Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 8 (SGK trang 44)

Cho hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1−m\) (\(m\) là tham số) có đồ thị là \((C_m)\)

a) Xác định \(m\) để hàm số có điểm cực đại là \(x=-1\)

b) Xác định \(m\) để đồ thị \((C_m)\) cắt trục hoành tại \(x=-2\)



 

Hướng dẫn giải

a) y′=3x+2(m+3)x=x[3x+2(m+3)];y′=0⇔x1=0y′=3x2+2(m+3)x=x[3x+2(m+3)];y′=0⇔x1=0

hoặc x2=−2m+63x2=−2m+63

Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của y':

Rõ ràng, để hàm số có điểm cực đại tại x = -1 ta phải có

x2=−2m+63=−1⇔m=−32x2=−2m+63=−1⇔m=−32

(Chú ý : trường hợp x1 = x2 thì hàm số không có cực trị).

b) (Cm) cắt Ox tại x = -2 ⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0 ⇔ m=−53m=−53

Bài 9 (SGK trang 44)

Cho hàm số \(y=\dfrac{(m+1)x-2m+1}{x-1}\)  ( \(m\) là tham số) có đồ thị là (G).

         a) Xác định \(m\) để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1)

         b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số vớ \(m\) tìm được

         c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung



 

Hướng dẫn giải

a) (0 ; -1) ∈ (G) ⇔

b) m = 0 ta được hàm số có đồ thị (G0).

(HS tự khảo sát và vẽ đồ thị).

c) (G0) cắt trục tung tại M(0 ; -1). => y'(0) = -2.

Phương trình tiếp tuyến của (G0) tại M là : y - (-1) = y'(0)(x - 0) ⇔ y= -2x - 1.

Bài 3 (SGK trang 43)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a) \(y=\dfrac{x+3}{x-1}\)

b) \(y=\dfrac{1-2x}{2x-4}\)

c) \(y=\dfrac{-x+2}{2x+1}\)



 

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định : R\ {1}; y′=−4(x−1)2<0,∀x≠1y′=−4(x−1)2<0,∀x≠1 ;

Tiệm cận đứng : x = 1 . Tiệm cận ngang : y = 1.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

b) Tập xác định : R \{2}; y′=6(2x−4)2>0,∀x≠2y′=6(2x−4)2>0,∀x≠2

Tiệm cận đứng : x = 2 . Tiệm cận ngang : y = -1.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

c) Tập xác định : R∖{−12}R∖{−12}; y′=−5(2x+1)2<0,∀x≠−12y′=−5(2x+1)2<0,∀x≠−12

Tiệm cận đứng : x=−12x=−12 . Tiệm cận ngang : y=−12y=−12.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

Bài 7 (SGK trang 44)

Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+m\)

         a) Với giá trị nào của tham số \(m\), đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1 ; 1) 

         b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi \(m=1\)

         c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\dfrac{7}{4}\)



 

Hướng dẫn giải

a) Điểm (-1 ; 1) thuộc đồ thị của hàm số ⇔ .

b) m = 1 . Tập xác định : R.

y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên:

Đồ thị như hình bên.

c) Vậy hai điểm thuộc (C) có tung độ là A(1 ; ) và B(-1 ; ). Ta có y'(-1) = -2, y'(1) = 2.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là : y - = y'(1)(x - 1) ⇔ y = 2x -

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B là : y - = y'(-1)(x + 1) ⇔ y = -2x - .

Bài 4 (SGK trang 44)

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\)       

b) \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\)        

c) \(2x^2 – x^4 = -1\)



 

Hướng dẫn giải

Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a), b) và với đường thẳng y = -1 ở câu c).

a) Xét hàm số y = x3 – 3x2 + 5 . Tập xác định : R.

y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2.

Bảng biến thiên:

Đồ thị như hình bên.

Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

b) Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2 . Tập xác định : R.

y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1.

Đồ thị như hình bên. Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

c) Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4. Tập xác định : R.

y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.

Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài 2 (SGK trang 43)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) \(y = -x^4 + 8x^2 – 1\)                            

b) \(y = x^4 - 2x^2 + 2\)

c) \(y=\dfrac{1}{2}x^4+x^2-\dfrac{3}{2}\)                          

d) \(y =\ –2x^2 - x^4 + 3\) 



 

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định : R ; y' =-4x3 + 16x = -4x(x2 - 4);

y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2 .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

b) Tập xác định : R ; y' =4x3 - 4x = 4x(x2 - 1);

y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1 .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

c) Tập xác định : R ; y' =2x3 + 2x = 2x(x2 + 1); y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

d) Tập xác định : R ; y' = -4x - 4x3 = -4x(1 + x2); y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

.

Bài 6 (SGK trang 44)

Cho hàm số \(y=\dfrac{mx-1}{2x+m}\)

         a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

         b) Xác định \(m\) để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1,\sqrt{2})\)

         c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m=2\)



 

Hướng dẫn giải

a) . Tập xác định : R {} ;

;

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng ∆ : x = .

A(-1 ; ) ∈ ∆ ⇔ = -1 ⇔ m = 2.

c) m = 2 => .



Bài 1 (SGK trang 43)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) \(y = 2 + 3x – x^3 \)                              

b) \(y = x^3 + 4x^2 + 4x \)

c) \(y = x^3 + x^2+ 9x \)                              

d) \(y =\ –2x^3 + 5 \)



 

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: R; y' = 3(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = ± 1 .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

b) Tập xác định : R ; y' = 3x2 + 8x + 4; y' = 0 ⇔ x= -2, x = .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

c) Tập xác định : R ;

y' = 3x2 + 2x + 9 > 0, ∀x. Vậy hàm số luôn đồng biến, không có cực trị.

Bảng biến thiên :

Đồ thị hàm số như hình bên.

d) Tập xác định : R ;

y' = -6x2 ≤ 0, ∀x. Vậy hàm số luôn nghịch biến, không có cực trị.

Bảng biến thiên :

Đồ thị hàm số như hình bên.

Bài 5 (SGK trang 44)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

                                 \( y = -x^3 + 3x + 1\)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \(m\).

                                \( x^3 - 3x + m = 0\)



 

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y = -x3 + 3x + 1. Tập xác định : R.

y' = -3x2 + 3 = -3(x2 - 1); y' = 0 ⇔ x = -1,x = 1.

Bảng biến thiên:

Đồ thị (C) như hình bên.

b) x3 - 3x + m = 0 ⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1 (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d) : y = m + 1.

Từ đồ thị ta thấy :

m + 1 < -1 ⇔ m < -2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

m + 1 = -1 ⇔ m = -2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2 : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.

m + 1 = 3 ⇔ m = 2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

m + 1 > 3 ⇔ m > 2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

Có thể bạn quan tâm