Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Lý thuyết

Câu hỏi 1 trang 80 SGK Giải tích 12

Giải phương trình \({6^{2x - 3}} = 1\) bằng cách đưa về dạng \({a^{A(x)}} = {\rm{ }}{a^{B(x)}}\) và giải phương trình A(x) = B(x).

Hướng dẫn giải

\({6^{(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3)}} = {\rm{ }}1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{6^{(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3)}} = {\rm{ }}{6^0} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{3 \over 2}\)

Câu hỏi 2 trang 81 SGK Giải tích 12

Giải phương trình: \({1 \over 5}{.5^{2x}} + {5.5^x} = 250\) bằng cách đặt ẩn phụ \(t = {5^x}\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {5^x}\), ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over 5}{t^2} + 5t = 250 \Leftrightarrow {t^2} + 25t - 1250 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 25 \hfill \cr 
t = - 50\,\,(loai) \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow {5^x} = 25 \Leftrightarrow x = 2 \cr}\)

Câu hỏi 3 trang 81 SGK Giải tích 12

Tính x, biết: \({\log _3}x = {1 \over 4}\)

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa logarit ta có: \(x = {3^{{1 \over 4}}}\)

Câu hỏi 4 trang 82 SGK Giải tích 12

Cho phương trình: \({\log _3}x + {\log _9}x = 6\)

Hãy đưa các logarit ở vế trái về cùng cơ số.

Hướng dẫn giải

\({\log _9}x = {\log _{3^2}}x = {1 \over 2}{\log _3}x\)

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\({\log _3}x + {1 \over 2}{\log _3}x = 6\)

Câu hỏi 5 trang 83 SGK Giải tích 12

Giải phương trình: \({({\log _2}x)^2} - 3{\log _2}x + 2 = 0\) bằng cách đặt ẩn phụ \(t = {\log _2}x\).

Hướng dẫn giải

Với \(t = {\log _2}x\). Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(\eqalign{
& {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = 2 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Câu hỏi 6 trang 83 SGK Giải tích 12

Giải phương trình: \({\log _{{1 \over 2}}}x + {({\log _2}x)^2} = 2\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 2}}}x + {({\log _2}x)^2} = 2 \cr 
& \Leftrightarrow {\log _{{2^{ - 1}}}}x + {({\log _2}x)^2} = 2 \cr 
& \Leftrightarrow - {\log _2}x + {({\log _2}x)^2} = 2 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = - 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 2} \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bài 1 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a) \({\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1\);         b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}= 25\);

c) \(2^{x^{2}-3x+2}= 4\);

d) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2\).

Hướng dẫn giải

\(a) \, \, \, {\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1 \\ \Leftrightarrow {\left( {0,3} \right)^{3x - 2}}= {\left( {0,3} \right)^0}\\ \Leftrightarrow 3x - 2=0 \\ ⇔ x = \dfrac{2}{3}.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \dfrac{2}{3}. \)

\(b)\, \,  \left ( \dfrac{1}{5} \right )^{x}= 25 ⇔{5^{ - x}} = {5^2} \Leftrightarrow x =  - 2\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x=-2.\)

\(c)\, \, \,  2^{x^{2}-3x+2} = 4  \\  \Leftrightarrow 2^{x^{2}-3x+2} = 2^2⇔ {x^2} - 3x +2=2 \\\Leftrightarrow x^2-3x=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=0\) hoặc \(x=3.\)

\(d) \, \, \, {\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2 \\  ⇔ \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{x+7+1-2x}= 2  \\ \Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{-x+8}= 2 \\ ⇔ 2^{x - 8} = 2^{1}  \\ \Leftrightarrow x - 8 = 1 \\  \Leftrightarrow x = 9.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=9.\)

Bài 2 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a)     \({3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\);

b)     \({2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\);

c)     \({64^x}-{8^x}-56 =0\);

d)     \({3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\).

Hướng dẫn giải

\( \begin{array}{l}a)\;\;{3^{2x - 1}} + {3^{2x}} = 108\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{.3^{2x}} + {3^{2x}} = 108\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{.3^{2x}} = 108\\\Leftrightarrow {3^{2x}} = 81\\\Leftrightarrow {3^{2x}} = {3^4}\\ \Leftrightarrow 2x = 4\\ \Leftrightarrow x = 2.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\).

