§3. Tích của vectơ với một số

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 17)

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$

ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành của tổng)

$\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB,}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK};\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}$ ?

Hướng dẫn giải

Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.

Ta có = => =

= - = - = -

Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vec tơ:

= + => = - = (- ).

AK là trung tuyến thuộc cạnh BC nên

+ = 2 => - += 2

Từ đây ta có = + => = - - .

BM là trung tuyến thuộc đỉnh B nên

+ = 2 => - + = 2

=> = + .

Bài 3 (SGK trang 17)

Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{MB}=3\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}\right)$

$\Rightarrow\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow-\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Mà $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

Theo quy tắc 3 điểm, ta có

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ hay $\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{v}$

Bài 4 (SGK trang 17)

Gọi $AM$ là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng :

a) $2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

b) $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$ , với O là điểm tùy ý

Hướng dẫn giải

a) Gọi M là trung điểm của BC nên:

Ta có:

$\dpi{100} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \left( {\overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {DM} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {DM} + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {DM}$

vì $\dpi{100} \overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MC}$

Mặt khác, do D là trung điểm của đoạn AM nên $\dpi{100} \overrightarrow {DM} = - \overrightarrow {DA}$

Khi đó: $\dpi{100} 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DM} = 2\left (\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} \right ) = \overrightarrow 0$

b) Ta có:

$\dpi{100} 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\dpi{100} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$ luôn đúng theo câu a

Vậy: $\dpi{100} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {O{\rm{D}}}$ , với O là điểm tùy ý

Bài 5 (SGK trang 17)

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng :

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$

Hướng dẫn giải

N là trung điểm của CD:

2= + (1)

Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

= + (2)

= + (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: 2= +++

vì M là trung điểm của Ab nên: + =

Suy ra : 2 = +

Chứng minh tương tự, ta có 2 = +

Chú ý: Sau khi chứng minh 2 C = + ta chỉ cần chứng minh thêm + = + cũng được

Ta có: + = +++

= +++= ++

Vì = nên ta có: +=+

và 2= + = +

Bài 6 (SGK trang 17)

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho :

$3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

Hướng dẫn giải

Ta có: 3 $\overrightarrow{KA}$ + 2 $\overrightarrow{KB}$ = $\overrightarrow{0}$ => 3 $\overrightarrow{KA}$ = -2 $\overrightarrow{KB}$ => $\overrightarrow{KA}$ = - $\frac{2}{3}$ $\overrightarrow{KB}$

Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ $\overrightarrow{KA}$ , $\overrightarrow{KB}$ là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn AB

Ta lại có: $\left | \overrightarrow{KA} \right |$ = - $\frac{2}{3}$ $\left | \overrightarrow{KB} \right |$ => KA = $\frac{2}{3}$ KB

Vậy K là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số $\frac{2}{3}$

Bài 7 (SGK trang 17)

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ ?

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm của cạnh AB, ta có:

+ = 2

Đẳng thức đã cho trở thành:

2+ 2 =

=> + =

Đẳng thức này chứng tỏ M là trung điểm của CD

Bài 8 (SGK trang 17)

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FE. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm ?

Hướng dẫn giải

Ta có : =

=> ++ = (++) = =

=> ++ = (1)

Gọi G là trong tâm của tam giác MPR, ta có:

+ + = (2)

Mặt khác : = +

= +

=> ++ =(++)+ ++ (3)

Từ (1),(2), (3) suy ra: ++ =

Vậy G là trọng tâm của tam giác NQS

Bài 9 (SGK trang 17)

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đền BC, AC, AB. Chứng minh rằng :

$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Hướng dẫn giải

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A₁B₁ // AB; A₂C₂ // AC; B₂C₁ // BC.

Dễ thấy các tam giác MB₁C₂; MA₁C₁;MA₂B₂ đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B₁C₂ nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B₁C₂của tam giác MB₁C₂

Ta có 2 = +

Tương tự: 2 = +

2 = +

=> 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)

Tứ giác là hình bình hành nên

+ =

Tương tự: + =

+ =

=> 2( ++) = ++

vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên

++ = 3.

