Bài 1: Giới hạn của dãy số

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 121)

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau 1 khoảng thời gian $T=24000$ năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã)

Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n

a) Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số $\left(u_n\right)$

b) Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0

c) Từ kết quả của câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó, khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}g$

Hướng dẫn giải

a) Nhận xét: u₁= $\frac{1}{2}$ ; u₂= $\frac{1}{4}$ ; u₃= $\frac{1}{8}$ ; ... u_n= $\frac{1}{2^{n}}$ .

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

b) lim u_n= lim ( $\frac{1}{2}$ )ⁿ= 0 = vì lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.

c) Đổi 10^-6g = $\frac{1}{10^{6}}$ . $\frac{1}{10^{3}}$ kg = $\frac{1}{10^{9}}$ kg.

Muốn có u_n= $\frac{1}{2^{n}}$ < $\frac{1}{10^{9}}$ , ta cần chọn n₀sao cho 2ⁿ₀> 10⁹. Chẳng hạn, với n₀= 36, thì

2³⁶= (2⁴)⁹ = 16 ⁹> 10⁹. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864 000 (năm), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.

Bài 2 (SGK trang 121)

Biết dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left|u_n-1\right|< \dfrac{1}{n^3}$ với mọi n. Chứng minh rằng $\lim\limits u_n=1$ ?

Hướng dẫn giải

Vì lim $\frac{1}{n^{3}}$ = 0 nên | $\frac{1}{n^{3}}$ | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, ta có |u_n-1| < $\frac{1}{n^{3}}$ = | $\frac{1}{n^{3}}$ | với mọi n. Nếu |u_n-1| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (u_n-1) = 0. Do đó lim u_n= 1.

Bài 3 (SGK trang 121)

Tìm các giới hạn sau :

a) $\lim\limits\dfrac{6n-1}{3n+2}$

b) $\lim\limits\dfrac{3n^2+n-5}{2n^2+1}$

c) $\lim\limits\dfrac{3^n+5.4^n}{4^n+2^n}$

d) $\lim\limits\dfrac{\sqrt{9n^2-n+1}}{4n-2}$

Hướng dẫn giải

a) lim $\frac{6n - 1}{3n +2}$ = lim $\frac{6 - \frac{1}{n}}{3 +\frac{2}{n}}$ = $\frac{6}{3}$ = 2.

b) lim $\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$ = lim $\frac{3 +\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}$ = $\frac{3}{2}$ .

c) lim $\frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}$ = lim $\frac{\frac{3}{4}^{n}+5}{1+\frac{1}{2}^{n}}=\frac{5}{1}$ = 5.

d) lim $\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}$ = lim $\frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{4-\frac{2}{n}}$ = $\frac{\sqrt{9}}{4}$ = $\frac{3}{4}$ .

Bài 4 (SGK trang 121)

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô mầu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô mầu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, ....., n, .....trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô mầu của Mickey có thể tiến ra vô hạn

a) Gọi $u_n$ là diện tích của hình vuông mầu xám thứ n. Tính $u_1,u_2,u_3$ và $u_n$ ?

b) Tính $\lim\limits S_n$ với $S_n=u_1+u_2+u_3+....u_n$

Hướng dẫn giải

a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ nên u₁= ( $\frac{1}{2}$ )²= $\frac{1}{4}$ .

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng $\frac{1}{4}$ nên u₂= ( $\frac{1}{4}$ )²= $\frac{1}{4^{2}}$ .

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng $\frac{1}{8}$ nên u₃= ( $\frac{1}{8}$ )^{2 = .}

Tương tự, ta có u_n= $\frac{1}{4^{n}}$

b) Dãy số (u_n) là một cặp số nhân lùi vô hạn với u₁= $\frac{1}{4}$ và q = $\frac{1}{4}$ . Do đó

lim S_n= $\frac{u_{1}}{1-q}= \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$ .

Bài 5 (SGK trang 121)

Tính tổng $S_n=-1+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{10^2}+.....+\dfrac{\left(-1\right)^n}{10^{n-1}}+....$ ?

Hướng dẫn giải

Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u_{1 = -1 và q = - .}

_{Vậy S = -1 + - + ... + + ... = = = .}

Bài 6 (SGK trang 121)

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn $a=1,0202020...$ (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số ?

Hướng dẫn giải

Ta có a = 1, 020 020 ... = 1+ $\frac{2}{100}$ + $\frac{2}{100^{2}}$ + ...+ $\frac{2}{100^{n}}$ + ...

= 1 + $\frac{\frac{2}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1 + \frac{2}{99}=\frac{101}{99}.$

Vì $\frac{2}{100}$ , $\frac{2}{100^{2}}$ , ..., $\frac{2}{100^{n}}$ , ... là một cấp số nhân lùi vô hạn có u_{1 = , q = .}

Bài 7 (SGK trang 121)

Tính các giới hạn sau :

a) $\lim\limits\left(n^3+2n^2-n+1\right)$

b) $\lim\limits\left(-n^2+5n-2\right)$

c) $\lim\limits\left(\sqrt{n^2-n}-n\right)$

d) $\lim\limits\left(\sqrt{n^2-n}+n\right)$

Hướng dẫn giải

a) lim (n³ + 2n² – n + 1) = lim n³(1 + $\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}$ ) = +∞

b) lim (-n² + 5n – 2) = lim n² ( -1 + $\frac{5}{n}-\frac{2}{n^{2}}$ ) = -∞

c) lim ( $\sqrt{n^{2}-n}$ - n) = lim $\frac{(\sqrt{n^{2}-n}-n)(\sqrt{n^{2}-n}+n)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}$
= lim $\frac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+n}$ = lim $\frac{-n}{\sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}+ n}$ = lim $\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}$ = $\frac{-1}{2}$ .