Ôn tập Căn bậc hai. Căn bậc ba
Bài 102 (Sách bài tập trang 22)
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau :
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\) \(B=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}\)
a) Chứng minh rằng \(A\ge1\) và \(B\ge\sqrt{5}\)
b) Tìm \(x\), biết :
\(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1\) \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=2\)
Hướng dẫn giải
mà \(\sqrt{5}>2\) nên \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}>2\)
Vậy, không tồn tại \(x\) thỏa mãn \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=2\)
Bài 104 (Sách bài tập trang 23)
Tìm số \(x\) nguyên để biểu thức \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) nhận giá trị nguyên ?
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)
ĐK: x\(\ne\)0
\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)\(=\)\(\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}\)\(=\)1+\(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)
Để biểu thức đã cho nguyên thì \(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\) nguyên. Tức là 4 phải chia hết cho \(\sqrt{x}-3\) hay \(\sqrt{x}-3\) là ước của 4.
\(\Rightarrow\) Ư (4) =\(\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) thỏa mãn ĐK: x\(\ne\) 0
Vậy để biểu thức \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) nhận giá trị nguyên thì x =\(\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) .
Bài 97 (Sách bài tập trang 21)
Biểu thức :
\(\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}\)
có giá trị là :
(A) 3 (B) 6 (C) \(\sqrt{5}\) (D) \(-\sqrt{5}\)
Hãy chọn câu trả lời đúng ?
Hướng dẫn giải
\(\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)+\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)}{\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}}{\sqrt{4}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}}{2}\) = \(\dfrac{6}{2}=3\)
=> Chọn A
Bài 108 (Sách bài tập trang 23)
Cho biểu thức :
\(C=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\dfrac{x+9}{9-x}\right):\left(\dfrac{3\sqrt{x}+1}{x-3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\) với \(x>0;x\ne9\)
a) Rút gọn C
b) Tìm \(x\) sao cho \(C< -1\)
Hướng dẫn giải
a)C=\(\dfrac{9}{\sqrt{x}+3}\)
b)\(x>36\)
Bài 101 (Sách bài tập trang 22)
a) Chứng minh :
\(x-4\sqrt{x-4}=\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức :
\(A=\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\)
Hướng dẫn giải
Bài 106 (Sách bài tập trang 23)
Cho biểu thức :
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Hướng dẫn giải
a,ĐK:\(a>0;b>0;a\ne b\)
b,\(A=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\\ A=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\\ A=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\)
Vậy khi A có nghĩa thì A không phụ thuộc vào a
Bài 99 (Sách bài tập trang 22)
Cho \(A=\dfrac{\sqrt{4x^2-4x+1}}{4x-2}\)
Chứng minh \(\left|A\right|=0,5\) với \(x\ne0,5\)
Hướng dẫn giải
Bài 100 (Sách bài tập trang 22)
Rút gọn các biểu thức :
a) \(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)
b) \(\sqrt{15-6\sqrt{6}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}}\)
c) \(\left(15\sqrt{200}-3\sqrt{450}+2\sqrt{50}\right):\sqrt{10}\)
Hướng dẫn giải
a) \(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)
= \(2-\sqrt{3}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)
\(2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\) = \(1\)
b) \(\sqrt{15-6\sqrt{6}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}}\)
= \(\sqrt{\left(3-\sqrt{6}\right)^2}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{6}\right)^2}\)
= \(3-\sqrt{6}+2\sqrt{6}-3\) = \(\sqrt{6}\)
c) \(\left(15\sqrt{200}-3\sqrt{450}+2\sqrt{50}\right):\sqrt{10}\)
= \(\dfrac{15\sqrt{200}}{\sqrt{10}}-\dfrac{3\sqrt{450}}{\sqrt{10}}+\dfrac{2\sqrt{50}}{\sqrt{10}}\)
= \(15\sqrt{20}-3\sqrt{45}+2\sqrt{5}\)
= \(30\sqrt{5}-9\sqrt{5}+2\sqrt{5}\) = \(23\sqrt{5}\)
Bài 103 (Sách bài tập trang 22)
Chứng minh :
\(x-\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4};x>0\)
Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}+1}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?
Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải
Bài 107 (Sách bài tập trang 23)
Cho biểu thức :
\(B=\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^3}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right)\left(\dfrac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)\) với \(x\ge0;x\ne1\)
a) Rút gọn B
b) Tìm \(x\) để B = 3
Hướng dẫn giải
B=\(\sqrt{x}-1\)
Để B=3 thì \(x=16\)
Bài 96 (Sách bài tập trang 21)
Nếu \(x\) thỏa mãn điều kiện
\(\sqrt{3+\sqrt{x}}=3\)
thì \(x\) nhận giá trị là :
(A) 0 (B) 6 (C) 9 (D) 36
Hãy chọn câu trả lời đúng ?
Hướng dẫn giải
D
Bài 98 (Sách bài tập trang 22)
Chứng minh các đẳng thức :
a) \(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)
b) \(\sqrt{\dfrac{4}{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}}-\sqrt{\dfrac{4}{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}}=8\)
Hướng dẫn giải
Bài 1.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 23)
Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh \(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) với \(\sqrt{5}+1\)
Hướng dẫn giải
Bài 105 (Sách bài tập trang 23)
Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và \(a\ne b\))
a) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
b) \(\left(\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2=1\)