§1. Các định nghĩa
Bài 1 (SGK trang 7)
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\). Các khẳng định sau đúng hay sai ?
a) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương
b) Nếu \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng
Hướng dẫn giải
a) Gọi theo thứ tự ∆1, ∆2, ∆3 là giá của các vectơ , ,
cùng phương với => ∆1 //∆3 ( hoặc ∆1 = ∆3 ) (1)
cùng phương với => ∆2 // ∆3 ( hoặc ∆2 = ∆3 ) (2)
Từ (1), (2) suy ra ∆1 // ∆2 ( hoặc ∆1 = ∆2 ), theo định nghĩa hai vectơ , cùng phương.
Vậy câu a) đúng.
b) Câu này cũng đúng.
Bài 2 (SGK trang 7)
Trong hình 1.4 hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau :
Hướng dẫn giải
- Các vectơ cùng phương: và ; , , và ; và .
- Các vectơ cùng hướng: và ; , ,
- Các vectơ ngược hướng: và ; và ; và ; và .
- Các vectơ bằng nhau: = .
Bài 3 (SGK trang 7)
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ?
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh hai mệnh đề:
- Khi = thì ABCD là hình bình hành.
Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:
= ⇔ =
và và cùng hướng.
và cùng hướng => và cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay AB // DC (1)
Ta lại có = => AB = DC (2)
Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác ABCD có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
- Khi ABCD là hình bình hành thì =
Khi ABCD là hình bình hành thì AB // CD. Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ và cùng hướng (3)
Mặt khác AB = CD => = (4)
Từ (3) và (4) suy ra = .
Bài 4 (SGK trang 7)
Cho lục giác ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác \(\overrightarrow{0}\) và cùng phương với \(\overrightarrow{OA}\)
b) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow{AB}\)
Hướng dẫn giải
a) Các vec tơ cùng phương với vec tơ :
; ; ; ; .
; ; và .
b) Các véc tơ bằng véc tơ : ; ; .
Bài 1.1 (STB trang 12)
Hãy tính số các vectơ (khác \(\overrightarrow{0}\)) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau :
a) Hai điểm
b) Ba điểm
c) Bốn điểm
Hướng dẫn giải
a) Có hai véc tơ.
b)
Số đoạn thẳng tạo thành từ 3 điểm A, B, C là:\(\dfrac{3.2}{2}=3\) đoạn.
Mỗi đoạn thẳng tạo thành hai véc tơ đối nhau nên số véc tơ là:
\(3.2=6\) (véc tơ).
b) Số đoạn thẳng tạo thành từ 4 điểm phân biệt là:
\(4.3:2=6\) (đoạn).
Số véc tơ tạo thành là:
6.2 = 12 (véc tơ).
Bài 1.2 (STB trang 12)
Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác \(\overrightarrow{0}\)) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối ?
Hướng dẫn giải
\(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC};\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}\);
\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO};\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}\).
Bài 1.3 (STB trang 12)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}\) và \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}\) ?
Hướng dẫn giải
a)
Kẻ BD.
Trong tam giác ABD có MQ là đường trung bình nên MQ//BD và \(MQ=\dfrac{1}{2}BD\). (1)
Trong tam giác CBD có PN là đường trung bình nên PN//BD và \(NP=\dfrac{1}{2}BD\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\).
Kẻ AC.
Trong tam giác ABC có MN là đường trung bình suy ra:
NM//CA và \(NM=\dfrac{1}{2}CA\). (3)
Trong tam giác DAC có PQ là đường trung bình nên:
PQ//AC và \(PQ=\dfrac{1}{2}CA\). (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}\).
Bài 1.4 (STB trang 12)
Cho tam giác ABC. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vectơ \(\overrightarrow{NM}\) và \(\overrightarrow{BC}\). Vì sao có thể nói hai vectơ này cùng phương ?
Hướng dẫn giải
Do M, N là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Do vậy hai véc tơ \(\overrightarrow{NM}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương.
Bài 1.5 (STB trang 12)
Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) thì \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) ?
Hướng dẫn giải
a)
Do \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) nên AB // DC và AB = DC .
Vì vậy tứ giác ABCD là là hình bình hành.
Từ đó suy ra: AD = BC và AD//BC nên \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Bài 1.6 (STB trang 12)
Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau :
a) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng hướng, \(\left|\overrightarrow{AB}\right|>\left|\overrightarrow{AC}\right|\)
b) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) ngược hướng
c) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương
Hướng dẫn giải
b)
A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C.
Bài 1.7 (STB trang 12)
Cho hình bình hành ABCD. Dựng \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA};\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA};\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC};\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}\). Chứng minh \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}\) ?
Hướng dẫn giải
Do \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}\); \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}\).
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MA}\) nên tứ giác NPAM là hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{NM}\). (1)
Mà \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}\) suy ra \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AD}\) . (2)
Mặt khác \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành). (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra:\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BC}\).
Mà \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}\).
Vì vậy hai điểm A và Q trùng nhau nên \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}\).