Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Mục lục

* * * * *

Bài 7 (SGK trang 157)

Một vật rơi tự do theo phương trình $s=\dfrac{1}{2}gt^2$, trong đó $g\approx9,8m$/$s^2$ là gia tốc trọng trường

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ $t\left(t=5s\right)$ đến $t+\Delta t$, trong các trường hợp $\Delta t=0,1s;\Delta t=0,05s;\Delta t=0,001s$

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t=5s$

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t là

v_{tb = = = g .(2t + ∆t) ≈ 4,9. (2t + ∆t).}

Với t = 5 và

+) ∆t = 0.1 thì v_tb≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s;

+) ∆t = 0,05 thì v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s;

+) ∆t = 0,001 thì v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s.

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s tương ứng với ∆t = 0 nên v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s.

Bài 6 (SGK trang 156)

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hyperbol $y=\dfrac{1}{x}$ ?

a) Tại điểm $\left(\dfrac{1}{2};2\right)$

b) Tại điểm có hoành độ bằng $-1$

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-\dfrac{1}{4}$

Hướng dẫn giải

y' = - $\frac{1}{x^{2}}$ .

a) Ta có: $y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow$ y' $\left ( \frac{1}{2} \right )$ = -4. $\Rightarrow$k= -4. Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm ( $\frac{1}{2}$ ; 2) là y - 2 = -4(x - $\frac{1}{2}$ ) hay y = -4x + 4.

b)Ta có:$y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow$ y' (-1) = -1.$\Rightarrow$ k= -1. Ngoài ra, ta có y(-1) = -1. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là -1 là

y - (-1) = -[x - (-1)] $\Leftrightarrow$ y = -x - 2.

c) Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm. Ta có

y' (x₀) = - $\frac{1}{4}$ <=> - $\frac{1}{x_{0}^{2}}$ = - $\frac{1}{4}$ <=> x₀² = 4 <=> x₀ = ±2.

Với x₀ = 2 ta có y(2) = $\frac{1}{2}$ , phương trình tiếp tuyến là

y - $\frac{1}{2}$ = - $\frac{1}{4}$ (x - 2) $\Leftrightarrow$ y = $\frac{1}{4}$ x + 1.

Với x₀ = -2 ta có y (-2) = - $\frac{1}{2}$ , phương trình tiếp tuyến là

y - $\left ( -\frac{1}{2} \right )$ = - $\frac{1}{4}$ [x - (-2)] $\Leftrightarrow$ y = - $\frac{1}{4}$ x -1

Bài 1 (SGK trang 156)

Tìm số gia của hàm số $f\left(x\right)=x^3$ biết rằng :

a) $x_0=1;\Delta=1$

b) $x_0=1;\Delta x=-0,1$

Hướng dẫn giải

a) ∆y = f(x₀+∆x) - f(x₀) = f(2) - f(1) = 2³- 1³ = 7.

b) ∆y = f(x₀+∆x) - f(x₀) = f(0,9) - f(1) = $\left ( \frac{9}{10} \right )^{3}$ - 1³ = $\frac{729}{1000}$ - 1 = -0,271.

Bài 4 (SGK trang 156)

Chứng minh rằng hàm số :

$f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2;\left(x\ge0\right)\\-x^2;\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.$

Không có đạo hàm tại điểm $x=0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x=2$

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}$ f(x) = $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}$ (x – 1)² = 1 và $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}$ f(x) = $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}$ (-x²) = 0.

vì $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}$ f(x) ≠ $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}$ nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0, do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

Ta có $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ (2 + ∆x) = 2.

Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f'(2) = 2.

Bài 3 (SGK trang 156)

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra :

a) $y=x^2+x$ tại $x_0=1$

b) $y=\dfrac{1}{x}$ tại $x_0=2$

c) $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ tại $x_0=0$

Hướng dẫn giải

a) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 1. Ta có:

∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)² + (1 + ∆x) - (1²+ 1) = 3∆x + (∆x)^2;

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = 3 + ∆x; $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ (3 + ∆x) = 3.

Vậy f'(1) = 3.

b) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 2. Ta có:

∆y = f(2 + ∆x) - f(2) = $\frac{1}{2+\Delta x}$ - $\frac{1}{2}$ = - $\frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}$ ;

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = - $\frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}$ ; $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ - $\frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}$ = - $\frac{1}{4}$ .

Vậy f'(2) = - $\frac{1}{4}$ .

c) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 0.Ta có:

∆y = f(∆x) - f(0) = $\frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}$ - ( -1) = $\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}$ ;

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{2}{\Delta x-1}$ ; $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{2}{\Delta x-1}$ = -2.

Vậy f'(0) = -2

Bài 5 (SGK trang 156)

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=x^3$

a) Tại điểm $\left(-1;-1\right)$

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Hướng dẫn giải

y' = 3x².

a)Ta có: $y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow$ y' (-1) = 3. $\Rightarrow$ k=3. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;-1) là : y - (-1) = 3[x - (-1)] $\Leftrightarrow$ y = 3x+2.

b) Ta có:$y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow$y' (2) = 12. $\Rightarrow$ k=12. Ngoài ra ta có y(2) = 8. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y - 8 = 12(x - 2) $\Leftrightarrow$ y = 12x -16.

c) Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm. Ta có:

y' (x₀) = 3 <=> 3x₀² = 3 <=> x₀²= 1 <=> x₀ = ±1.

Với x₀ = 1 ta có y(1) = 1, phương trình tiếp tuyến là

y - 1 = 3(x - 1) $\Leftrightarrow$ y = 3x - 2.

Với x₀ = -1 ta có y(-1) = -1, phương trình tiếp tuyến là

y - (-1) = 3[x - (-1)] $\Leftrightarrow$ y = 3x + 2

Bài 2 (SGK trang 156)

Tính $\Delta y$ và $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ của các hàm số sau theo $x$ và $\Delta x$ :

a) $y=2x-5$

b) $y=x^2-1$

c) $y=2x^3$

d) $y=\dfrac{1}{x}$

Hướng dẫn giải

a) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x+∆x) - 5 - (2x - 5) = 2∆x và $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{2\Delta x}{\Delta x}$ = 2.

b) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = (X+ ∆x)²- 1 - (x² - 1) = 2x∆x + (∆x)² = ∆x(2x + ∆x) và $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{\Delta x\left ( 2x+\Delta x \right )}{\Delta x}$ = 2x + ∆x.

c) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x + ∆x)³ - 2x³ = 6x²∆x + 6x(∆x)² + 2(∆x)³ = 2∆x.(3x² + 3x∆x + (∆x)² ) và $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = 6x² + 6x∆x + 2(∆x)².

d) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = $\frac{1}{x+\Delta x}$ - $\frac{1}{x}$ = - $\frac{\Delta x}{\left ( x+\Delta x \right )x}$ và $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{1}{\left ( x+\Delta x \right )x}$ .