Bài 6: Ôn tập chương Vecơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian.

Lý thuyết

Bài 1 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Nhắc lại định nghĩa vectơ trong không gian.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Hãy kể tên những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow{AA'}\) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lăng trụ ?

Hướng dẫn giải

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có định hướng, tức là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ là các đoạn thẳng song song và bằng nhau nên các vectơ bằng vectơ và có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ là: các vector BB^', CC^', DD^'.

Bài 2 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Trong không gian cho 3 vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đều khác vectơ - không. Khi nào ba vectơ đó đồng phẳng ?

Hướng dẫn giải

Thỏa mãn :

- Giá của 3 vector đều song song với mặt phẳng (P) nên chúng đồng phẳng

- Khi ba vectơ có giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

Bài 3 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Trong không gian hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc với nhau không ? Giả sử hai đường thẳng a, b lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\). Khi nào ta có thể kết luận a và b vuông góc với nhau ?

 

Hướng dẫn giải

Bài 4 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) có cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của  \(\left(\alpha\right)\) hay không ?

Hướng dẫn giải

Ta có thể chọn một trong số những cách sau để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Cách 1 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

- Cách 2 : Sử dụng định lí : "Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia".

- Cách 3 : Sử dụng định lí : " Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng đó"

Bài 5 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Hãy nhắc lại nội dung định lí ba đường vuông góc ?

Hướng dẫn giải

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a^' của a trên (P).

Bài 6 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Nhắc lại định nghĩa :

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

b) Góc giữa hai mặt phẳng

Hướng dẫn giải

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa

Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại điểm O và d không vuông góc với (α). Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu vuông góc góc d^' của d trên mặt phẳng (α), kí hiệu góc (d,α).

- Nếu d vuông góc góc với (α) ta qui ước góc (d,α) = 90^o.

- Nếu d // (α) hay d nằm trong (α) ta quy ước góc (d,α) = 90^o.

b) Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa : Giả sử hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ điểm I bất kì trên c ta dựng trong (α) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (β) đường thẳng b vuông góc với c. Ta gọi góc giữa hai đường a và b là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Như vậy góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) luôn có số đo bé hơn hoặc bằng 90^o.

*Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng với nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0^o. Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) được kí hiệu là (α, β), ta có 0^o ≤ (α, β) ≤ 90^o.

Bài 7 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Muốn chứng minh mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) thì phải chứng minh như thế nào ?

Hướng dẫn giải

Chứng minh (α) chứa một đường thẳng vuông góc với (β) hoặc (β) chứa một đường thẳng vuông góc với (α).

Hoặc chứng minh góc giữa (α) và (β) bằng 90^o.

Bài 8 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Hãy nêu cách tính khoảng cách :

a) Từ một điểm đến một đường thẳng

b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) song song với a

c) Giữa hai mặt phẳng song song

Hướng dẫn giải

a) Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ không đi qua O, ta xác định mặt phẳng (O; Δ) và trong mặt phẳng này kẻ OH ⊥ Δ. Độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến Δ.

b) Để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với (P), ta lấy một điểm M bất kì thuộc đường thẳng a. Khoảng cách MN từ điểm M đến mp(P) chính là khoảng cách giữa đường thẳng và mp(P) song song với a.

c) Để tính khoảng cách giữa hai mp(P) và (P^') song song với nhau, ta lấy một điểm M thuộc (P) và tìm khoảng cách MH từ điểm M đến mp(P^').

Bài 9 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau này bằng những cách nào ?

Hướng dẫn giải

Bài 10 - Câu hỏi (SGK trang 120)

Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đềy 3 đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

- Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với mp(ABC). Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, cho ta OA = OB = OC.

- Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC). Ngược lại, lấy một điểm M^' ∈ d, nối M^'A, M^'B, M^'C.

- Do M^'O chung và OA = OB = OC nên các tam giác vuông M^'OA, M^'OB, M^'OC bằng nhau, cho ta M^'A = M^'B = M^'C.

- Tức là điểm M^' cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Bài 1 - Bài tập (SGK trang 121)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song sng

c) Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) vuông góc với đường thẳng b mà b vuông góc với đường thẳng a thì a song song với  \(\left(\alpha\right)\)

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song

e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

Hướng dẫn giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai (vì a có thể nằm trong mp(α), xem hình vẽ)

d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng (α) và (β) cùng đi qua đường thẳng a và a ⊥ mp(P) nên (α) và (β) cùng vuông góc với mp(P) nhưng (α) và (β) cắt nhau.

Bài 2 - Bài tập (SGK trang 121)

Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào là đúng ?

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại

b) Qua một điểm duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Hướng dẫn giải

Câu a) đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

Câu b) sai. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu c) sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Câu d) sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

Bài 3 - Bài tập (SGK trang 121)

Hình chóp A.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Chứng minh rằng các mặt bên kia của hình chóp là những tam giác vuông

b) Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B', C', D'. Chứng minh B'D' song song với BD và AB' vuông góc với SB

Hướng dẫn giải

Bài 4 - Bài tập (SGK trang 121)

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc \(\widehat{BAD}=60^0\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO=\dfrac{3a}{4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm của BE

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC)

 

Hướng dẫn giải

Bài 5 - Bài tập (SGK trang 121)

Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a

a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC

Hướng dẫn giải

Bài 6 - Bài tập (SGK trang 122)

Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a

a) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và B'C

Hướng dẫn giải

Bài 7 - Bài tập (SGK trang 122)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc \(\widehat{BAD}=60^0\) và \(SA=SB=SD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) :

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

c) Chứng minh SB vuông góc với BC

d) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính \(\tan\varphi\)

Hướng dẫn giải