Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 121)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a) $y=x^2;y=x+2$

b) $y=\left|\ln x\right|;y=1$

c) $y=\left(x-6\right)^2;y=6x-x^2$

Hướng dẫn giải

Hỏi đáp Toán

Bài 4 (SGK trang 121)

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox :

a) $y=1-x^2;y=0$

b) $y=\cos x;y=0;x=0;x=\pi$

c) $y=\tan x;y=0;x=0;x=\dfrac{\pi}{4}$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm

1 - x² = 0 ⇔ x = ±1.

Thể tích cần tìm là :

$V=\frac{-1}{1}(1-x^{2})^{2}dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx$

$=2\pi \left (\frac{x^{4}}{5}- \frac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}=2\pi\left ( \frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1 \right )=\frac{16}{15}\pi$

b) Thể tích cần tìm là :

$V= \pi \int_{0}^{\pi }cos^{2}xdx =\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+cos2x)dx$

$=\frac{\pi }{2}\left (x+\frac{1}{2}sin2x \right )|_{0}^{\pi }=\frac{\pi }{2}\pi =\frac{\pi ^{2}}{2}$

c) Thể tích cần tìm là :

$V=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^{2}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\frac{1}{cos^{2}x}-1 \right )dx$

$=\pi \left (tanx-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\frac{\pi }{4})$ .

Bài 2 (SGK trang 121)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x^2+1$, tiếp tuyến với đường này tại điểm $M\left(2;5\right)$ và trục Oy ?

Hướng dẫn giải

Hỏi đáp Toán

Bài 5 (SGK trang 121)

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt $\widehat{POM}=\alpha;OM=R\left(0\le\alpha\le\dfrac{\pi}{3};R>0\right)$

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63)

a) Tính thể tích của V theo $\alpha$ và R

b) Tìm $\alpha$ sao cho thể tích của V lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ điểm P là :

x_p = OP = OM. cos α = R.cosα

Phương trình đường thẳng OM là y = tanα.x. Thể tích V của khối tròn xoay là:

b) Đặt t = cosα => t ∈ . (vì α ∈ ), α = arccos t.

Ta có :

V' = 0 ⇔

hoặc (loại).

Từ đó suy ra V(t) lớn nhất ⇔ , khi đó : .

Bài 3 (SGK trang 121)

Parabol $y=\dfrac{x^2}{2}$ chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính $2\sqrt{2}$ thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng ?

Hướng dẫn giải

Hỏi đáp Toán

Có thể bạn quan tâm