Bài tập ôn tập

Lý thuyết

Bài 1 trang 178 SGK Đại số và Giải tích lớp 11

Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và giá trị của từng hàm số đó.

Hướng dẫn giải

_ Hàm số sin: \(\sin: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\)

                                 \(x \mapsto y = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \)

Hàm số \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb R\) và tập giá trị là \([-1, 1]\)

_ Hàm số cosin:

\(\eqalign{
{\mathop{\rm cosin}\nolimits} :&\mathbb R \to \mathbb R \cr 
& x \mapsto y = \cos x \cr} \)

Hàm số \(y = \cos x\) có có tập xác định là \(\mathbb R\) và có tập giá trị là \([-1, 1]\)

_ Hàm số \(tan\):

\(\eqalign{
\tan :R\backslash {\rm{\{ }}{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z&{\rm{\} }} \to \mathbb R \cr 
& x \mapsto y = \tan x = {{\sin x} \over {\cos x}} \cr} \)

Hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \(R\backslash \left\{ {{\pi  \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z} \right\}\) và có tập giá trị là \(\mathbb R\).

_ Hàm số cot:

\(\eqalign{
\cot: R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in z} \right\} &\mapsto R \cr 
& x \mapsto y = \cot x = {{\cos x} \over {\sin x}} \cr} \)

Hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(\mathbb R\backslash \left\{kπ, k ∈ \mathbb Z\right\}\) và có tập giá trị là \(\mathbb R\).

Bài 2 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho biết chu kì của mỗi hàm số \(y = sin x, y = cosx, y = tan x, y = cotx\)

Hướng dẫn giải

_ Chu kì của hàm số \(y = \sin x\) là \(T  = 2 π\)

_ Chu kì của hàm số \(y = \cos x\) là \(T  = 2 π\)

_ Chu kì của hàm số \(y = \tan x\) là \(T  =  π\)

_ Chu kì của hàm số \(y = \cot x\) là \(T  =  π\)

Bài 3 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng: \(a\sin x + b \cos x = c\)

Hướng dẫn giải

_ Phương trình lượng giác dạng cơ bản:

\(\eqalign{
& \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \alpha + k2\pi \hfill \cr 
x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr 
& \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha ,k \in \mathbb Z \cr 
& \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr 
& \cot x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr} \)

Hoặc:

\(\eqalign{
& \sin x = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin a + k2\pi \hfill \cr 
x = \pi - \arcsin a + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr 
& \cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \arccos a,k \in \mathbb Z \cr 
& \tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr 
& \cot x = a \Leftrightarrow x = {\rm{ar}}c\cot a + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr} \)

 _ Phương trình dạng : \(a \sin x + b \cos x = c\) (*)

Cách giải:

+ Chia cả hai vế của phương trình (*) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

 \(Pt \Leftrightarrow {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}(**)\)

Vì \({\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {{b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt:

 \(\cos \alpha  = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha  = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

+ Khi đó phương trình (**)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin x.cos\alpha + \cos x.\sin \alpha = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr 
& \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr} \)

Đây là phương trình cơ bản ta đã biết cách giải.

Bài 4 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Viết công thức tính số hoán vị của tập gồm \(n\) phần tử (\(n > 1\)). Nêu ví dụ.

Hướng dẫn giải

_ Số hoán vị của n phần tử là \(P_n= n!\,\,\,\, (n > 1)\)

_ Ví dụ: Từ các số \(1, 2, 3, 4\) ta có thể lập được \(4!\) số gồm \(4\) chữ số khác nhau.

Bài 5 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Viết công thức tính số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử, công thức  tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử. Cho ví dụ.

Hướng dẫn giải

*) Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(A_n^k = {{n!} \over {(n - k)!}}\)

Ví dụ: Cho \(10\) điểm \(A_1,A_2, ...A_{10}\) phân biệt. Số vecto tạo bởi hai trong \(10\) điểm đã cho là \(A_{10}^2\).

*) Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là: \(C_n^k = {{n!} \over {k!(n - k)!}}(n,k \in N,k \le n)\)

Ví dụ: Lớp 11A có 40 học sinh, có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh để trực nhật (giả sử tất cả các học sinh đều bình đẳng về mọi mặt).

Số cách chọn học sinh là: \(C_{40}^6\)

Bài 6 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Viết công thức nhị thức Niu-tơn

Hướng dẫn giải

Công thức nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}\)
\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} \) \(+ C_n^n{b^n}\)

Bài 7 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Phát biểu định nghĩa xác suất (cổ điển) của biến cố.

