Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Lý thuyết

Bài 46 (Sgk tập 1 - trang 57)

Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :

a) \(\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}\)

b) \(\dfrac{1-\dfrac{2}{x+1}}{1-\dfrac{x^2-2}{x^2-1}}\)

Hướng dẫn giải

Bài 47 (Sgk tập 1 - trang 57)

Với giá trị nào của \(x\) thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định ?

a) \(\dfrac{5x}{2x+4}\)

b) \(\dfrac{x-1}{x^2-1}\)

Hướng dẫn giải

Bài 48 (Sgk tập 1 - trang 58)

Cho phân thức :

                    \(\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}\)

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?

b) Rút gọn phân thức

c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không ?

Hướng dẫn giải

Câu a :

Để biểu thức được xác định khi \(x+2\ne0\Leftrightarrow x\ne-2\)

Câu b :

\(\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x+2}=x+2\)

Câu c :

Để phân thức bằng 1 thì \(x+2=1\Leftrightarrow x=-1\)

Câu d :

Để biểu thức bằng 0 thì \(\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x=-2\) ( không thõa mãng )

Nên ko có giá trị x nào hết

Bài 49 (Sgk tập 1 - trang 58)

Đố :

Đố em tìm được một phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2 ?

Hướng dẫn giải

Luyện tập - Bài 50 (Sgk tập 1 - trang 58)

Thực hiện các phép tính :

a) \(\left(\dfrac{x}{x+1}+1\right):\left(1-\dfrac{3x^2}{1-x^2}\right)\)

b) \(\left(x^2-1\right)\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}-1\right)\)

Hướng dẫn giải

Luyện tập - Bài 51 (Sgk tập 1 - trang 58)

Làm các phép tính sau :

a) \(\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y}{x}\right):\left(\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)

b) \(\left(\dfrac{1}{x^2+4x+4}-\dfrac{1}{x^2-4x+4}\right):\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x-2}\right)\)

Hướng dẫn giải

Luyện tập - Bài 52 (Sgk tập 1 - trang 58)

Chứng tỏ rằng với \(x\ne0\) và \(x\ne\pm a\) (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức 

                     \(\left(a-\dfrac{x^2+a^2}{x+}\right).\left(\dfrac{2a}{x}-\dfrac{4a}{x-a}\right)\) 

là một số chẵn

Hướng dẫn giải

Luyện tập - Bài 53 (Sgk tập 1 - trang 58)

a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :

 \(1+\dfrac{1}{x}\)                  \(1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\)                     \(1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}\)

b) Em dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức :

          \(1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}}}\)

thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó ?

Hướng dẫn giải

a)+

Áp dụng câu a) ta có :

Dùng kết quả câu b) ta có :

b)Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau :

Qua các kết quả của các bài ở câu a ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là , và trong trường hợp này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là .

Thật vậy :

Do đó

Luyện tập - Bài 54 (Sgk tập 1 - trang 59)

Tìm các giá trị của x để giá trị của các phân thức sau được xác định :

a) \(\dfrac{3x+2}{2x^2-6x}\)

b) \(\dfrac{5}{x^2-3}\)

Hướng dẫn giải

a) Giá trị phân thức a) được xác định khi 2x2 -6x ≠ 0 ⇒ 2x(x-3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ 3 b) Giá trị phân thức b) được xác định khi: x2 -3 ≠ 0 ⇒ (x – √3)(x + √3) ≠ 0 ⇒ x ≠ √3 và x ≠ -√3

Luyện tập - Bài 55 (Sgk tập 1 - trang 59)

Cho phân thức : 

                        \(\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}\)

a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?

b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là \(\dfrac{x+1}{x-1}\)

c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại \(x=2;x=-1\), bạn Thắng đã làm như sau :

- Với \(x=2\), phân thức đã cho có giá trị là \(\dfrac{2+1}{2-1}=3\)

- Với \(x=-1\), phân thức đã cho có giá trị là \(\dfrac{-1+1}{-1-1}=0\)

Em có đồng ý không ? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai ?

Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức đã rút gọn ?

Hướng dẫn giải

Luyện tập - Bài 56 (Sgk tập 1 - trang 59)

Cho phân thức :

                 \(\dfrac{3x^2+6x+12}{x^3-8}\)

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?

b) Rút gọn phân thức

c) Em có biết trên \(1cm^2\) bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không ? Tính giá trị của biểu thức đã cho tại \(x=\dfrac{4001}{2000}\) em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ . (Tuy nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại )

Hướng dẫn giải