Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 102 (Sách bài tập trang 22)

Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau :

\(A=\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\)                        \(B=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}\)

a) Chứng minh rằng \(A\ge1\) và \(B\ge\sqrt{5}\)

b) Tìm \(x\), biết :

           \(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1\)                            \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=2\)

Hướng dẫn giải

Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba

\(\sqrt{5}>2\) nên \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}>2\)

Vậy, không tồn tại \(x\) thỏa mãn \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=2\)

Bài 104 (Sách bài tập trang 23)

Tìm số \(x\) nguyên để biểu thức \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) nhận giá trị nguyên ?

 

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

ĐK: x\(\ne\)0

\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)\(=\)\(\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}\)\(=\)1+\(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để biểu thức đã cho nguyên thì \(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\) nguyên. Tức là 4 phải chia hết cho \(\sqrt{x}-3\) hay \(\sqrt{x}-3\) là ước của 4.

\(\Rightarrow\) Ư (4) =\(\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) thỏa mãn ĐK: x\(\ne\) 0

Vậy để biểu thức \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) nhận giá trị nguyên thì x =\(\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) .

Bài 97 (Sách bài tập trang 21)

Biểu thức :

                \(\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}\)

có giá trị là :

(A) 3                           (B) 6                          (C) \(\sqrt{5}\)                            (D) \(-\sqrt{5}\)

Hãy chọn câu trả lời đúng ?

Hướng dẫn giải

\(\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)+\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)}{\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}}{\sqrt{4}}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}}{2}\) = \(\dfrac{6}{2}=3\)

=> Chọn A

Bài 108 (Sách bài tập trang 23)

Cho biểu thức :

               \(C=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\dfrac{x+9}{9-x}\right):\left(\dfrac{3\sqrt{x}+1}{x-3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\) với \(x>0;x\ne9\)

a) Rút gọn C

b) Tìm \(x\) sao cho \(C< -1\)

Hướng dẫn giải

a)C=\(\dfrac{9}{\sqrt{x}+3}\)

b)\(x>36\)

Bài 101 (Sách bài tập trang 22)

a) Chứng minh :

               \(x-4\sqrt{x-4}=\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2\)

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức :

               \(A=\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\)

Hướng dẫn giải

Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 106 (Sách bài tập trang 23)

Cho biểu thức :

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa

b) Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a

Hướng dẫn giải

a,ĐK:\(a>0;b>0;a\ne b\)

b,\(A=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\\ A=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\\ A=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\)

Vậy khi A có nghĩa thì A không phụ thuộc vào a

Bài 99 (Sách bài tập trang 22)

Cho \(A=\dfrac{\sqrt{4x^2-4x+1}}{4x-2}\)

Chứng minh \(\left|A\right|=0,5\) với \(x\ne0,5\)

Hướng dẫn giải

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 100 (Sách bài tập trang 22)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

b) \(\sqrt{15-6\sqrt{6}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}}\)

c) \(\left(15\sqrt{200}-3\sqrt{450}+2\sqrt{50}\right):\sqrt{10}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

= \(2-\sqrt{3}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\) = \(1\)

b) \(\sqrt{15-6\sqrt{6}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}}\)

= \(\sqrt{\left(3-\sqrt{6}\right)^2}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{6}\right)^2}\)

= \(3-\sqrt{6}+2\sqrt{6}-3\) = \(\sqrt{6}\)

c) \(\left(15\sqrt{200}-3\sqrt{450}+2\sqrt{50}\right):\sqrt{10}\)

= \(\dfrac{15\sqrt{200}}{\sqrt{10}}-\dfrac{3\sqrt{450}}{\sqrt{10}}+\dfrac{2\sqrt{50}}{\sqrt{10}}\)

= \(15\sqrt{20}-3\sqrt{45}+2\sqrt{5}\)

= \(30\sqrt{5}-9\sqrt{5}+2\sqrt{5}\) = \(23\sqrt{5}\)

Bài 103 (Sách bài tập trang 22)

Chứng minh :

              \(x-\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4};x>0\)

Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}+1}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 107 (Sách bài tập trang 23)

Cho biểu thức :

                    \(B=\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^3}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right)\left(\dfrac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)\) với \(x\ge0;x\ne1\)

a) Rút gọn B

b) Tìm \(x\) để B = 3

Hướng dẫn giải

B=\(\sqrt{x}-1\)

Để B=3 thì \(x=16\)

Bài 96 (Sách bài tập trang 21)

Nếu \(x\) thỏa mãn điều kiện 

                      \(\sqrt{3+\sqrt{x}}=3\)

thì \(x\) nhận giá trị là :

(A) 0                       (B) 6                            (C) 9                                (D) 36

Hãy chọn câu trả lời đúng ?

Hướng dẫn giải

D

Bài 98 (Sách bài tập trang 22)

Chứng minh các đẳng thức :

a) \(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)

b) \(\sqrt{\dfrac{4}{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}}-\sqrt{\dfrac{4}{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}}=8\)

Hướng dẫn giải

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 1.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 23)

Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh \(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) với \(\sqrt{5}+1\)

Hướng dẫn giải

Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 105 (Sách bài tập trang 23)

Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và \(a\ne b\))

a) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

b) \(\left(\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2=1\)

Hướng dẫn giải

Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba

Có thể bạn quan tâm