Cuối cùng ta có:

2( ++) = 3;

=> ++ =

Bài 1.20 (SBT trang 33)

Tìm giá trị của m sao cho $\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau :

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b};\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$

c) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{a}\right|=20;\left|\overrightarrow{b}\right|=5$

d) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{a}\right|=5;\left|\overrightarrow{b}\right|=15$

e) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}$

g) $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

h) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

Hướng dẫn giải

d) Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên m < 0.
$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|m\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$$\Leftrightarrow15=\left|m\right|.3$$\Leftrightarrow\left|m\right|=5$$\Leftrightarrow m=\pm5$.
Do m < 0 nên m = -5.
e) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}$ nên$\overrightarrow{0}=m.\overrightarrow{b}$. Suy ra m = 0.
g) $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{a}=m.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$. Suy ra không tồn tại giá trị m thỏa mãn.
h) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{0}=m.\overrightarrow{0}$. Suy ra mọi $m\in R$ đều thỏa mãn.

Bài 1.21 (SBT trang 33)

Chứng minh rằng :

a) Nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}$

b) Nếu $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}$ và $m\ne0$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$

c) Nếu $m\overrightarrow{a}=n\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$ thì $m=n$

Hướng dẫn giải

a) Giả sử $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}$
$\Leftrightarrow m\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow m\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow m.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ (do $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ )
$\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ (luôn đúng).
Vậy điều giả sử đúng.
Ta chứng minh được:
Nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}$.
b) Có: $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}$$\Leftrightarrow m\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow m\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ (do $m\ne0$ )
$\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ (đpcm).
c) Có $m\overrightarrow{a}=n\overrightarrow{a}\Leftrightarrow m\overrightarrow{a}-n\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\left(m-n\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow m-n=0$ ( do $\overrightarrow{a}\ne0$ )
$\Leftrightarrow m=n$ (đpcm).

Bài 1.22 (SBT trang 33)

Chứng minh rằng tổng của n vectơ $\overrightarrow{a}$ bằng $n\overrightarrow{a}$ (n là số nguyên dương) ?

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh bằng quy nạp:
- Với n = 1 luôn đúng vì $\overrightarrow{a}$ có cùng độ dài và hướng với véc tơ $1.\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{a}=1.\overrightarrow{a}$.
- Giả sử điều phải chứng minh đúng với $n=k$. Nghĩa là:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}$. (có $k$ véc tơ $\overrightarrow{a}$)
- Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$. Nghĩa là:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\left(k+1\right)\overrightarrow{a}$.
Thật vậy, ta có tổng k + 1 véc tơ $\overrightarrow{a}$:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+...+\overrightarrow{a}\right)+\overrightarrow{a}$
$=k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ (theo giả thiết quy nạp)
$=\left(k+1\right)\overrightarrow{a}$ (theo tính chất phân phối với phép cộng các số).
Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\left(k+1\right)\overrightarrow{a}$.
Suy ra điều phải chứng minh đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lý quy nạp toán học điều trên đúng với n.

Bài 1.23 (SBT trang 33)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
$\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}$.
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
Ta sẽ chứng minh $G\equiv G'$.
Thật vậy:
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}$.
Vậy $G\equiv G'$.

Bài 1.24 (SBT trang 33)

Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$ thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm ?

Hướng dẫn giải

Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, ta sẽ chứng minh G' cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC nên: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
Ta cần chứng minh: $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$.
Theo giả thiết:
$\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$
Vậy G là trọng tâm tam giác A'B'C' hay hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Bài 1.25 (SBT trang 33)

Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Dựng các vectơ :

a) $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

b) $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$

c) $-\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$

Hướng dẫn giải

Cho hai véc tơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$.

Bài 1.26 (SBT trang 33)

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a

a) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF}$

b) Tính độ dài của vectơ $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ theo a

Hướng dẫn giải

a)
$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$.
Vậy $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}=2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}\right)$.
b)
$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Vì vậy: $\left|\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\left|\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{1}{2}AC$.

Do tam giác ABC cân tại B nên BH là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác ứng với đỉnh B của tam giác ABC.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$AH=AB.sin60^o=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$AC=2BH=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Vì vậy: $\left|\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\left|\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{1}{2}AC$$=a\sqrt{3}$.