Hướng dẫn giải

Giả sử \(A\) là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện, ta gọi tỉ số \({{n(A)} \over {n(\Omega )}}\) là xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu là \(P(A)\).

Công thức tính: \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}}\)

Bài 8 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.

Hướng dẫn giải

_ Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:

+ B1: Chứng minh bài toán đúng với \(n = 1\)

+ B2: Giả thuyết bài toán đúng với \(n = k\)  (gọi là giả thiết quy nạp)

+ B3. Chứng minh bài toán đúng v4ới \(n = k + 1\)

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

_ Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = {{n(n + 1)(2n + 1)} \over 6}(1)\)

Giải

_ Khi \(n = 1\) thì (1) trở thành \({1^2} = {{1(1 + 1)(2 + 1)} \over 6}\) đúng.

_ Giả sử (1) đúng khi \(n = k\), tức là:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6}\)

_ Ta chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6}\)

_ Thật vậy :

\(\eqalign{
& {1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} + {(k + 1)^2} \cr 
& = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6} + {(k + 1)^2} \cr&= {{(k + 1)k(2k + 1) + 6(k + 1)} \over 6} \cr 
& = {{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)} \over 6} \cr&= {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6} \cr} \)

Vậy (1) đúng khi \(n = k + 1\).

Kết luận: (1) đúng với \(n\in {\mathbb N}^*\)

Bài 9 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số \(d\) không đổi, nghĩa là: \((u_n)\) là cấp số cộng \(⇔ ∀ n ≥ 2, u_n= u_{n+1}+ d\)

Số \(d\) gọi là công sai của cấp số cộng.

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:

\({S_n} = {{n({u_1} + {u_n})} \over 2};{S_n} = {{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]} \over 2}\)

Bài 10 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân là một dãy các số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số \(q\) không đổi.

\((u_n)\) là cấp số nhân \(⇔ ∀ n ≥ 2, u_n= u_{n-1} .q\)

Số \(q\) gọi là công bội của cấp số nhân.

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân là: \({S_n} = {{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}}\,\,\,(q \ne 1)\)

Bài 11 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Dãy số \((u_n)\) thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn \(0\) khi \(n\) dần tới dương vô cực.

Hướng dẫn giải

Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là \(0\) khi \(n\) dần tới dương vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = 0\) hay \(u_n\rightarrow 0\) khi \(n \rightarrow +∞\)

Bài 12 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Hướng dẫn giải

Công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn: \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}}(\,\,\,|q| < 1)\)

Bài 13 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Định nghĩa hàm số có giới hạn \(+ ∞\) khi \(x \rightarrow - ∞\)

Hướng dẫn giải

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-∞, a)\)

Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là \(+ ∞\) khi \(x \rightarrow - ∞\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n \rightarrow - ∞\), ta có \(f(x_n) \rightarrow +∞\).

Bài 14 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số và của hàm số.

Hướng dẫn giải

_ Các giới hạn đặc biệt của hàm số

\(\eqalign{
& \lim {1 \over n} = 0;\lim {1 \over {{n^k}}} = 0\,\,(k\in {\mathbb N}^*) \cr 
& \lim{q^n} = 0\,\,(|q| < 1) \cr} \)

_ Nếu \(u_n= c\) ( \(c\) là hằng số) thì \(\lim u_n= \lim c = c\)

_ Các giới hạn đặc biệt của hàm số

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\in {\mathbb N}^*\)

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty \) nếu \(k\) là số lẻ

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) là số chẵn.

Bài 15 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.

Hướng dẫn giải

ịnh nghĩa 1:

+ Hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \(k\) được gọi là liên tục tại \(x_0∈ k\) nếu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

+ Hàm số không liên tục tại điểm \(x_0\) thì được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Định nghĩa 2:

a) Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó.

b) Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục trên \([a, b]\) nếu nó liên tục trên khoảng \((a, b)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\)

Nhận xét:

Đồ thị của hàm liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó (hình dưới)

Hình dưới đây cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục trên khoảng \((a, b)\)

Bài 16 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = x_0\)

Hướng dẫn giải

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a, b)\) và \(x_0∈  (a, b)\)

Nếu tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}}\] thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\) và kí hiệu \(f’(x_0)\)

Tức là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Bài 17 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Viết tất cả các công thức tính đạo hàm đã học.

