Bài 1: Phép biến hình

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 7)

Chứng minh rằng : $M'=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\Leftrightarrow M=T_{-\overrightarrow{v}}\left(M'\right)$ ?

Hướng dẫn giải

M' = $T_{\vec{v}}$ (M) ⇔ $\overrightarrow{MM'}$ = $\overrightarrow{v}$ ⇔ $\overrightarrow{M'M}$ = $\vec{-v}$ ⇔ M = $T_{\vec{-v}}$ (M')

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ biến D thành A ?

Hướng dẫn giải

undefined

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}$

. Suy ra $^T\overrightarrow{AG}\left(A\right)=G,^T\overrightarrow{AG}\left(B\right)=B',^T\overrightarrow{AG}\left(C\right)=C'$

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}$. Do đó, $^T\overrightarrow{AG}\left(D\right)=A$.

Bài 3 (SGK trang 7)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow{v}=\left(-1;2\right)$. Hai điểm $A\left(3;5\right);B\left(-1;1\right)$ và đường thẳng d có phương trình $x-2y+3=0$

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

Hướng dẫn giải

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó

$T_{\vec{v}}$ (A) = A' ⇔ $\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.$

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có A = $T_{\vec{v}}$ (C) ⇔ C= $T_{\vec{-v}}$ (A) = (4;3)

c)Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = $T_{\vec{v}}$ =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy $T_{\vec{v}}$ (d) = d'

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi $T_{\vec{v}}$ (d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó $T_{\vec{v}}$ (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8

Bài 4 (SGK trang 8)

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế ?

Hướng dẫn giải

Giả sử a và b có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v}$

. Lấy điểm A bất kì thuộc a và điểm B bất kì thuộc b. Với mỗi điểm M, gọi M' = $T_{\vec{AB}}$ (M) . Khi đó $\overrightarrow{MM'}$ = $\overrightarrow{AB}$ . Suy ra $\overrightarrow{AM}$ = $\overrightarrow{BM'}$