Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Lý thuyết

Bài 85 (Sách bài tập tập 1 - trang 19)

Cho biểu thức :

                      \(P=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{2+5\sqrt{x}}{4-x}\)

a) Rút gọn P nếu \(x\ge0;x\ne4\)

b) Tìm \(x\) để \(P=2\)

Hướng dẫn giải

Bài 8.1 Bài tập bổ sung (Sách bài tập tập 1 - trang 20)

Bất phương trình :

                  \(\sqrt{32}x-\left(\sqrt{8}+\sqrt{2}\right)x>\sqrt{2}\)

tương đương với bất phương trình :

(A) \(\sqrt{20}x>\sqrt{2}\)                      (B) \(2\sqrt{5}x>\sqrt{2}\)

(C) \(15\sqrt{2}x>\sqrt{2}\)                    (D)\(\sqrt{2}x>\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

\(\sqrt{32}=4\sqrt{2};\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{32}x-\left(\sqrt{8}+\sqrt{2}\right)x>\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2}x-\left(2\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)x>\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2}x-3\sqrt{2}x>\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}x>\sqrt{2}\)

vậy câu D) đúng

Bài 84 (Sách bài tập tập 1 - trang 19)

Tìm \(x\), biết :

a) \(\sqrt{4x+20}-3\sqrt{5+x}+\dfrac{4}{3}\sqrt{9x+45}=6\)

b) \(\sqrt{25x}-25-\dfrac{15}{2}\sqrt{\dfrac{x-1}{9}}=6+\sqrt{x-1}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\)(=)\(2\sqrt{x+5}-3\sqrt{x+5}+4\sqrt{x+5}=6\)

(=) \(3\sqrt{x+5}=6\)

(=) \(\sqrt{x+5}=2\)

(=) x +5=4

(=) x= -1

Bài 83 (Sách bài tập tập 1 - trang 19)

Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ 

a) \(\dfrac{2}{\sqrt{7}-5}-\dfrac{2}{\sqrt{7}+5}\)

b) \(\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\)

Hướng dẫn giải

a/ \(\dfrac{2}{\sqrt{7}-5}-\dfrac{2}{\sqrt{7}+5}=\dfrac{2\left(\sqrt{7}+5\right)}{-18}-\dfrac{2\left(\sqrt{7}-5\right)}{-18}=\dfrac{-\sqrt{7}-5+\sqrt{7}-5}{9}=\dfrac{-10}{9}\)

--> biểu thức trên là số hữu tỉ (đpcm)

b/ \(\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\dfrac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^2}{2}+\dfrac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^2}{2}=\dfrac{24}{2}=12\)

--> biểu thức trên là số hữu tỉ (đpcm)

Bài 81 (Sách bài tập tập 1 - trang 18)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) với \(a\ge0,b\ge0;a\ne b\)

b) \(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3}}{a-b}\) với \(a\ge0,b\ge0;a\ne b\)

Hướng dẫn giải

đk : \(a\ge0;b\ge0;a\ne b\)

a) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) = \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

= \(\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b+a-2\sqrt{ab}+b}{a-b}\) = \(\dfrac{2\left(a+b\right)}{a-b}\)

b) đk : \(a\ge0;b\ge0;a\ne b\)

\(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3}}{a-b}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1}-\dfrac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) = \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

= \(\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b-a-\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) = \(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+b}\)

Bài 86 (Sách bài tập tập 1 - trang 19)

Cho biểu thức :

\(Q=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)

a) Rút gọn Q với \(a>0;a\ne4;a\ne1\)

b) Tìm giá trị của a để Q dương

Hướng dẫn giải

Bài 82 (Sách bài tập tập 1 - trang 18)

a) Chứng minh :

            \(x^2+x\sqrt{3}+1=\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

             \(x^2+x\sqrt{3}+1\)

Hướng dẫn giải

a)Ta có vế phải trái\(=x^2+x\sqrt{3}+1=x^2+2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+1\)

\(=\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\) =vế phải

b)Ta có \(x^2+x\sqrt{3}+1=\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2+x\sqrt{3}+1\) là \(\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Bài 80 (Sách bài tập tập 1 - trang 18)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(-5\sqrt{2}\right)-\left(3\sqrt{2}-5\right)^2\)

b) \(2\sqrt{3a}-\sqrt{75a}+a\sqrt{13,\dfrac{5}{2a}}-\dfrac{2}{5}\sqrt{300a^3}\) với \(a>0\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(-5\sqrt{2}\right)-\left(3\sqrt{2}-5\right)^2\)

\(=-10\sqrt{2}+5.2-\left(18-30\sqrt{2}+25\right)\)

\(=-10\sqrt{2}+10-18+30\sqrt{2}-25\)

\(=20\sqrt{2}-33\)

b) câu b đề sai

Bài 87 (Sách bài tập tập 1 - trang 19)

Với 3 số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có :

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\) (2)

\(\dfrac{c+a}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)

Cộng từng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được :

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Mở rộng cho bốn số a, b, c, d không âm, ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)

Mở rộng cho năm số a, b, c, d, e không âm, ta có bất đẳng thức : \(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)