Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Ôn tập cuối năm - đại số 7

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 trang 88 SGK Toán 7 tập 2

Thực hiện các phép tính:

a) \(9,6.2\dfrac{1}{2} - \left( {2.125 - 1\dfrac{5}{{12}}} \right):\dfrac{1}{4}\)

b) \(\dfrac{5}{{18}} - 1,456:\dfrac{7}{{25}} + 4,5.\dfrac{4}{5}\);

c) \(\left( {\dfrac{1}{2} + 0,8 - 1\dfrac{1}{3}} \right).\left( {2,3 + 4\dfrac{7}{{25}} - 1,28} \right)\)

d) \(\left( { - 5} \right).12:\left[ {\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{2}:\left( { - 2} \right)} \right] + 1\dfrac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải

a) 

\(\eqalign{
& 9,6.2{1 \over 2} - \left( {2.125 - 1{5 \over {12}}} \right):{1 \over 4} \cr 
& = 9,6.{5 \over 2} - \left( {250 - {{17} \over {12}}} \right) \times 4 \cr 
& = 4,8.5 - \left( {1000 - {{17} \over 3}} \right) \cr 
& = 24 - 1000 + {{17} \over 3} \cr 
& = - 976 + {{17} \over 3} \cr 
& = - 976 + {{18 - 1} \over 3} \cr 
& = - 976 + 6 - {1 \over 3} \cr 
& = - 970{1 \over 3} \cr} \)

b)

\(\eqalign{
& {5 \over {18}} - 1,456:{7 \over {25}} + 4,5.{4 \over 5} \cr 
& = {5 \over {18}} - 1,456 \times {{25} \over 7} + {9 \over 2}.{4 \over 5} \cr 
& = {5 \over {18}} - 0,208 \times 25 + {{18} \over 5} \cr 
& = {5 \over {18}} - 5,2 + {{18} \over 5} \cr 
& = {{25 - 468 + 324} \over {90}} \cr 
& = {{ - 119} \over {90}} \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& \left( {{1 \over 2} + 0,8 - 1{1 \over 3}} \right).\left( {2,3 + 4{7 \over {25}} - 1,28} \right) \cr 
& = \left( {{1 \over 2} + {4 \over 5} - {4 \over 3}} \right).\left( {{{23} \over {10}} + {{107} \over {25}} - {{32} \over {25}}} \right) \cr 
& = \left( {{{15 + 24 - 40} \over {30}}} \right).\left( {{{23} \over {10}} + {{107} \over {25}} - {{32} \over {25}}} \right) \cr 
& = \left( {{{15 + 24 - 40} \over {30}}} \right).\left( {{{115 + 214 - 64} \over {50}}} \right) \cr 
& = {{ - 1} \over {30}}.{{265} \over {50}} = {{ - 53} \over {300}} \cr} \)

d) 

\(\eqalign{
& \left( { - 5} \right).12:\left[ {\left( { - {1 \over 4}} \right) + {1 \over 2}:\left( { - 2} \right)} \right] + 1{1 \over 3} \cr 
& = - 60:\left[ { - {1 \over 4} + {1 \over 2} \times \left( {{{ - 1} \over 2}} \right)} \right] + 1{1 \over 3} \cr 
& = - 60:\left[ { - {1 \over 4} - {1 \over 4}} \right] + 1{1 \over 3} \cr 
& = - 60:\left( { - {1 \over 2}} \right) + 1{1 \over 3} \cr 
& = - 60.( - 2) + 1{1 \over 3} \cr 
& = 120 + 1{1 \over 3} \cr 
& = 121{1 \over 3} \cr} \)

Bài 2 trang 89 SGK Toán 7 tập 2

Với giá trị nào của \(x\) thì ta có:

a) \(|x| + x = 0\); 

b) \(x + |x| = 2x\).

