Bài 1: . Nguyên hàm

Lý thuyết

• Bài 3 (SGK trang 100)
• Bài 4 (SGK trang 100)
• Bài 2 (SGK trang 100)
• Bài 1 (SGK trang 100)

Bài 3 (SGK trang 100)

Sử dụng phương pháp biến đổi số, hãy tính :

a) \(\int\left(1-x\right)^9dx\) (đặt \(u=1-x\))

b) \(\int x\left(1+x^2\right)^{\dfrac{2}{3}}dx\) (đặt \(u=1+x^2\))

c) \(\int\cos^3x\sin x.dx\) (đặt \(t=\cos x\))

d) \(\int\dfrac{dx}{e^x+e^{-x}+2}\) (đặt \(u=e^x+1\))

Hướng dẫn giải

Bài 4 (SGK trang 100)

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :

a) \(\int x\ln\left(1+x\right)dx\)

b) \(\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx\)

c) \(\int x\sin\left(2x+1\right)dx\)

d) \(\int\left(1-x\right)\cos xdx\)

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt u= ln(1+x)

dv= xdx

=> ,

Ta có: ∫xln(1+x)dx =

=

b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:

Đặt u= (x²+2x -1) và dv=e^xdx

Suy ra du = (2x+2)dx, v = e^x

. Khi đó:

∫(x²+2x - 1)e^xdx = (x²+2x - 1)e^xdx - ∫(2x+2)e^xdx

Đặt : u=2x+2; dv=e^xdx

=> du = 2dx ;v=e^x

Khi đó:∫(2x+2)e^xdx = (2x+2)e^x - 2∫e^xdx = e^x(2x+2) – 2e^x+C

Vậy

∫(x²+2x+1)e^xdx = e^x(x²-1) + C

Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x²-1)e^xdx. Đặt u = x²-1 và dv=e^xdx.

Đáp số : e^x(x²-1) + C

c) Đáp số:

HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx

d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.

HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx

Bài 2 (SGK trang 100)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}\)

b) \(f\left(x\right)=\dfrac{2^x-1}{e^x}\)

c) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin^2x.\cos^2x}\)

d) \(f\left(x\right)=\sin5x.\cos3x\)

e) \(f\left(x\right)=\tan^2x\)

g) \(f\left(x\right)=e^{3-2x}\)

h) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện x>0. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

f(x) = = =

∫f(x)dx = ∫()dx = +C

b) Ta có f(x) = = -e^-x

; do đó nguyên hàm của f(x) là:

F(x)= == + C

c) Ta có f(x) =

hoặc f(x) =

Do đó nguyên hàm của f(x) là F(x)= -2cot2x + C

d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

f(x) =sin5xcos3x = (sin8x +sin2x).

Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = -(cos8x + cos2x) +C

e) ta có

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = tanx - x + C

g) Ta có ∫e^3-2xdx= -∫e^3-2xd(3-2x)= -e^3-2x +C

h) Ta có :

= =

Bài 1 (SGK trang 100)

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ?

a) \(e^{-x}\) và \(-e^{-x}\)

b) \(\sin2x\) và \(\sin^2x\)

c) \(\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^2e^x\) và \(\left(1-\dfrac{4}{x}\right)e^x\)

Hướng dẫn giải