Bài 1.27 (SBT trang 33)

Cho tam giác ABC có trung tuyến $\overrightarrow{AM}$ (M là trung điểm của BC). Phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ?

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)$
$=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Bài 1.28 (SBT trang 34)

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên canh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN

Phân tích vectơ $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ?

Hướng dẫn giải

Theo các xác định điểm M, N ta có:
$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
Theo tính chất trung điểm của MN ta có:
$\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)$
$=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Bài 1.29 (SBT trang 34)

Cho tam giác ABC. Dựng $\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{CA}$

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B'C'

b) Chứng minh các đường thẳng $AA';BB'$ và $CC'$ đồng quy

Hướng dẫn giải

a) Ta có:
$\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$.
Vậy A là trung điểm của B'C'.
b)

Theo câu a ta chứng minh được A là trung điểm của B'C'.
Tương tự ta chứng minh được: B là trung điểm của A'C'; C là trung điểm của A'B'.
Từ đó suy ra ba đường thẳng AB', BB', CC' là ba đường trung tuyến của tam giác A'B'C' nên ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.

Bài 1.30 (SBT trang 34)

Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho $CI=\dfrac{1}{4}CA$. J là điểm mà $\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

a) Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng

c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}$
$=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.
b) Có $\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BI}$.
Vì vậy 3 điểm B, I, J thẳng hàng.
c)
Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Tại điểm K dựng điểm T sao cho $\overrightarrow{KT}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KT}=\overrightarrow{AT}$.
Dựng điểm T sao cho $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AT}$.

Bài 1.31 (SBT trang 34)

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

Hướng dẫn giải

Do là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành nên:
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$$=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}$
$=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$
$=4\overrightarrow{MO}$ (ĐPCM).

Bài 1.32 (SBT trang 34)

Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{IJ}$ ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất trung điểm ta có:
Do J là trung điểm của BD nên $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}$.
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}$.
Vì vậy: $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}$
$=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right)$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ (ĐPCM).

Bài 1.33 (SBT trang 34)

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm ?

Hướng dẫn giải

Gọi G lần lượt là trọng tâm tam giác ANP. Ta sẽ chứng minh G cũng là trọng tâm tam giác MQC.
Ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$.
Ta cần chứng minh: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}$.
Thật vậy: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{PQ}$
$=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}\right)$
$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}$.
Do các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên PQ và NM lần lượt là các đường trung bình của tam giác DAC và BAC.
Vì vậy: $\overrightarrow{NM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA};\overrightarrow{PQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.
Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$.
Ta chứng minh được: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}$ nên G là trọng tâm tam giác CMQ.
Vậy hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Bài 1.34 (SBT trang 34)

Cho tam giác ABC

a) Tìm điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$

b) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Hướng dẫn giải

a)Giả sử điểm K thỏa mãn:
$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$$\Leftrightarrow\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$
$\Leftrightarrow3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BA}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}$.
Xác định: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}$.

Lấy điểm D sao cho B là trung điểm của DC.
$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$.
Điểm K xác định sao cho : $\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{AD}$ hay tứ giác AKBD là hình bình hành.

Bài 1.35 (SBT trang 34)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác. D là điểm đối xứng của A qua O

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành

b) Chứng minh :

$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}$

$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Chứng minh $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$. Từ đó kết luận gì về 3 điểm O, H, G ?

Hướng dẫn giải

Có $BH\perp AC$. (1)
$\widehat{ADC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vì vậy$AC\perp DC$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BH//DC. (3)
Tương tự HC//BD (vì cùng vuông góc với AB). (4)
Từ (3);(4) suy ra tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Do O là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}$.
Do M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HD}$.
Vì vậy $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}$.
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$
$=3\overrightarrow{HO}+2\overrightarrow{HO}=2\left(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OH}\right)+\overrightarrow{HO}$
$=2.\overrightarrow{0}+\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HO}$.
c) Ta có:
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$$=3\overrightarrow{OG}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác). (5)
Mặt khác theo câu b)
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$. (6)
Theo (5) và (6) ta có: $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.
Suy ra ba điểm O, H, G thẳng hàng ( đường thẳng Ơ-le).

Có thể bạn quan tâm