Hướng dẫn giải

a) 

- Với \(x \ge 0\) thì \(|x| = x\)

Khi đó \(|x| + x = 0 => x + x = 0\) hay \(2x = 0 =>x = 0\) (nhận) (1)

- Với \(x < 0\) thì \(|x| = -x\)

Khi đó \(|x| + x = 0 => -x + x =0\)

Hay \(0x = 0\) luôn  có nghiệm đúng với \(\forall x \in R\)  

Vì \(x < 0\) nên ta chỉ chọn các giá trị âm của tập số thực \(R\) (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: Với mọi \( x \le 0\) thì ta có: \(|x| + x = 0\).

b)

- Với \(x \ge 0\) thì \(|x| = x\)

Khi đó từ biểu thức \(x + |x| = 2x\) ta được \(x + x = 2x\)

Hay \(2x = 2x => 0x = 0\)

Đẳng thức này luôn có nghiệm đúng với mọi \(\forall x \in R,\,\,x \ge 0\) (1)

- Với \(x < 0\) thì \(|x| = -x\)

Khi đó: \(x + |x| = 2x => x – x = 2x\) hay \(2x = 0 => x = 0\) (loại) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Với \(\forall x \in R,\,\,x \ge 0\) thì ta có biểu thức: \(x + |x| = 2x\)

Trong đó: "\(\forall \)" đọc là với mọi.

Bài 3 trang 89 SGK Toán 7 tập 2

Từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\left( {a \ne c,b \ne  \pm d} \right)\) hãy rút ra tỉ lệ thức: \(\dfrac{{a + c}}{{a - c}} = \dfrac{{b + d}}{{b - d}}\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\eqalign{
& {a \over b} = {c \over d} = {{a + c} \over {b + d}} = {{a - c} \over {b - d}} \cr 
& \Rightarrow {{a + c} \over {b + d}} = {{a - c} \over {b - d}} \cr 
& \Rightarrow {{a + c} \over {a - c}} = {{b + d} \over {b - d}} \cr} \)

Bài 4 trang 89 SGK Toán 7 tập 2

Ba đơn vị kinh doanh đầu tư vốn tỉ lệ với \(2;5\) và \(7.\) Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu lãi nếu số tiền lãi là \(560\) triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với vốn đầu tư?

Hướng dẫn giải

Gọi \(a, b, c\) (triệu đồng) là tiền lãi của mỗi đơn vị (\(0 < a, b, c < 560\))

Vì tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với vốn đầu tư nên \(a, b, c\) tỉ lệ với \(2; 5\) và \(7\) do đó:

\(\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{7}\) và \(a +b +c = 560\).

\( \Rightarrow \dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{7} = \dfrac{{a + b + c}}{{2 + 5 + 7}} \)\(\,= \dfrac{{560}}{{14}} = 40\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& {a \over 2} = 40 \Rightarrow a = 40.2 = 80 \cr 
& {b \over 5} = 40 \Rightarrow b = 40.5 = 200 \cr 
& {c \over 7} = 40 \Rightarrow c = 40.7 = 280 \cr} \)

Vậy số tiền lãi của mỗi đơn vị lần lượt là \(80\) triệu, \(200\) triệu, \(280\) triệu.

Bài 5 trang 89 SGK Toán 7 tập 2

Chia hàm số: \(y =  - 2x + \dfrac{1}{3}\). Các điểm sau đây có thuộc đồ thị hàm số không?

\(A\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right);B\left( {\dfrac{1}{2}; - 2} \right);C\left( {\dfrac{1}{6};0} \right)\).

Hướng dẫn giải

Gọi (d) là đồ thị của hàm số : \(y =  - 2x + \dfrac{1}{3}\)

+ Với điểm \(A\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\), ta có:

\(\left. \begin{gathered}
{y_A} = \frac{1}{3}  \hfill \\
-2{x_A} + \frac{1}{3} = - 2.0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \hfill \\ 
\end{gathered} \right\}\)\(\; \Rightarrow {y_A} = - 2{x_A} + \dfrac{1}{3}\)

Vậy \(A\left( {0,\dfrac{1}{3}} \right) \in \left( d \right)\)

+ Với điểm \(B\left( {\dfrac{1}{2}; - 2} \right)\)

\(\left. \begin{gathered}
{y_B} = - 2 \hfill \\
- 2{x_B} + \frac{1}{3} = - 2.\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - 1 + \frac{1}{3} = - \frac{2}{3} \hfill \\ 
\end{gathered} \right\} \)\(\;\Rightarrow {y_B} \ne - 2{x_B} + \dfrac{1}{3}\)

