Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Lý thuyết

Bài 29 (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

         \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\) và \(2\sqrt{2004}\)

Hướng dẫn giải

Đặt A = \(\sqrt{ }\)2003 + \(\sqrt{ }\)2005 ; B = 2\(\sqrt{ }\)2004
A² = 2003 + 2005 + 2\(\sqrt{ }\)(2003.2005)
= 4008 + 2\(\sqrt{ }\)[(2004-1)(2004+1)]
= 4008 + 2\(\sqrt{ }\)(2004² - 1) < 2.2004 + 2\(\sqrt{ }\)(2004²) = 4.2004 = B²
\(\Rightarrow\) A < B

Bài 3.1 Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)

Giá trị của \(\sqrt{1,6}.\sqrt{2,5}\) bằng 
(A) 0,20                   (B) 2,0

(C) 20,0                   (D) 0,02

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

Ta có:\(\sqrt{1,6}.\sqrt{2,5}=\sqrt{1,6.2,5}=\sqrt{0,16.25}=\sqrt{0,4^2.5^2}=0,4.5=2\)

Vậy đáp án đúng là B

Bài 34 (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)

Tìm \(x\) biết :

a) \(\sqrt{x-5}=3\)

b) \(\sqrt{x-10}=-2\)

c) \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{5}\)

d) \(\sqrt{4-5x}=12\)

Hướng dẫn giải

a) điều kiện : \(x-5\ge0\Leftrightarrow x\ge5\)

\(\sqrt{x-5}=3\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-5}\right)^2=3^2\Leftrightarrow\left|x-5\right|=9\Leftrightarrow x-5=9\)

\(\Leftrightarrow x=9+5\Leftrightarrow x=14\) vậy \(x=14\)

b) điều kiện : \(x-10\ge0\Leftrightarrow x\ge10\)

\(\sqrt{x-10}=-2\) ta có : \(\sqrt{x-10}\ge0\) với mọi \(x\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-10}=-2\) là vô nghiệm

c) điều kiện : \(2x-1\ge0\Leftrightarrow2x\ge1\Leftrightarrow x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{2x-1}=\sqrt{5}\Rightarrow2x-1=5\Leftrightarrow2x=5+1\Leftrightarrow2x=6\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{2}\Leftrightarrow x=3\) vậy \(x=3\)

d) điều kiện : \(4-5x\ge0\Leftrightarrow5x\le4\Leftrightarrow x\le\dfrac{4}{5}\)

\(\sqrt{4-5x}=12\Leftrightarrow\left(\sqrt{4-5x}\right)^2=12^2\Leftrightarrow\left|4-5x\right|=144\)

\(\Leftrightarrow4-5x=144\Leftrightarrow-5x=144-4\Leftrightarrow-5x=140\Leftrightarrow x=\dfrac{140}{-5}\)

\(\Leftrightarrow x=-28\) vậy \(x=-28\)

Bài 30* (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

Cho các biểu thức :

     \(A=\sqrt{x+2}.\sqrt{x-3}\)       và               \(B=\sqrt{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}\)

a) Tìm \(x\) để A có nghĩa. Tìm \(x\) để B có nghĩa

b) Với giá trị nào của \(x\) thì A = B ?

Hướng dẫn giải

Bài 26 (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

Chứng minh :

a) \(\sqrt{9-\sqrt{17}}.\sqrt{9+\sqrt{17}}=8\)

b) \(2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-2\right)+\left(1+2\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{6}=9\)

Hướng dẫn giải

a) \(VT=\sqrt{9-\sqrt{17}}.\sqrt{9+\sqrt{17}}=\sqrt{\left(9-\sqrt{17}\right)\left(9+\sqrt{17}\right)}\)

=\(\sqrt{9^2-\left(\sqrt{17}\right)^2}=\sqrt{81-17}=\sqrt{64}=8=VP\)

b) \(VT=2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-2\right)+\left(1+2\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{6}\)

=\(2\sqrt{6}-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}+8-2\sqrt{6}=9=VP\)

Bài 27 (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

Rút gọn :

a) \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}}\)

b) \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

Hướng dẫn giải

b) \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\left(\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

= \(\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) = \(1+\sqrt{2}\)

Bài 24 (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính :

a) \(\sqrt{45.80}\)

b) \(\sqrt{75.48}\)

c) \(\sqrt{90.6,4}\)

d) \(\sqrt{2,5.14,4}\)

