§3. HÀM SỐ BẬC HAI

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 49)

Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục ting, trục hoàng (nếu có) của mỗi parabol :

a. $y=x^2-3x+2$

b. $y=-2x^2+4x-3$

c. $y=x^2-2x$

d. $y=-x^2+4$

Hướng dẫn giải

a) y = x² - 3x + 2. Hệ số: a = 1, b = - 3, c = 2.

Hoành độ đỉnh x₁ = $-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}.$
Tung độ đỉnh y₁ = $-\frac{\Delta }{4a}=\frac{4.2-3^{2}}{4}=-\frac{1}{4}.$

Vậy đỉnh parabol là $I(\frac{3}{2};-\frac{1}{4})$ .

Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 2).
Hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành là nghiệm của phương trình:

x² - 3x + 2 = 0 ⇔ x₁ = $\frac{3-\sqrt{1}}{2}=1$ , x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{2}=2$ .

Vậy các giao điểm của parabol với trục hoành là B(1; 0) và C(2; 0).

b) Đỉnh I(1; 1). Giao điểm với trục tung A(0;- 3).

Phương trình - 2x² + 4x - 3 = 0 vô nghiệm. Không có giao điểm cuả parabol với trục hoành.

c) Đỉnh I(1;- 1). Các giao điểm với hai trục tọa độ: A(0; 0), B(2; 0).

d) Đỉnh I(0; 4). Các giao điểm với hai trục tọa độ: A(0; 4), B(- 2; 0), C(2; 0).

Bài 2 (SGK trang 49)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :

a. $y=3x^2-4x+1$

b. $y=-3x^2+2x-1$

c. $y=4x^2-4x+1$

d. $y=-x^2+4x-4$

e. $y=2x^2+x+1$

f. $y=-x^2+x-1$

Hướng dẫn giải

a) Bảng biến thiên:

Đồ thị: - Đỉnh:

- Trục đối xứng:

- Giao điểm với trục tung A(0; 1)

- Giao điểm với trục hoành , C(1; 0).

(hình dưới).

b) y = - 3x² + 2x – 1=

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị: - Đỉnh Trục đối xứng: .

- Giao điểm với trục tung A(0;- 1).

- Giao điểm với trục hoành: không có.

Ta xác định thêm mấy điểm: B(1;- 2), C(1;- 6). (bạn tự vẽ).

c) y = 4x²- 4x + 1 = .

Lập bảng biến thiên và vẽ tương tự câu a, b.

d) y = - x² + 4x – 4 = - (x – 2)²

Bảng biến thiên:

Cách vẽ đồ thị:

Ngoài cách vẽ như câu a, b, ta có thể vẽ như sau:

+ Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = - x^2.

+ Tịnh tiến (P) song song với Ox sang phải 2 đơn vị được (P₁) là đồ thị cần vẽ. (hình dưới).

e) y = 2x²+ x + 1;

- Đỉnh $I (\frac{- 1}{4}; \frac{- 7}{8})$

- Trục đối xứng :$x=\dfrac{-1}{4}$

- Giao Ox: Đồ thị không giao với trục hoành

- Giao Oy: Giao với trục tung tại điểm (0;1)

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị theo bảng sau:

x	-2	-1	0	1	2
y	7	2	1	4	11

f) y = - x² + x - 1.

- Đỉnh $I (\frac{1}{2}; \frac{- 3}{4})$

- Trục đối xứng : $x=\dfrac{1}{2}$

- Giao Ox: Đồ thị không giao với trục hoành

- Giao Oy: Giao với trục tung tại điểm (0;-1)

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị theo bảng sau:

x	-2	-1	0	1	2
y	-7	-3	-1	-1	-3

Bài 3 (SGK trang 49)

Xác định parabol $y=ax^2+bx+2$, biết rằng parabol đó :

a. Đi qua hai điểm $M\left(1;5\right)$ và $N\left(-2;8\right)$

b. Đi qua điểm $A\left(3;-4\right)$ và có trục đối xứng là $x=-\dfrac{3}{2}$

c. Có đỉnh là $I\left(2;-2\right)$

d. Đi qua điểm $B\left(-1;6\right)$ và tung độ của đỉnh là $-\dfrac{1}{4}$

Hướng dẫn giải

a) Vì parabol đi qua M(1; 5) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình của parabol: 5 = a.1² + b.1 + 2.