\(\begin{array}{l}b)\;\;{2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\\ \Leftrightarrow {2.2^x} + \dfrac{1}{2}{.2^x} + {2^x} = 28\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{2}{.2^x} = 28\\ \Leftrightarrow {2^x} = 8\\ \Leftrightarrow {2^x} = {2^3}\\\Leftrightarrow x = 3.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm  \(x = 3.\)

\(\begin{array}{l}c)\;\;{64^x} - {8^x} - 56 = 0\\\Leftrightarrow {\left( {{8^x}} \right)^2} - {8^x} - 56 = 0.\end{array}\)

Đặt \({8^x} = t\;\;\left( {t > 0} \right).\) Khi đó ta có:
\( \begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow {t^2} - t - 56 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 8} \right)\left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 8 = 0\\t + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\;\;\left( {tm} \right)\\t = - 7\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow {8^x} = 8 \Leftrightarrow x = 1.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=1.\)
\(\begin{array}{l}d)\;\;{3.4^x} - {2.6^x} = {9^x}\\ \Leftrightarrow 3.{\left( {{2^x}} \right)^2} - {2.2^x}{.3^x} - {\left( {{3^x}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} - 1 = 0 \end{array} \)

(Chia cả 2 vế của pt cho \((3^x)^2\))
Đặt \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = t\;\;\left( {t > 0} \right).\) Khi đó ta có:
\( \begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 3{t^2} - 2t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3t + 1} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t + 1 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \dfrac{1}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\\t = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\Rightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 0.\)

Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình logarit

a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\)

b) \({\log \left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\log \left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log {\rm{ }}2}\)

c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\)

d) \({\log {\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\displaystyle {lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\) (1)

TXĐ: \(\displaystyle D = \left( {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right)\)

Khi đó: (1) \(\displaystyle ⇔ 5x + 3 = 7x + 5 \) \(\displaystyle ⇔2x=-2 ⇔ x = -1\) (loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) \(\displaystyle {\log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log{\rm{ }}2}\) (2)

TXĐ: \(\displaystyle D = \left( {\dfrac{{11}}{2}; + \infty } \right).\)

Khi đó: \(\displaystyle (2) \Leftrightarrow \log {{x - 1} \over {2x - 11}} = \log 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2\) \(\displaystyle \Rightarrow x - 1 = 4x - 22  \Leftrightarrow 3x=21\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x = 7 (TM)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\displaystyle x = 7.\)

c) \(\displaystyle {lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\) (3)

TXĐ: \(\displaystyle (5, +∞)\)

Khi đó:

\(\displaystyle (3) \, \Leftrightarrow {\log _2}(x - 5)(x + 2)=3\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)(x + 2) = 2^3 \) 

\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0  \\ \Leftrightarrow (x-6)(x+3)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 6=0 \hfill \cr 
x + 3=0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 6 \, \, (tm) \hfill \cr 
x = - 3 \, \,(ktm) \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\displaystyle x = 6\)

d) \(\displaystyle {log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\) (4)

TXĐ: \(\displaystyle D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )\)

Khi đó:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left( 4 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3\\
\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 5 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 2\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\displaystyle x = 5\).

Bài 4 trang 85 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình lôgarit:

a)  \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\)

b)  \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\)

c)  \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\)

Hướng dẫn giải

a)  \(\frac{1}{2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5x + \log \frac{1}{{5x}}.\)

Điều kiện:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x - 5 > 0\\5x > 0\\\frac{1}{{5x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \approx 1,79.\)

 \(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log \left( {5x.\frac{1}{{5x}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 1\\\Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0\\\Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = {10^0}=1\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\\\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 2\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\).

b)  \(\frac{1}{2}\log \left( {{x^2} - 4x - 1} \right) = \log 8x - \log 4x.\)

Điều kiện:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 1 > 0\\8x > 0\\4x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 2 + \sqrt 5 \\x < 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2 + \sqrt 5 .\)

 \(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x^2} - 4x - 1} \right) = \log \frac{{8x}}{{4x}}\\ \Leftrightarrow \log \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = \log 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0\\\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 5\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=5.\)

c)  \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _4}x + {\log _8}x = 13.\)

Điều kiện:  \(x > 0.\)

 \(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow {\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\\\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 4.\frac{1}{2}{\log _x}x + \frac{1}{3}{\log _2}x = 13\\\Leftrightarrow \frac{{13}}{3}{\log _2}x = 13\\\Leftrightarrow {\log _2}x = 3\\\Leftrightarrow x = {2^3} = 8\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=8.\)