Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Lý thuyết

• Bài 44 (Sgk tập 1 - trang 20)
• Bài 46 (Sgk tập 1 - trang 21)
• Bài 43 (Sgk tập 1 - trang 20)
• Bài 45 (Sgk tập 1 - trang 20)

Bài 44 (Sgk tập 1 - trang 20)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) \(x^3+\dfrac{1}{27}\)

b) \(\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3\)

c) \(\left(a+b\right)^3+\left(a-b\right)^3\)

d) \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)

e) \(-x^3+9x^2-27x+27\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) x³ + $\frac{1}{27}$ = x³ + ($\frac{1}{3}$)³ = (x + $\frac{1}{3}$)(x² – x . $\frac{1}{3}$+ ($\frac{1}{3}$)²)

=(x + $\frac{1}{3}$)(x² – $\frac{1}{3}$x + $\frac{1}{9}$)

b) (a + b)³ – (a - b)³

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)² + (a + b) . (a – b) + (a – b)²]

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² + a² – b² + a² – 2ab + b²)

= 2b . (3a³ + b²)

c) (a + b)³ + (a – b)³ = [(a + b) + (a – b)][(a + b)² – (a + b)(a – b) + (a – b)²]

= (a + b + a – b)(a² + 2ab + b² – a² +b² + a² – 2ab + b²]

= 2a . (a² + 3b²)

d) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ = (2x)³ + 3 . (2x)² . y +3 . 2x . y + y³ = (2x + y)³

e) - x³ + 9x² – 27x + 27 = 27 – 27x + 9x² – x³ = 3³ – 3 . 3² . x + 3 . 3 . x² – x³ = (3 – x)³

Bài 46 (Sgk tập 1 - trang 21)

a) \(73^2-27^2\)

b) \(37^2-13^2\)

c) \(2002^2-2^2\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) 73² – 27² = (73 + 27)(73 – 27) = 100 . 46 = 4600

b) 37² - 13² = (37 + 13)(37 – 13) = 50 . 25 = 100 . 12 = 1200

c) 2002² – 2² = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 . 2000 = 400800

Bài 43 (Sgk tập 1 - trang 20)

Phân tích các đa thức sau thành nhân từ :

a) \(x^2+6x+9\)

b) \(10x-25-x^2\)

c) \(8x^3-\dfrac{1}{8}\)

d) \(\dfrac{1}{25}x^2-64y^2\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) x² + 6x + 9 = x² + 2 . x . 3 + 3² = (x + 3)²

b) 10x – 25 – x² = -(-10x + 25 +x²) = -(25 – 10x + x²)

= -(5² – 2 . 5 . x – x²) = -(5 – x)²

c) 8x³ - $\frac{1}{8}$ = (2x)³ – ($\frac{1}{2}$)³ = (2x - $\frac{1}{2}$)[(2x)² + 2x . $\frac{1}{2}$ + ($\frac{1}{2}$)²]

^{= (2x - $\frac{1}{2}$)(4x2 + x + $\frac{1}{4}$)}

d) $\frac{1}{25}$x² – 64y² = ${\left(\frac{1}{5}x\right)}^2$- (8y)² = ($\frac{1}{5}$x + 8y)($\frac{1}{5}$x - 8y)

Bài 45 (Sgk tập 1 - trang 20)

Tìm x, biết :

a) \(2-25x^2=0\)

b) \(x^2-x+\dfrac{1}{4}=0\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) 2 – 25x² = 0 => (√2)² – (5x)² = 0

=> (√2 – 5x)( √2 + 5x) = 0

Hoặc √2 – 5x = 0 => 5x = √2 => x = $\frac{\sqrt{2}}{5}$

Hoặc √2 + 5x = 0 => 5x = -√2 => x = - $\frac{\sqrt{2}}{5}$

b) x² - x + $\frac{1}{4}$ = 0 => x² – 2 . x . $\frac{1}{2}$ + ($\frac{1}{2}$)² = 0

=> (x - $\frac{1}{2}$)² = 0 => x - $\frac{1}{2}$ = 0 => x = $\frac{1}{2}$