Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 62* (Sách bài tập - tập 1 - trang 166)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng :

a) \(MN\perp AB\)

b) \(MN=NH\)

Hướng dẫn giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 63* (Sách bài tập - tập 1 - trang 166)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng :

                                \(S_{ABC}=BD.DC\)

Hướng dẫn giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 6.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 166)

Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; r) bằng :

(A) \(r\sqrt{3}\)                       (B) \(2r\sqrt{3}\)                      (C) \(4r\)                        (D) \(2r\)

Hãy chọn phương án đúng ?

Hướng dẫn giải

(B) 2r\(\sqrt{3}\)

Bài 60 (Sách bài tập - tập 1 - trang 166)

Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC  = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng :

a) \(AE=AF=\dfrac{a+b+c}{2}\)

b) \(BE=\dfrac{a+b-c}{2}\)

c) \(CF=\dfrac{a+c-b}{2}\)

Hướng dẫn giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 48 (Sách bài tập - tập 1 - trang 164)

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng \(OA\perp MN\)

b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm

Hướng dẫn giải

a) ta có : AN = AM (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A

OA là tia phân giác cũng là đường cao

\(\Rightarrow\) OA \(\perp\) MN (đpcm)

Bài 61* (Sách bài tập - tập 1 - trang 166)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D

a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB

b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất

c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14 cm, biết AB = 4cm

Hướng dẫn giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 54 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có AO = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC

a) Tính độ dài OH ?

b) Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE ?

Hướng dẫn giải

a) ta có : AB = AC (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) tam giác ABC cân tại A

có OA là tia phân giác của góc A

\(\Rightarrow\) OA \(\perp\) BC \(\Rightarrow\) tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH

ta có : OB2 = OA.OH \(\Leftrightarrow\) 32 = 5OH

\(\Rightarrow\) OH = \(\dfrac{9}{5}\) = 1,8 (cm)

Bài 55 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm)

a) Tứ giác ABOC là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE ?

c) Tính số đo góc DOE ?

Hướng dẫn giải

a) tứ giác ABOC là hình vuông

vì BAC = 90 (giả thiết)

ABO = 90 (AB là tiếp tuyến)

ACO = 90 (AC là tiếp tuyến)

AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Bài 52 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên AC, AB theo thứ tự D, E. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Tính độ dài các đoạn tiếp tuyến AD, AE theo a, b, c ?

Hướng dẫn giải

gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC

theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có các cặp cạnh bằng nhau là

AD = AE ; BE = BF và CF = CD

ta có : AD + AE = AC + AB - (BE + CD) = AC + AB - (BF + CF)

= AC + AB - BC = a + b - c

\(\Rightarrow\) AD = AE = \(\dfrac{a+b-c}{2}\)

Bài 58 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E

a) Tứ giác ADOE là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = 3cm, AC = 4cm ?

Hướng dẫn giải

a) tứ giác ADOE là hình vuông

\(\left\{{}\begin{matrix}DAE=90\left(giảthiết\right)\\ODA=90\left(DlàtiếpđiểmcủađườngtrònvớiAB\right)\\OEA=90\left(Elàtiếpđiểmcủađườngtròn\:vớiAC\right)\end{matrix}\right.\)

và OD = OE = R

Bài 53 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r) ?

Hướng dẫn giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC.AH=HC.AH=r\sqrt{3}.3r=3\sqrt{3}r^2\)

Bài 56 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng :

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC

Hướng dẫn giải

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là tia phân giác của góc HAD

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{BAH}\)

AC là tia phân giác của góc HAE

\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{CAE}\)

Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HEA}=2.\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=2.\widehat{BAC}=2.90^o=180^o\)

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: \(AD\downarrow BD;AE\downarrow CE\)

Suy ra: BD // CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang

Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: \(MA\\ BD\Rightarrow MA\downarrow DE\)

Trong tam giác vuông ABC ta có: MA = MB = MC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC

Bài 59 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi  R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :

                  \(AB+AC=2\left(R+r\right)\)

Hướng dẫn giải

ta có : BC = 2R ; AD = AE = r

nên 2R + r = BC + (AE + AD) = (BF + FC) + (AE + AD)

= (DB + EC) + (AE + AD) = (AD + DB) + (AE + EC)

= AB + AC ( đpcm)

Bài 51 (Sách bài tập - tập 1 - trang 164)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N

a) Tính số đo góc MON

b) Chứng minh rằng MN = AM + BN

c) Chứng minh rằng \(AM.BN=R^2\) (R là bán kính của nửa đường tròn)

Hướng dẫn giải

gọi H là điểm tiếp điểm của MN với nữa đường tròn

ta có : OM là tia phân giác của góc AOH (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

ON là tia phân giác của góc BOH (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

mà 2 góc MOH và HON kề bù \(\Rightarrow\) MON = 900

Bài 6.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 167)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt AC ở D. Đường thẳng đi qua O và song song với AC cắt AB ở E. Tứ giác ADOE là hình gì ?

Hướng dẫn giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 6.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 167)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ dây CD song song với AB. Chứng minh rằng BC = BD ?

Hướng dẫn giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 50 (Sách bài tập - tập 1 - trang 164)

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia \(Ox\). Dựng đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc \(xOy\) ?

Hướng dẫn giải

đường tròn (I) tiếp xúc với Ox ; Oy nên (I) nằm trên tia phân giác của góc xOy

đường tròn (I) tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox tại A

giao điểm của 2 đường trên cho ta điểm I

Bài 57 (Sách bài tập - tập 1 - trang 165)

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S của tam giác có công thức :

                     \(S=p.r\)

Hướng dẫn giải

gọi I là tâm của đường nội tiếp tam giác ABC : ta có

SABC = SAIB + SBIC + SCIA

= \(\dfrac{AB.r}{2}+\dfrac{BC.r}{2}+\dfrac{CA.r}{2}\) = \(\left(\dfrac{AB}{2}+\dfrac{BC}{2}+\dfrac{CA}{2}\right).r\)

= \(\dfrac{chuvitamgiácABC}{2}.r\) = p.r (đpcm)

Bài 49 (Sách bài tập - tập 1 - trang 164)

Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME theo thứ tự ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ ?

Hướng dẫn giải

tui hieru rui đến khi cậu ns thì tui ũng hiểunhonhung

Có thể bạn quan tâm