Hướng dẫn giải

Quy tắc tính đạo hàm:

\(\begin{array}{l}
+ )\,\,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\,\,\left( {n \in N,n > 1,x \in R} \right)\\
+ )\,\,\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\left( {x > 0} \right)
\end{array}\)

+) \((u + v – w) = u’ + v’ – w’\)

+) \((u.v.w)’ = u’.vw + u.v’w + u.v.w’\)

+) \( (u.v)’ = u.v’ + v.u’\)

+) \(({u \over v})' = {{u.v' - u'.v} \over {{v^2}}}(v = v(x) \ne 0)\)

+) \(({1 \over u})' =  - {{u'} \over {{u^2}}}(u = u(x) \ne 0)\)

Bài 18 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\). Hãy  viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M_0(x_0, f(x_0))\)

Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0, f(x_0))\) là: \(y – f(x_0)= f’(x_0)(x – x_0)\).

Bài 1 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số \(y = \cos 2x\)

a) Chứng minh rằng: \(\cos 2(x + k π) = \cos 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \cos2x\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)  tại điểm có hoành độ \(x = {\pi  \over 3}\)

c) Tìm tập xác định của hàm số \(z = \sqrt {{{1 - \cos 2x} \over {1 + {{\cos }^2}2x}}} \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\cos 2(x + k π) = \cos (2x + k2 π) = \cos 2x\).

_ Từ kết quả trên ta suy ra hàm số \(y = cos 2x\) là hàm số tuần hoàn có chu kì là \(π\).

_ Do đó, ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số  \(y = cos2x\) trên \([0, π]\) và tịnh tiến nó song song với  trục \(0x\) các đoạn có độ dài là \(π\).

Bảng giá trị đặc biệt

Đồ thị hàm số :

b) Ta có: \({x_0} = {\pi  \over 3} \Rightarrow {y_0} = \cos {{2\pi } \over 3} =  - {1 \over 2}\)

Ta lại có:

\(\eqalign{
& f'(x) = - 2\sin 2x \cr 
& \Rightarrow f'({\pi \over 3}) = - 2\sin {{2\pi } \over 3} = - \sqrt 3 \cr} \)

 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y + {1 \over 2} =  - \sqrt 3 (x - {\pi  \over 3}) \Leftrightarrow y =  - \sqrt 3 x + {{\pi \sqrt 3 } \over 3} - {1 \over 2}\) 

c) Ta có:

\(|cos 2x| ≤ 1\) nên \(1 – cos 2x ≥ 0 ,∀ x ∈ \mathbb R\).

\( \Rightarrow \dfrac{{1 - \cos 2x}}{{1 + {{\cos }^2}2x}} \ge 0\,\,\forall x \in R\)

Do đó, tập xác định của hàm số \(z\) là \(\mathbb R\).

Bài 2 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số \(y = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\)

a) Tính \(A = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\) , biết rằng \(\tan α = 0,2\)

b) Tính đạo hàm của hàm đã cho.

c) Xác định các khoảng trên đó \(y’\) không dương.

Hướng dẫn giải

a) Tính \(A\)

Đặt \(t= \tan α = 0,2\), ta có: 

\(\eqalign{
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr 
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} \cr 
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha (1 + {{\tan }^2}\alpha )}} \cr 
& = {{2\sin \alpha } \over {\cos \alpha (1 + ta{n^2}\alpha )}} \cr 
& = {{2\tan \alpha } \over {1 + ta{n^2}\alpha }} = {{2t} \over {1 + {t^2}}} \cr} \)

Với \(t = 0,2\) ta có:

 \(A = {5 \over {6 + 7.{{2t} \over {1 + {t^2}}}}} = {5 \over {6 + {{14.0,2} \over {1 + {{(0,2)}^2}}}}} = {{65} \over {113}}\)

b) Tính đạo hàm

\(y' = {{-5(6 + 7\sin 2x)'} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}} = {{-70.cos2x} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}}\)

c) Các khoảng mà trên đó y' không dương.

