễn tập nghiệp trên trục số :

a) \(x-1< 3\)

b) \(x+2>1\)

c) \(0,2x< 0,6\)

d) \(4+2x< 5\)

Hướng dẫn giải

Bài 42 (Sgk tập 2 - trang 53)

Giải các bất phương trình :

a) \(3-2x>4\)

b) \(3x+4< 2\)

c) \(\left(x-3\right)^2< x^2-3\)

d) \(\left(x-3\right)\left(x+3\right)< \left(x+2\right)^2+3\)

Hướng dẫn giải

a)3 – 2x > 4 ⇔ 3 – 4 > 2x ⇔ -1 > 2x

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}>x\)

Vậy nghiệm của bất phương trình: \(x< -\dfrac{1}{2}\)

b)3x + 4 < 2 ⇔3x < 2 – 4 ⇔ 3x < -2 \(\Leftrightarrow x< -\dfrac{2}{3}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình: \(x\) \(< -\dfrac{2}{3}\)

c)(x – 3)² < x² – 3 ⇔x² – 6x + 9 <x² – 3

⇔x² – 6x – x² < -3 – 9

⇔-6x < -12

⇔x > 2

Vậy nghiệm của bất phương trình : x > 2

d)(x-3)(x+3) < (x+2)² + 3 \(\Leftrightarrow\) x² – 9 < x² + 4x + 4 +3

\(\Leftrightarrow\)x² – x² – 4x < 4 + 3 + 9

\(\Leftrightarrow\)-4x < 16

\(\Leftrightarrow\)x > -4

Vậy nghiệm của bất phương trình x > -4.

Câu hỏi ôn tập - Câu 5 (Sgk tập 2 - trang 52)

Phát biểu quy tắc nhân để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số ?

Hướng dẫn giải

Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Quy tắc này dựa trên tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân trên tập số (sgk trang 36 Toán 8 Tập 2):

- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Bài 45 (Sgk tập 2 - trang 54)

Giải các phương trình :

a) \(\left|3x\right|=x+8\)

b) \(\left|-2x\right|=4x+18\)

c) \(\left|x-5\right|=3x\)

d) \(\left|x+2\right|=2x-10\)

Hướng dẫn giải

Bài 37 (Sgk tập 2 - trang 51)

Giải các phương trình :

a) \(\left|x-7\right|=2x+3\)

b) \(\left|x+4\right|=2x-5\)

c) \(\left|x+3\right|=3x-1\)

d) \(\left|x-4\right|+3x=5\)

Hướng dẫn giải

Bài 36 (Sgk tập 2 - trang 51)

Giải các phương trình :

a) \(\left|2x\right|=x-6\)

b) \(\left|-3x\right|=x-8\)

c) \(\left|4x\right|=2x+12\)

d) \(\left|-5x\right|-16=3x\)

Hướng dẫn giải

|2x| = x - 6

|2x| = x - 6 ⇔ 2x = x - 6 khi x ≥ 0 ⇔ x = -6 loại vì không thoả mãn x ≥ 0

|2x| = x - 6 ⇔ -2x = x - 6 khi x < 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 loại vì không thoả mãn x < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 35 (Sgk tập 2 - trang 51)

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức :

a) \(A=3x+2+\left|5x\right|\) trong hai trường hợp : \(x\ge0\) và \(x< 0\)

b) \(B=\left|-4x\right|-2x+12\) trong hai trường hợp : \(x\le0\) và \(x>0\)

Hướng dẫn giải

(Bài dưới được trình bày dựa theo cách trình bày ở Ví dụ 1 trang 50 sgk Toán 8 Tập 2. Bạn có thể rút gọn nếu bạn thích.)

a) - Khi x ≥ 0 ta có 5x ≥ 0 nên |5x| = 5x

Vậy A = 3x + 2 + 5x = 8x + 2

- Khi x < 0 ta có 5x < 0 nên |5x| = -5x

Vậy A = 3x + 2 - 5x = -2x + 2

b) - Khi x ≤ 0 ta có -4x ≥ 0 (nhân hai vế với số âm) nên |-4x| = -4x

Vậy B = -4x - 2x + 12 = -6x + 12

- Khi x > 0 ta có -4x < 0 nên |-4x| = -(-4x) = 4x

Vậy B = 4x - 2x + 12 = 2x + 12

c) - Khi x > 5 ta có x - 4 > 1 (trừ hai vế cho 4) hay x - 4 > 0 nên |x - 4| = x - 4

Vậy C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8

d) D = 3x + 2 + x + 5 khi x + 5 ≥ 0

hoặc D = 3x + 2 - (x + 5) khi x + 5 < 0

Vậy D = 4x + 7 khi x ≥ -5

hoặc D = 2x - 3 khi x < -5

Câu hỏi ôn tập - Câu 1 (Sgk tập 2 - trang 52)

Cho ví dụ về bất đẳng thức theo từng loại có chứa dấu \(< ,\le,>,\ge\) ?

 

Hướng dẫn giải

- Bất đẳng thức chứa dấu <: -3 < (-2) + 1

- Bất đẳng thức chứa dấu ≤: 5 + (-2) ≤ -3

- Bất đẳng thức chứa dấu >: 4 > (-1) + 3

- Bất đẳng thức chứa dấu ≥: 3 + 2 ≥ 4