§2. Giá trị lượng giác của một cung

Lý thuyết

Câu hỏi 1 trang 141 SGK Đại số 10

Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc α, 0o ≤ α ≤ 180o.

Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.

Hướng dẫn giải

Các số sin⁡α; cos⁡α; tan⁡α; cot⁡α được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0^o ≤ α ≤ 180^o

Câu hỏi 2 trang 142 SGK Đại số 10

Tính: \(\sin {{25\pi } \over 4};\,\cos ( - {240^0});\,tan( - {405^0})\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& \sin {{25\pi } \over 4} = \sin (6\pi + {\pi \over 4}) = \sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr 
& \cos ( - {240^0}) = \cos ( - {180^0} - {60^0}) = \cos ( - {60^0}) = \cos {60^0} = {1 \over 2} \cr 
& tan( - {405^0}) = tan( - {360^0} - {45^0}) = - \tan {45^0} = - 1 \cr} \)

Câu hỏi 3 trang 143 SGK Đại số 10

Từ định nghĩa của sinα và cosα, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.

Hướng dẫn giải

sinα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vecto (OK) trên trục Oy. Trục Oy là trục sin.

cosα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vecto (OH) trên trục Ox. Trục Oy là trục cos.

Câu hỏi 4 trang 145 SGK Đại số 10

Từ ý nghĩa hình học của tanα và cotα hãy suy ra với mọi số nguyên k, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cotα.

Hướng dẫn giải

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm T trên trục tan. Do đó

tan(α + kπ) = tanα.

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm S trên trục cot. Do đó

cot(α + kπ) = cotα.

Câu hỏi 5 trang 145 SGK Đại số 10

Từ định nghĩa của sinα, cosα. Hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại.

Hướng dẫn giải

sinα = (OK) ;cosα = (OH)

Do tam giác OMK vuông tại K nên:

sin2 α + cos2 α = OK2 + OH2 = OK2 + MK2 = OM2 = 1.

Vậy sin2 α + cos2 α = 1.

\(\eqalign{
& 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} \cr 
& 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }} \cr 
& \tan \alpha .\cot \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.{{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} = 1 \cr} \)

Câu hỏi 6 trang 148 SGK Đại số 10

Tính: \(\cos {{ - 11\pi } \over 4};\,\tan {{31\pi } \over 6};\,\sin ( - {1380^0})\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& \cos {{ - 11\pi } \over 4} = \cos ( - 2\pi - {{3\pi } \over 4}) = \cos ( - {{3\pi } \over 4}) = \cos ({{3\pi } \over 4}) = {{ - \sqrt 2 } \over 2} \cr 
& \tan {{31\pi } \over 6} = \tan (4\pi + \pi + {\pi \over 6}) = \tan {\pi \over 6} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr 
& \sin ( - {1380^0}) = sin( - {4.360^0} + {60^0}) = \sin {60^0} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr} \)

Bài 1 trang 148 SGK Đại số 10

Có cung \(α\) nào mà \(\sinα\) nhận các giá trị tương ứng sau đây không?  

a) \(-0,7\);                 b) \( \frac{4}{3}\)     

c) \(-\sqrt2\);                  d)\( \frac{\sqrt{5}}{2}\) 

Hướng dẫn giải

Với mọi góc \(\alpha\) đều thỏa mãn \( - 1 \le \sin \alpha  \le 1.\)

a) Vì \(-1 < -0,7 < 1\) nên có cung \(α\) mà \(sin α = -0,7.\)

b) Vì \( \frac{4}{3}> 1\) nên không có cung \(α\) có \(\sin\) nhận giá trị \( \frac{4}{3}.\)

c) Vì \(-\sqrt2 < -1\) nên không có cung \(α\)  thỏa mãn.

d) Vì \( \frac{\sqrt{5}}{2} > 1\) nên không có cung \(α\)  thỏa mãn.

Bài 2 trang 148 SGK Đại số 10

Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) \(\sin α =  \frac{\sqrt{2}}{3}\) và \(\cos α =  \frac{\sqrt{3}}{3}\);

b) \(\sinα = -\frac{4}{5}\) và \(\cosα =  -\frac{3}{5}.\)

Hướng dẫn giải

Với mọi góc \(\alpha\) ta đều có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

\(a)\;{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \ne 1 \Rightarrow \) không thể đồng thời xảy ra hai đẳng thức trên.