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow y' \le 0,x \in D \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos 2x \ge 0 \hfill \cr 
\sin 2x \ne {{ - 6} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \in \left[ { - {\pi \over 2} + k2\pi ;{\pi \over 2} + k2\pi } \right] \hfill \cr 
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in \left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + k\pi } \right] \hfill \cr 
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right. (k \in \mathbb Z) \cr} \)

Bài 3 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình

a) \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

b) \(3cos x + 4sin x = 5\)

c) \(sin x + cos x = 1 + sin x. cosx\)

d) \(\sqrt {1 - \cos x}  = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right])\)

e) \((cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx\)\( = 0\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\eqalign{
& 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x\cr& \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr 
\sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 
\left[ \matrix{
{x \over 2} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr 
{x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + \frac{k\pi}{2} \hfill \cr 
x = {\pi \over 3} + k4\pi \hfill \cr 
x = {{5\pi } \over 3} + k4\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr} \)

 b) Ta có: 

\(\eqalign{
& 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr 
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr 
& \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1\cr&(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5}) \cr 
& \Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \cr 
& \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z) \cr 
& \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z)\cr} \)

\(c) \,\,sin x + cosx = 1 + sinx. cosx\)

\(⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0\)

\(⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr 
sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr} \)

d) Điều kiện \(\sin x ≥ 0\). Khi đó:

\(\eqalign{
& \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr 
& \Leftrightarrow 1-\cos x = {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos x(cosx - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr 
\cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)

\(\begin{array}{l}
\pi \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2} \\ \mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} \left[ \begin{array}{l}
k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{2}\,\,\left( {ktm\,\,\sin x \ge 0} \right)\\
k = 2\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\pi \le k2\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Vì \(\sin \frac{{5x}}{4} \le 1;\,\,\cos x \le 1 \Rightarrow \sin \frac{{5x}}{4} + \cos x \le 2 < 3 \Rightarrow \) phương trình trên vô nghiệm.

Bài 4 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Trong một bệnh viện có \(40\) bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:

a) Một bác sĩ mổ, một bác sĩ phụ

b) Một bác sĩ mổ và \(4\) bác sĩ phụ.

Hướng dẫn giải

a) Số cách chọn \(2\) trong \(40\) bác sĩ để làm bác sĩ mổ và bác sĩ phụ là số chỉnh hợp chập \(2\) của \(40\) (bác sĩ)

Vậy số cách chọn  là: \(A_{40}^2 = 1560\) (cách)

b)

+ Chọn \(1\) trong \(40\) bác sĩ để mổ : có \(40\) cách chọn

+ Chọn \(4\) trong \(39\) bác sĩ còn lại để phụ mổ: \(C_{39}^4\)

Vậy số cách chọn là: \(40. C_{39}^4= 3290040\)

Bài 5 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Tìm số hạng không chứa \(a\) trong khai triển nhị thức

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + {a^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right)}^{n - k}}{{\left( {{a^2}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{a^{5k - 30}}} \)

Số hạng không chứa \(a\) ứng với \(k\) thỏa mãn: \(5k - 30 =0 ⇔ 5k = 30 ⇔ k = 6\)

Vậy số hạng không chứa \(a\) là \(C_{10}^6=210\).

Bài 6 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao cho:

a) Cả ba học sinh đều là nam

b) Có ít nhất một nam

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu gồm các tổ hợp chập \(3\) của \(10\) học sinh. Vậy \(n(\Omega ) = C_{10}^3 = 120\)

a) Gọi \(A\) là biến cố cả ba học sinh đều là nam được chọn

Số cách chọn \(3\) trong \(6\) nam là tổ hợp chập \(3\) của \(6\) (nam)

Ta có: \(n(A) = C_6^3 = 20\)

Vậy: \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{20} \over {120}} = {1 \over 6}\)

b) Gọi \(B\) là biến cố có ít nhất một nam được chọn

Ta có: \(\overline B\) là biến cố không có nam (nghĩa là có \(3\) nữ)

Số cách chọn \(3\) trong 4 nữ là : \(n( \overline B) = C_4^3 = 4\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& P(\overline B) = {4 \over {120}} = {1 \over {30}} \cr 
& \Rightarrow P(B) = 1 - {1 \over {30}} = {{29} \over {30}} \cr} \)

Bài 7 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Một tiểu đội có \(10\) người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh \(A\) và anh \(B\). Tính xác suất sao cho:

a) \(A\) và \(B\) đứng liền nhau

b) Trong hai người có một người đứng ở vị trí số 1 và người kia đứng ở vị trí cuối cùng.

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu của các hoán vị của \(10\) người.