Hướng dẫn giải

a)\(\sqrt{45.80}=\sqrt{9.400}=\sqrt{9}.\sqrt{400}=3.20=60\)

b) \(\sqrt{75.48}=\sqrt{25.3.16.3}=\sqrt{5^2.3^2.4^2}=5.4.3=60\)

c)\(\sqrt{90.6,4}=\sqrt{10.9.4.1,6}=\sqrt{4^2.3^2.2^2}=4.3.2=24\)

d) \(\sqrt{2,5.14,4}=\sqrt{\dfrac{25}{10}.\dfrac{144}{10}}=\sqrt{\dfrac{25.144}{100}}=\sqrt{\left(\dfrac{5.12}{10}\right)^2}=\dfrac{5.12}{10}=6\)

Bài 35 (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)

Với n là số tự nhiên, chứng minh :

           \(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}-\sqrt{\left(2n+1\right)^2-1}\)

Viết đẳng thức trên khi n = 1, 2, 3, 4

Hướng dẫn giải

Bài 31 (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)

Biểu diễn \(\sqrt{ab}\) ở dạng tích các căn bậc hai với \(a< 0;b< 0\)

Áp dụng tính \(\sqrt{\left(-25\right)\left(-64\right)}\)

Hướng dẫn giải

Do a và b âm nên -a và -b dương

Khi đó , ta có: \(\sqrt{a.b}=\sqrt{\left(-a\right)\left(-b\right)}=\sqrt{-a}.\sqrt{-b}\)

Áp dụng , ta có: \(\sqrt{\left(-25\right)\left(-64\right)}=\sqrt{25}.\sqrt{64}=5.8=40\)

Bài 28 (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) 

a) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) và \(\sqrt{10}\)

b) \(\sqrt{3}+2\) và \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\)

c) \(16\) và \(\sqrt{15}.\sqrt{17}\)

d) \(8\) và \(\sqrt{15}+\sqrt{17}\)

Hướng dẫn giải

Bài 23 (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính :

a) \(\sqrt{10}.\sqrt{40}\)

b) \(\sqrt{5}.\sqrt{45}\)

c) \(\sqrt{52}.\sqrt{13}\)

d) \(\sqrt{2}.\sqrt{162}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{10}.\sqrt{40}\)

=\(\sqrt{10.40}\)

=\(\sqrt{400}\)

=20

b) \(\sqrt{5.}\sqrt{45}\)

=\(\sqrt{5.45}\)

=\(\sqrt{225}\)

=\(\sqrt{15}\)

c) \(\sqrt{52.}\sqrt{13}\)

=\(\sqrt{52.13}\)

=\(\sqrt{676}\)

=26

d)\(\sqrt{2.}\sqrt{162}\)

=\(\sqrt{2.162}\)

=\(\sqrt{324}\)

=18

Bài 33* (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)

Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích :

a) \(\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}\)

b) \(3\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-9}\)

Hướng dẫn giải

a. Biểu thức đã cho có nghĩa khi \(\sqrt{x^2-4}\) và \(\sqrt{x-2}\) đồng thời có nghĩa

* \(\sqrt{x^2-4}=\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\) có nghĩa khi x \(x\le-2\) hoặc \(x \ge2\)

* \(\sqrt{x-2}\) có nghĩa khi \(x\ge2\)

Vậy điều kiện để biểu thức đã cho có nghĩa là \(x\ge2\)

Với điều kiện trên ta có:

\(\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}=\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+2\sqrt{x-2}=\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)\)

Bài 32 (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\sqrt{4\left(a-3\right)^2}\) với \(a\ge3\)

b) \(\sqrt{9\left(b-2\right)^2}\) với \(b< 2\)

c) \(\sqrt{a^2\left(a+1\right)^2}\) với \(a>0\)

d) \(\sqrt{b^2\left(b-1\right)^2}\) với \(b< 0\)

Hướng dẫn giải

a. \(\sqrt{4\left(a-3\right)^2}=2.|a-3|=2\left(a-3\right)\) (vì a \(\ge3\) nên a-3\(\ge\) 0. Do đó: \(|a-3|=a-3\))

b. \(\sqrt{9\left(b-2\right)^2}=3.|b-2|=3\left(2-b\right)\) (vì b < 2 nên b-2 < 0. Do đó : \(|b-2|=2-b\))

c. \(\sqrt{a^2\left(a+1\right)^2}=a\left(a+1\right)\) ( vì a > 0)

d. \(\sqrt{b^2\left(b-1\right)^2}=b\left(b-1\right)\) (vì b < 0)

Bài 25 (Sách bài tập - tập 1 - trang 9)

Rút gọn rồi tính :

a) \(\sqrt{6,8^2-3,2^2}\)

b) \(\sqrt{21,8^2-18,2^2}\)

c) \(\sqrt{117,5^2-26,5^2-1440}\)

d) \(\sqrt{146,5^2-109,5^2+27.256}\)

Hướng dẫn giải

\(a=\sqrt{\left(6,8-3,2\right)\left(6,8+3,2\right)}=\sqrt{3,6\left(10\right)}=\sqrt{36}=6\)