Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 23)

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm $A\left(-3;2\right);B\left(-4;5\right);C\left(-1;3\right)$

a) Chứng minh rằng các điểm $A'\left(2;3\right);B'\left(5;4\right);C'\left(3;1\right)$ theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O góc $-90^0$

b) Gọi tam giác $A_1B_1C_1$ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc $-90^0$ và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $A_1B_1C_1$ ?

Hướng dẫn giải

Gọi r = OA, α là góc lượng giác (Ox, OA), β là góc lượng giác (Ox, OA'). Giả sử A'= ( x'; y'). Khi đó ta có:

β = α - $90^{\circ}$ , x = r cos α, y = r sin α

Suy ra:

x' = r cos β = r cos ( α - $90^{\circ}$ ) = r sinα = y

y' = r sin β = r sin ( α - $90^{\circ}$ ) = - r cos α= - x

Do đó phép quay tâm O góc - $90^{\circ}$ biến A(-3;2) thành A'(2;3). Các trường hợp khác làm tương tự

undefined

Gọi tam giác ${A_{1}}^{}$ ${B_{1}}^{}$ ${C_{1}}^{}$ là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó ${A_{1}}^{}$ (2;-3), ${B_{1}}^{}$ (5;-4), ${C_{1}}^{}$ (3;-1) là đáp số cần tìm.

Bài 3 (SGK trang 24)

Chứng minh rằng : Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A'B'C' ?

Hướng dẫn giải

undefined

Gọi phép dời hình đó là f. Do f biến các đoạn thẳng AB, AC tương ứng thành các đoạn thẳng A'B', A'C' nên nó cũng biến các trung điểm M, N của các đoạn thẳng AB, AC tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm M', N' của các đoạn thẳng A'B', A'C'. Vậy f biến các trung tuyến CM, BN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến C'M', B'N' của tam giác A'B'C'. Từ đó suy ra f biến trọng tâm G của tam giác ABC của CM và BN thành trọng tâm G' của tam giác A'B'C' là giao của C'M' và B'N'.

Bài 2 (SGK trang 24)

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

undefined

Gọi L là trung điểm của đoạn thẳng OF. Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình thang BELF, phép tịnh tiến theo vectơ BF biến hình thang BELF thành hình thang FOIC. Như vậy phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép biến hình trên, sẽ biến hình thang AEJK thành hình thang FOIC. Do đó hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.