Suy ra: \(n(\Omega ) = 10!\)

a) Gọi \(E\) là biến cố “\(A\) và \(B\) đứng liền nhau”

Vì \(A\) và \(B\) đứng liền nhau nên ta xem \(A\) và \(B\) như một phần tử \(α\)

Số cách sắp xếp thành hàng dọc \(α\) và \(8\) người còn lại là \(9!\) (cách)

Mỗi hoán vị \(A\) và \(B\) cho nhau trong cùng một vị trí xếp hàng  ta có thêm \(2!\) cách xếp khác nhau.

Suy ra: \(n(E) = 9!.2!\)

Vậy: \(P(E) = {{n(E)} \over {n(\Omega )}} = {{9!2!} \over {10!}} = {1 \over 5}\)

b) Gọi \(F\) là biến cố: “Trong hai người có một người đứng ở vị trí số \(1\) và người kia đứng ở vị trí cuối cùng”.

Số cách xếp \(A\) và \(B\) vào vị trí số \(1\) và vị trí cuối là \(2\) (cách).

Số cách xếp người còn lại vào vị trí cuối cùng là 1 cách.

Số cách xếp\( 8\) người còn lại vào \(8\) vị trí còn lại là \(8!\) (cách)

Suy ra: \(n(F) = 2.8!\)

Vậy \(P(F) = {{n(F)} \over {n(\Omega )}} = {{2.8!} \over {10!}} = {1 \over {45}}\)

Bài 8 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \(27\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(275\).

Hướng dẫn giải

Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)

Theo giả thiết ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr 
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr 
{u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr 
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 - d\,\,\,(1) \hfill \cr 
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Thay  \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,3{\left( {9 - d} \right)^2} + 6d\left( {9 - d} \right) + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 243 - 54d + 3{d^2} + 54d - 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4
\end{array}\)

Vì \(d > 0\) nên ta chỉ chọn \(d = 4, u_1= 5\)

Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5, 9, 13, 17, ...\)

Bài 9 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho biết trong một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ hai, còn giữ nguyên số hạng thứ ba thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

Cấp số nhân: \(u_1, u_2, u_3,...\)

Cấp số cộng: \(u_1 + 10, u_2 + 8, u_3,...\)

Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_3} - {u_2} = 12 \hfill \cr 
{u_2} + 8 = {{({u_1} + 10) + {u_3}} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}{q^2} - {u_1}q = 12 \hfill \cr 
2({u_1}q + 8) = {u_1} + 10 + {u_1}{q^2} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}({q^2} - q) = 12 \hfill \cr 
{u_1}({q^2} - 2q + 1) = 6 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}({q^2} - q) = 12\,\,\,\,(1) \hfill \cr 
{u_1}{(q - 1)^2} = 6\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.({u_1} \ne 0,q \ne 0,q \ne 1) \cr} \)

Lấy (1) chia cho 2 vế theo vế, ta được:

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{{q^2} - q}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{q\left( {q - 1} \right)}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}} = 2\\
\Leftrightarrow \frac{q}{{q - 1}} = 2 \Leftrightarrow q = 2q - 2 \Leftrightarrow q = 2
\end{array}\)

 Với \(q = 2\), thay vào (1) ta có: \(u_1(4 – 2) = 12 ⇔ u_1= 6\)

Lúc đó: \({S_5} = {u_1}{{1 - {q^5}} \over {1 - q}} = 6.{{1 - {2^5}} \over {1 - 2}} = 186\).

Bài 10 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

Tính các giới hạn sau

a) \(\lim {{(n + 1){{(3 - 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}}\)

b) \(\lim ({1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}})\)

c) \(\lim {{\sqrt {4n^2 + 1}  + n} \over {2n + 1}}\)

d) \(\lim \sqrt n (\sqrt {n - 1}  - \sqrt n )\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\eqalign{
& \lim {{(n + 1){{(3 - 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}} = \lim {{(1 + {1 \over n}){{({3 \over n} - 2)}^2}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}}}} \cr 
& = {{(1 + 0){{(0 - 2)}^2}} \over {1 + 0}} = 4 \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& {1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}} \cr 
& = {{1 + 2 + ... + n - 1} \over {{n^2} + 1}} \cr 
& = {{{{n(n - 1)} \over 2}} \over {{n^2} + 1}} = {{{n^2} -n} \over {2({n^2} + 1)}} \cr 
& \Rightarrow \lim ({1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}}) \cr 
& = lim{{{n^2} -n} \over {2({n^2} + 1)}} \cr 
& = \lim {{{n^2}(1 - {1 \over n} )} \over {2{n^2}(1 + {1 \over {{n^2}}})}} \cr 
& = \lim {{1 - {1 \over n} } \over {2(1 + {1 \over {{n^2}}})}} = {1 \over 2} \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}} \cr 
& = \lim {{n.\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + n} \over {2n + 1}} \cr 
& = \lim {{n.(\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1)} \over {n(2 + {1 \over n})}} \cr 
& = \lim {{\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \over {2 + {1 \over n}}} \cr 
& = {{2 + 1} \over 2} = {3 \over 2} \cr} \)