\(b)\;{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} + {\left( { - \frac{3}{5}} \right)^2} \)\(= 1 \Rightarrow \) có thể đồng thời xảy ra hai đẳng thức trên.

\(c)\;{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\left( {0,7} \right)^2} + {\left( {0,3} \right)^2} = 0,58 \ne 1 \)\(\Rightarrow \) không thể đồng thời xảy ra hai đẳng thức trên.

Bài 3 trang 148 SGK Đại số 10

Cho \(0 < α <  \frac{\pi }{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác

a) \(\sin(α - π)\);                 b) \(\cos\left( \frac{3\pi }{2}- α\right)\)

c) \(\tan(α + π)\);                d) \(\cot\left(α +  \frac{\pi }{2}\right)\)

Hướng dẫn giải

Với \(0 < α < \frac{\pi}{2}\) ta có: \(\sin \alpha  > 0,\;\;\cos \alpha  > 0,\;tan\alpha  > 0,\;\;\cot \alpha  > 0.\)

a) Ta có: \(0 < \alpha  < \pi  \Rightarrow \alpha  - \pi  < 0 \Rightarrow \sin \left( {\alpha  - \pi } \right) < 0.\)

b)  Ta có: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) = \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \sin\alpha  < 0.\)

c) Ta có: \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right) = \tan \alpha >0.\)

d) Ta có: \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \tan \alpha<0.\)

Bài 4 trang 148 SGK Đại số 10

Tính các giá trị lượng giác của góc \(α\), nếu:

a) \(\cosα = \frac{4}{13}\) và \(0 < α < \frac{\pi }{2}\);            

b) \(\sinα = -0,7\) và \(π < α <  \frac{3\pi }{2}\);

c) \(\tan α =  -\frac{15}{7}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π\);          

d) \(\cotα = -3\) và \( \frac{3\pi }{2} < α < 2π\).

Hướng dẫn giải

a) Do \(0 < α <  \frac{\pi}{2}\) nên \(\sinα > 0, \, \tanα > 0, \) \( \cotα > 0.\)

\(\sinα =  \sqrt{1-(\frac{4}{13})^{2}}=\frac{\sqrt{153}}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13}\)

\(\cotα =  \frac{4}{13}:\frac{3\sqrt{17}}{13}=\frac{4\sqrt{17}}{51}\); \(\tanα = \frac{3\sqrt{17}}{4}\)

b) \(π < α <  \frac{3\pi }{2}\) nên \(\sinα < 0, \cosα < 0, \)\(\tanα > 0, \cotα > 0\)

\(\cosα = -\sqrt{(1 - sin^2 α)} = \)\(-\sqrt{(1 - 0,49) }= -\sqrt{0,51} ≈ -0,7141\)

 \(\tanα ≈ 0,9802; \cotα ≈ 1,0202\).

c) \( \frac{\pi }{2} < α < π\) nên \(\sinα > 0, \cosα < 0,\)\( \tanα < 0, \cotα < 0 \)

\(\cosα = -\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{15}{7})^{2}}}\)\(=-\frac{7}{274}≈ -0,4229\).

\(\sinα =  \sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{7}{15})^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{274}}\)\(=0,9062\)

\(\cotα = - \frac{7}{15}\) 

d) Vì \( \frac{3\pi}{2} < α < 2π\) nên \(\sinα < 0, \cosα > 0,\)\( \tanα < 0, \cotα < 0\)

Ta có: \(\tanα =  \frac{1}{\cot\alpha }=-\frac{1}{3}\)

Bài 5 trang 148 SGK Đại số 10

Tính \(α\), biết:

a) \(\cosα = 1\);              b) \(\cosα = -1\)

c) \(\cosα = 0\);               d) \(\sinα = 1\)

e) \(\sinα = -1\);              f) \(\sinα = 0\),

Hướng dẫn giải

a) \(α = k2π, k \in \mathbb Z\)                                       

b) \(α = (2k + 1)π, k \mathbb Z\)

c) \(α =  \frac{\pi}{2}+ kπ, k \in\mathbb Z\) 

d) \(α =  \frac{\pi }{2} + k2π, k\in \mathbb Z\)

e) \(α =  \frac{3\pi }{2}+ k2π, k \in\mathbb Z\)

f) \(α = kπ, k \in\mathbb Z\)