Tương tự, với N(- 2; 8) ta có: 8 = a.(- 2)² + b.(- 2) + 2

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a+b+2=5\\ 4a-2b+2=8 \end{matrix}\right.$ ta được a = 2, b = 1.

Parabol có phương trình là: y = 2x² + x + 2.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\\a(3)^{2}+b.3+2=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3}\\ b=-1 \end{matrix}\right.$

Parabol: y = $-\frac{1}{3}$ x² - x + 2.

c) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=2\\ -\frac{8a-b^{2}}{4a}=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-4 \end{matrix}\right.$

Parabol: y = x² - 4x + 2.

d) Ta có:

$\left\{\begin{matrix} a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\\ \frac{8a-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=16\\ b=12 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$

Parabol: y = 16x² + 12x + 2 hoặc y = x² - 3x + 2.

Bài 4 (SGK trang 50)

Xác định a, b, c biết parabol $y=ax^2+bx+c$ đi qua điểm $A\left(8;0\right)$ và có đỉnh là $I\left(6;-12\right)$

Hướng dẫn giải

Hàm số đi qua $A\left(8;0\right)$ nên: $a.8^2+8b+c=0$$\Leftrightarrow64a+8b+c=0$.
Hàm số có đỉnh là: $I\left(6;-12\right)$ nên: $\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=6\\6^2.a+6b+c=-12\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12a+b=0\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.$.
Vậy ta có hệ: $\left\{{}\begin{matrix}64a+8b+c=0\\-b=12a\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-36\\c=96\end{matrix}\right.$.
Vậy : $y=-3x^2-36x+96$.

Bài 14 (SBT trang 40)

Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh, các giao điểm với trục tung và trục hoành của parabol ?

a) $y=2x^2-x-2$

b) $y=-2x^2-x+2$

c) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x-1$

d) $y=\dfrac{1}{5}x^2-2x+6$

Hướng dẫn giải

Lời giải

a.1) Trục đối xứng y =1/4

a.2) giao trục tung A(0,-2)

a.3) giao trục hoành ($\left(\Delta=17\right)$ $B\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}{4};0\right)$;$C\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\right)$

b.1) Trục đối xứng y =-1/4

b.2) giao trục tung A(0,2)

a.3) giao trục hoành $\left(\Delta=17\right)$ $B\left(\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4};0\right)$;$C\left(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}\right)$

Bài 15 (SBT trang 40)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai :

a) $y=2x^2+4x-6$

b) $y=-3x^2-6x+4$

c) $y=\sqrt{3}x^2+2\sqrt{3}x+2$

d) $y=-2\left(x^2+1\right)$

Hướng dẫn giải

Hàm số bậc hai

Bài 16 (SBT trang 40)

Xác định hàm số bậc hai $y=ax^2-4x+c$, biết rằng đồ thị của nó

a) Đi qua hai điểm $A\left(1;-2\right);B\left(2;3\right)$

b) Có đỉnh là $I\left(-2;-1\right)$

c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm $P\left(-2;1\right)$

d) Có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ và cắt trục hoành tại điểm $M\left(3;0\right)$

Hướng dẫn giải

y(1) =a-4+c=$-2$$\Rightarrow$ a+c=2

y(2)=4a-8+c=3 $\Rightarrow$4a+c=3

Trừ cho nhau$\Rightarrow$3a=1 $\Rightarrow$a=$\dfrac{1}{3}$$\Rightarrow$ $c=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}$.

Vậy: $y=\dfrac{1}{3}x^2-4x+\dfrac{5}{3}$.

I(-2;1)$\Rightarrow\dfrac{4}{2a}=-2$$\Leftrightarrow a=-1$.

y(-2) $=-4+8+c=1$$\Rightarrow$ $c=-3$

Vậy: $y=-x^2-4x-3$.

c)$\dfrac{4}{2a}=-3$$\Leftrightarrow a=-\dfrac{2}{3}$
$y\left(-2\right)=-\dfrac{2}{3}.4+8+c=1$$\Leftrightarrow c=-\dfrac{13}{3}$
Vậy: $y=-\dfrac{2}{3}x^3-4x-\dfrac{13}{3}$.