Vậy \(B\left( {\dfrac{1}{2}; - 2} \right) \notin \left( d \right)\)

+ Với điểm \(C\left( {\dfrac{1}{6};0} \right)\)

\(\left. \begin{gathered}
{y_C} = 0 \hfill \\
- 2{x_C} + \frac{1}{3} = -2.\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \right\}\)\(\; \Rightarrow {y_C} = - 2{x_C} + \dfrac{1}{3}\)

Vậy \(C\left( {\dfrac{1}{6};0} \right) \in (d)\)

Bài 6 trang 89 SGK Toán 7 tập 2

Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = ax\) đi qua điểm \(M(-2;-3).\) Hãy tìm \(a.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \((d)\) là đồ thị của hàm số \(y = ax.\) Vì \(M(-2;-3) ∈ (d)\) nên \({y_M} = a{x_M}\).

Hay \(-3 = a.(-2) \Rightarrow a =\dfrac{3}{2}\).

Vậy \(a = \dfrac{3}{2}\)

Bài 7 trang 89 SGK Toán 7 tập 2

Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ (%) trẻ em từ \(6\) đến \(10\) tuổi đang học Tiểu học ở một số vùng của nước ta:

Hãy cho biết:

a) Tỉ lệ (%) trẻ em từ \(6\) tuổi đến \(10\) tuổi của vùng Tây Nguyên, vùng đồng bằng sông Cửu Long đi học Tiểu học.

b) Vùng nào có tỉ lệ (%) trẻ em từ \(6\) tuổi đến \(10\) tuổi đi học Tiểu học cao nhất, thấp nhất.

Hướng dẫn giải

a)

- Tỉ lệ trẻ em từ \(6\) đến \(10\) tuổi của vùng Tây Nguyên đi học đạt \(92,29\%\) (so với dân số trong độ tuổi).

- Tỉ lệ trẻ em từ \(6\) đến \(10\) tuổi của vùng đồng bằng sông Cửu Long đi học đạt \(87,81\%\) (so với dân số trong độ tuổi).

b) Dựa vào biểu đồ ta nhận thấy: Vùng đồng bằng sông Hồng có tỉ lệ trẻ em từ \(6 - 10\) tuổi đi học tiểu học cao nhất và vùng đồng bằng sông Cửu Long có tỉ lệ trẻ em từ \(6 - 10\) tuổi đi học tiểu học thấp nhất.

Bài 8 trang 90 SGK Toán 7 tập 2

Để tìm hiểu về sản lượng vụ mùa của một xã, người ta chọn 120 thửa để gặt thử và ghi lại sản lượng của từng thửa (tính theo tạ/ha). Kết quả được tạm sắp xếp như sau:

Có \(10\) thửa đạt năng suất \(31\) tạ/ha; 

Có \(30\) thửa đạt năng suất \(35\) tạ/ha;

Có \(10\) thửa đạt năng suất \(38\) tạ/ha;

Có \(5\) thửa đạt năng suất \(42\) tạ/ha;

Có \(20\) thửa đạt năng suất \(34\) tạ/ha

Có \(15\) thửa đạt năng suất \(36\) tạ/ha 

Có \(10\) thửa đạt năng suất \(40\) tạ/ha

Có \(20\) thửa đạt năng suất \(44\) tạ/ha.

a) Dấu hiệu ở đây là gì? Hãy lập bảng “tần số”.

b) Biểu diễn bằng biểu đồ đoạn thẳng.

c) Tìm mốt của dấu hiệu.

d) Tính số trung bình cộng của dấu hiệu.

Hướng dẫn giải

a) Dấu hiệu : Sản lượng vụ mùa của mỗi thửa ruộng

Bảng tần số

c)  Vậy mốt của dấu hiệu là \(35\).

d) Số trung bình cộng của các giá trị 

Bài 9 trang 90 SGK Toán 7 tập 2

Tính giá trị của biểu thức \(2,7{c^2} - 3,5c\) lần lượt tại \(c = 0,7; \dfrac{2}{3};1\dfrac{1}{6}\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(A=2,7{c^2} - 3,5c\)

+ Với \(c = 0,7\) ta có:

\(A = 2,7.{\left( {0,7} \right)^2} - 3,5.0,7\)\(\, = 2,7.0,49 - 3,5.0,7 \)\(\,= 1,323 - 2,45 =  - 1,127\)

