Bài 4: Phép thử và biến cố

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 63)

Gieo một đồng tiền 3 lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố : 

             A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp"

             B : " Mặt sất xảy ra đúng 1 lần"

             C : "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần"

Hướng dẫn giải

Không gian (KG) mẫu: gồm 8 phần tử

Ω = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}.

Trong đó SSS là kết quả "ba lần gieo đồng tiền xuất hiện mặt sấp"; NSS là kết quả "lần đầu đồng tiền xuất hiện mặt ngửa, lần thứ 2, lần thứ 3 xuất hiện mặt sấp"

b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN},

B = {SNN, NSN, NNS},

C = {SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} = Ω {SSS}.

Bài 2 (SGK trang 63)

Gieo một con súc sắc 2 lần :

a) Mô tả không gian mẫu

b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề

          \(A=\left\{\left(6,1\right),\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\right\}\)

          \(B=\left\{\left(2,6\right),\left(6,2\right),\left(3,5\right),\left(5,3\right),\left(4,4\right)\right\}\)

          \(C=\left\{\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right),\left(4,4\right),\left(5,5\right),\left(6,6\right)\right\}\)

Hướng dẫn giải

Phép thử T được xét là: "Gieo một con súc sắc hai lần".

a) Các phần tử của không gian mẫu của phép thử T được liệt kê trong bảng sau đây.

Trong bảng này, cột I là các mặt i chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ nhất, i = .

Dòng II (dòng trên cùng) là các mặt j chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ 2, j = . Mỗi ô (i, j) (giao của dòng i và cột j, 1 ≤ i, j ≤ 6) biểu thị một kết quả có thể có của phép thử T là: lần gieo thứ nhất ra mặt i chấm, lần gieo thứ 2 ra mặt j chấm.

Không gian mẫu:

Ta có thể mô tả không gian mẫu dưới dạng như sau:

Ω = {(i, j) i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6},

ở đó (i, j) là kết quả: " Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm".

Không gian mẫu có 36 phần tử.

b) A = "Lần gieo đầu được mặt 6 chấm";

B = "Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8";

C = "Kết quả ở hai lần gieo là như nhau".

Bài 3 (SGK trang 63)

Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ :

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau :              

             A: "tổng các số trên hai thẻ là số chẵn"

             B : "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn"

Hướng dẫn giải

Phép thử T được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên hai thẻ".

a) Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta có: Mỗi một kết quả có thể có các phép thử là một tổ hợp chập 2 của 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là C²₄ = 6, và không gian mẫu gồm các phần tử sau:

Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}.

b) A = {(1, 3), (2, 4)}.

B = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} = Ω {(1, 3)}

Bài 4 (SGK trang 64)

Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu \(A_K\) là biến cố  : "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2

a) Hãy biểu diễn các biến cố dau qua các biến cố \(A_1,A_2\)

                   A: "Không ai bắn trúng"

                   B : " Cả hai đều bắn trúng"

                   C: " Có đúng một người bắn trúng"

                   D : " Có ít nhất một người bắn trúng"

b) Chứng tỏ rằng : \(A=\overline{D}\); B và C xung khắc

Hướng dẫn giải

Phép thử T được xét là: "Hai xạ thủ cùng bắn vào bia".

Theo đề ra ta có = "Người thứ k không bắn trúng", k = 1, 2. Từ đó ta có:

a) A = "Không ai bắn trúng" = "Người thứ nhất không bắn trúng và người thứ hai không bắn trúng". Suy ra A = . .

Tương tự, ta có B = "Cả hai đều bắn trúng" = . .

Xét C = "Có đúng một người bắn trúng", ta có C là hợp của hai biến cố sau:

"Người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn trượt" = A₁ . .

"Người thứ nhất bắn trượt và người thứ hai bắn trúng" = . A₂ .

Suy ra C = A₁ . ∪ . A₂ .

Tương tự, ta có D = A₁ ∪ A₂ .

b) Gọi là biến cố: " Cả hai người đều bắn trượt". Ta có

= . = A.

Hiển nhiên B ∩ C = Φ nên suy ra B và C xung khắc với nhau.

Bài 5 (SGK trang 64)

Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 mầu đỏ, thẻ đánh số 6 mầu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 mầu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ

a) Mô tả không gian mẫu

b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau :

                    A: "Lấy được thẻ mầu đỏ"

                    B : "Lấy được thẻ mầu trắng"

                    C : " Lấy được thẻ ghi số chẵn"

Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập con tương ứng của không gian mẫu ? 

Hướng dẫn giải

Phép thử T được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên một thẻ".

a) Không gian mẫu được mô tả bởi tập

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

b) A = {1, 2, 3, 4, 5};

B = {7, 8, 9, 10};

C = {2, 4, 6, 8, 10}.

Bài 6 (SGK trang 64)

Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu xuất hiện mặt sau hoặc cả 4 lần ngửa thì dừng lại :

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố

    A : "Số lần gieo không vượt quá ba"

    B : " Số lần gieo là bốn"

 

Hướng dẫn giải

a) Không gian mẫu của phép thử đã cho là:

Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}.

b) A = {S, NS, NNS};

B = {NNNS, NNNN}.

Bài 7 (SGK trang 64)

Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái qua phải.

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau :

                  A : "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước"

                  B : " Chữ số trước gấp đôi chữ số sau"

                  C : " Hai chữ số bằng nhau"

Hướng dẫn giải

Phép thử T được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái qua phải".

a) Mỗi một kết quả có thể có của phép thử T là một chỉnh hợp chập 2 của 5 quả cầu đã được đánh số 1, 2, 3, 4, 5. Do đó số các kết quả có thể có của phép thử T là

A²₅ = 20, và không gian mẫu của phép thử T bao gồm các phần tử sau:

Ω = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (1, 5), (5, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4)},

trong đó (i, j) là kết quả: "Lần đầu lấy được quả cầu đánh số j (xếp bên phải)",

1 ≤ i, j ≤ 5.

b) A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)};

B = {(2, 1), (4, 2)};

C = Φ.