d) 

\(\eqalign{
& \lim \sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n ) \cr 
& = \lim {{\sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n )(\sqrt {n - 1} + \sqrt n )} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr 
& = \lim {{\sqrt n \left[ {(n - 1) - n} \right]} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr 
& = \lim {{ - \sqrt n } \over {\sqrt n \left[ {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1} \right]}} \cr 
& = \lim {{ - 1} \over {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1}} = - {1 \over 2} \cr} \)

Bài 11 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho hai dãy số \((u_n)\), \((v_n)\) với 

\({u_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\) và \({v_n} = {{n\cos {\pi  \over n}} \over {{n^2} + 1}}\)

a) Tính \(\lim u_n\)

b) Chứng minh rằng \(\lim v_n= 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\lim {u_n} = \lim {n \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{n^2}({1 \over n})} \over {{n^2}(1 + {1 \over {{n^2}}})}} \) \(= \lim {{{1 \over n}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = {0 \over 1} = 0\)

b) Ta có:

 \(\lim {\pi  \over n} = 0 \Rightarrow \lim \cos {\pi  \over n} = \cos 0 = 1\)

Vậy \(\lim {v_n} = \lim {n \over {{n^2} + 1}}\lim \cos {\pi  \over n} \)

Ta có \(\lim \frac{n}{{{n^2} + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0 \Rightarrow \lim {v_n} = 0.1 = 0\)

Bài 12 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)

Hướng dẫn giải

Hàm số \(f(x) = \cos x\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)

Chọn dãy số \((x_n)\) với \( x_n= n2 π\) (\(n\in {\mathbb N}^*\)).

Ta có: \(\lim x_n= \lim (n2 π) = +∞\)

 \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) = \lim \cos (n2\pi ) = \lim 1 \) \(= 1\)

Chọn dãy số \((x_n)\) với \({x_n} = {\pi  \over 2} + n2\pi (n \in {\mathbb N^*})\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \lim {x_n}({\pi \over 2} + n2\pi ) = + \infty \cr 
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) \cr 
& = \lim \left[ {\cos ({\pi \over 2} + n2\pi )} \right] = \lim 0 = 0 \cr} \)

Từ hai kết quả trên, suy ra hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)

Bài 13 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

Tính các giới hạn sau

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }}\)                                                   

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}}\)                                                 

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + {x^2} + ... + {x^n} - {n \over {1 - x}});n \in {N^*}\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}}\)                                                     

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}}\)

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = {{6 - 3( - 2)} \over {\sqrt {2{{( - 2)}^2} + 1} }} = {{12} \over 3} = 4\)

b)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x - \sqrt {x - 2} )(x + \sqrt {3x - 2} )} \over {({x^2} - 4)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} - 3x + 2} \over {({x^2} - 4)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x - 2)(x - 1)} \over {(x - 2)(x + 2)(x + \sqrt {3x - 2)} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - 1} \over {(x + 2)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr 
& = {{2 - 1} \over {(2 + 2)(2 + \sqrt {3.2 - 2} )}} = {1 \over {16}} \cr} \)

c) Ta có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} - 3x + 1) = 4 - 6 + 1 =  - 1\) 

+) \(\left\{ \matrix{
x - 2 > 0 \hfill \cr 
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0 \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}} =  - \infty \)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} (x + {x^2} + ... + {x^n} - {n \over {1 - x}}) = - \infty \cr 
& \left\{ \matrix{
1 - x > 0,\forall x < 1 \hfill \cr 
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (1 - x) = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

+ Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {n \over {1 - x}} =  + \infty \)

+ Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + {x^2} + ... + {x^n} - {n \over {1 - x}}) =  - \infty \)

e)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x(2 - {1 \over x})} \over {x(1 + {3 \over x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = 2\)

f)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + |x|\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - x\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x(1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} )} \over {x({2 \over x} - 3)}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - 3}} \cr 
& = {{1 - \sqrt 4 } \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \)

g) 

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}( - 2 + {1 \over x} - {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}) = + \infty \cr}\)

Bài 14 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: \(\sin x = x – 1\)

Hướng dẫn giải

Phương trình \(\sin x = x - 1 \Leftrightarrow \sin x - x + 1 = 0\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - x + 1\), ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 1\\
f\left( \pi \right) = 1 - \pi 
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( \pi \right) = 1 - \pi < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb R\) nên cũng liên tục trên đoạn \([0, π]\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Phương trình \(\sin x = x - 1\) có ít nhất một nghiệm trên khoảng \((0, π)\).

Bài 15 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11

Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng \((-1, 3)\):

\[x^4– 3x^3+ x – 1 = 0\]

Hướng dẫn giải

Đặt \(f(x)  =x^4– 3x^3+ x – 1 \)

Hàm số \(y=f(x)  =x^4– 3x^3+ x – 1 \) liên tục trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên đoạn \([-1, 0]\)

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
f( - 1) = 1 + 3 - 1 - 1 = 2 > 0 \hfill \cr 
f(0) = - 1 < 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Rightarrow f( - 1)f(0) < 0\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(([-1, 0]\) và \(f(-1)f(0) < 0\) nên phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng \((-1, 0)\)

\(⇒\)  Phương trình  \(x^4– 3x^3+ x – 1 = 0\) có nghiệm trên khoảng \((-1, 3)\)

Bài 16 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình

a) \(f’(x) = g(x)\) với \(f(x) = \sin^3 2x\) và \(g(x) = 4\cos2x – 5\sin4x\)

b) \(f’(x) = 0\) với \(f(x) = 20\cos3x + 12\cos5x – 15\cos4x\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(f(x) = \sin^3 2x\) 

\(⇒  f’(x) = 3\sin^2 2x (\sin2x)’ = 6\sin^2 2x \cos2x\)

Do đó:

\(\eqalign{
& f'(x) = g(x)\cr& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x - 5\sin 4x \cr 
& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x - 10\sin 2x\cos 2x \cr 
& \Leftrightarrow \cos 2x(3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 
3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2 = 0 \,\,\,\, (2)\hfill \cr} \right. \cr} \)

Giải (1): \(2x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb Z) \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2} (k \in \mathbb Z)\)

Giải (2): \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\\\sin 2x = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\(\eqalign{
& \sin 2x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr 
2x = \pi - \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi }  \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi }  \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr} \)

Tóm lại, phương trình đã cho có ba nghiệm là:

\(\left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr 
x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi }  \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi }  \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z\)

b) Ta có: \(f’(x) = -60sin 3x – 60 sin 5x + 60 sin4x = 0\)

Do đó:

\(\eqalign{
& f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \sin 3x - \sin 5x + \sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin 3x - \sin 4x=0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin 4x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - sin4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow sin4x(2cosx - 1) = 0 \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr 
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi \hfill \cr 
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 4} \hfill \cr 
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)

Bài 17 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) \(y = {1 \over {{{\cos }^2}3x}}\)                                                         

b) \(y = {{\cos \sqrt {{x^2} + 1} } \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

c) \(y = (2 - {x^2})cosx + 2x.sinx\)                             

d) \(y = {{\sin x - x.cosx} \over {\cos x + x.\sin x}}\)

Hướng dẫn giải

\(a)\,\,y' =  - \dfrac{{2\cos 3x.3\left( { - \sin 3x} \right)}}{{{{\cos }^4}3x}} = \dfrac{{6\sin 6x}}{{{{\cos }^4}3x}}\)

Bài 18 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

a) \(y = {1 \over {x + 1}}\)                                        

b) \(y = {1 \over {x(1 - x)}}\)

c) \(y = sin ax\) (\(a\) là hàm số)

d) \(y = sin^2 x\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\eqalign{
& y' = {{ - {{(x + 1)}'}} \over {{{(x + 1)}^2}}} = {{ - 1} \over {{{(x + 1)}^2}}} \cr 
& \Rightarrow y'' = {{\left[ {{{(x + 1)}^2}} \right]'} \over {{{(x + 1)}^4}}} = {{2(x + 1)(x + 1)'} \over {{{(x + 1)}^4}}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= {2 \over {{{(x + 1)}^3}}} \cr} \)

b) Ta có: \(y = {1 \over x} + {1 \over {1 - x}}\)