+Với \(c = \dfrac{2}{3}\) ta có: 

\(A = 2,7.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} - 3,5.\left( {\dfrac{2}{3}} \right) \)

\( = 2,7.\dfrac{4}{9} - 3,5.\dfrac{2}{3}\)

\( = \dfrac{{10,8}}{9} - \dfrac{7}{3} = \dfrac{{10,8 - 21}}{9} \)

\(= \dfrac{{ - 10,2}}{9} = \dfrac{{ - 17}}{{15}}\)

+ Với \(c = 1\dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}\), ta có:

\(A = 2,7.{\left( {\dfrac{7}{6}} \right)^2} - 3,5.\left( {\dfrac{7}{6}} \right)\)

\( = 2,7.\dfrac{{49}}{{36}} - 3,5.\dfrac{7}{6}\)

\( = \dfrac{{132,3}}{{36}} - \dfrac{{24,5}}{6} = \dfrac{{132,3 - 147}}{{36}}\)

\( = \dfrac{{ - 14,7}}{{36}} = \dfrac{{ - 4,9}}{{12}} = \dfrac{{ - 49}}{{120}}\)

Bài 10 trang 90 SGK Toán 7 tập 2

Cho các đa thức

\(A = {x^2}-2x - {y^2} + 3y-1\)

\(B =  - 2{x^2} + 3{y^2} - 5x + y + 3\)

\(C = 3{x^2} - 2xy + 7{y^2} - 3x - 5y - 6\)

Tính:

a) \(A + B - C\)

b) \(A - B + C\);

c) \(-A + B + C\).

Hướng dẫn giải

Bài 11 trang 90 SGK Toán 7 tập 2

Tìm \(x\), biết:

a) \((2x - 3) - (x - 5) = (x + 2) - (x - 1)\)

b) \(2(x - 1) - 5(x + 2) = -10\)

Hướng dẫn giải

a) \((2x - 3) - (x - 5) = (x + 2) - (x - 1)\)

\(2x - 3 - x + 5 = x +2 - x +1\)

\(x +2  =3\)

\(x = 3 - 2\)

\(x = 1\)

Vậy \(x = 1\)

b) \(2(x - 1) - 5(x + 2) = -10\)

\(2x - 2 - 5x -10 = -10\)

\(2x - 5x = -10 + 10 + 2\)

\(-3x = 2\)

\(   x =\dfrac{{ - 2}}{3}\)

Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

Bài 12 trang 90 SGK Toán 7 tập 2

Tìm hệ số \(a\) của đa thức \(P\left( x \right) = a{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 3\), biết rằng đa thức này có một nghiệm là \(\dfrac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải

\(P(x)\) có nghiệm là \(\dfrac{1}{2}\)  tức là \(P\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0\) do đó :

\(\eqalign{
& a.{\left( {{1 \over 2}} \right)^2} + 5.{1 \over 2} - 3 = 0 \cr 
& a.{1 \over 4} = 3 - {5 \over 2} \cr 
& a.{1 \over 4} = {6 \over 2} - {5 \over 2} \cr 
& a.{1 \over 4} = {1 \over 2} \cr 
& a = {1 \over 2}:{1 \over 4} \cr 
& a = 2 \cr} \)

Vậy đa thức \(P\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 3\)

Bài 13 trang 90 SGK Toán 7 tập 2

a) Tìm nghiệm của đa thức: \(P(x) = 3 - 2x\);

b) Hỏi đa thức \(Q\left( x \right) = {x^2} + 2\) có nghiệm hay không ? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(P(x) = 0\) khi \(3 - 2x = 0\)

\( \Rightarrow  - 2x =  - 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\)

Vậy đa thức \(P(x)\) có nghiệm là \(x = \dfrac{3}{2}\)

b) \(Q\left( x \right) = {x^2} + 2\) là đa thức không có nghiệm vì:

\({x^2} \ge 0\,,\forall x \in \mathbb R \Rightarrow {x^2} + 2 > 0\,,\forall x\in \mathbb R \)

Vậy \(Q(x)\) không có nghiệm.

Có thể bạn quan tâm


Có thể bạn quan tâm