Do đó:

\(\eqalign{
& y' = - {1 \over {{x^2}}} - {{(1 - x)'} \over {{{(1 - x)}^2}}} = - {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{{(1 - x)}^2}}} \cr 
& y'' = {{({x^2})'} \over {{x^4}}} - {{\left[ {{{(1 - x)}^2}} \right]'} \over {{{(1 - x)}^4}}} \cr
& = {{2x} \over {{x^4}}} + {{2(1 - x)} \over {{{(1 - x)}^4}}} \cr 
& = {2 \over {{x^3}}} + {2 \over {{{(1 - x)}^3}}} \cr} \)

c) \(y’ = (ax)’cos ax = a. cos ax\)

\(⇒ y’’ = -a (ax)’sin ax = -a^2sinax\)

d) \(y’ = 2sinx.(sinx)’ = 2sinx.cosx = sin 2x\)

\(⇒  y’’ = (2x)’.cos 2x = 2.cos 2x\)

Bài 19 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số: \(f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) (C)

Hãy xác định các số \(a, b, c, d\), biết rằng đồ thị hàm số (C) của hàm số \(y = f(x)\) đi qua các điểm \((-1, -3), (1, -1)\) và \(f'({1 \over 3}) = 0\)

Hướng dẫn giải

(C): \(y = f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) \(⇒ f’(x)= 3x^2+ 2bx +c\)

+) Đồ thị (C) đi qua hai điểm \(A (-1, -3), B(1, -1)\) nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình hàm số ta có hệ:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- 3 = {( - 1)^3} + b{( - 1)^2} + c( - 1) + d \hfill \cr 
- 1 = {1^3} + b{(1)^2} + c.1 + d \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b - c + d = -2\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 
b + c + d = - 2\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Mặt khác :

\(\eqalign{
& f'({1 \over 3}) = 0 \Rightarrow 3{({1 \over 3})^2} + 2b({1 \over 3}) + c = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2b + 3c = - 1\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

+) Giải hệ phương trình (1), (2) và (3) ta được: 

\(\left\{ \matrix{
b = - {1 \over 2} \hfill \cr 
c = 0 \hfill \cr 
d = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Bài 20 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho các hàm số: \(f(x) =x^3+ bx^2+ cx + d\) (C)

                            \( g(x) = x^2– 3x + 1\)

với các số \(b, c, d\) tìm được ở bài 19, hãy:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x = -1\)

b) Giải phương trình \(f'\left( {\sin x} \right) = 0\)

c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 1}}\)

Hướng dẫn giải

Ở bài 19 cho:

\(\left\{ \matrix{
b = - {1 \over 2} \hfill \cr 
c = 0 \hfill \cr 
d = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

suy ra: \(f(x) = {x^3} - {1 \over {2}}{x^2} - {3 \over 2}(C)\)

a) Ta có: 

\(\eqalign{
& {x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0}={( - 1)^3} - {1 \over 2}{( - 1)^2} - {3 \over 2} = - 3 \cr 
& f'(x) = 3{x^2} - x \Rightarrow f'(-1) = 3.(-1)^2 -(- 1) = 4 \cr} \)

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(x_0= -1\) là:

\(y + 3 = 4(x + 1) ⇔ y = 4x + 1\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& f'(\sin x) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3.{\sin ^2}x - \sin x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin x.(3.\sin x - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr 
\sin x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr 
& \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\,\, (k \in \mathbb Z) \cr 
& \sin x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr 
x = \pi - {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.  \,\,(k \in \mathbb Z)\cr}\)

c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}}\)

Ta có:

\(f’'(x) = 6x – 1 ⇒ f’’ (sin 5x) = 6.sin5x – 1\)

\(g’(x) = 2x – 3 ⇒ g’(sin 3x) = 2.sin 3x – 3\)

Vậy:

\(\eqalign{
& {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}} = {{6.\sin 5x} \over {2.\sin 3x}} = 5.{{\sin 5x} \over {5x}}.{{3x} \over {\sin 3x}} \cr 
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}} \cr 
& = 5.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}}.\lim {{3x} \over {\sin 3x}} = 5.1.1 = 5 \cr} \)