Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Lý thuyết

Bài 6.1 Bài tập bổ sung (Sách bài tập tập 1 - trang 16)

Rút gọn biểu thức \(3\sqrt{x^2y}+x\sqrt{y}\) vớ \(x< 0,y\ge0\) ta được

(A) \(4x\sqrt{y}\)               (B) \(-4x\sqrt{y}\)                       (C) \(-2x\sqrt{y}\)                        \(\left(D\right)4\sqrt{x^2y}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

D

Bài 66* (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

Tìm x, biết :

a) \(\sqrt{x^2-9}-3\sqrt{x-3}=0\)

b) \(\sqrt{x^2-4}-2\sqrt{x+2}=0\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{x^2-9}-3\sqrt{x-3}=0\)(ĐKXĐ: \(x\ge\pm3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-3\sqrt{x-3}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}\left(\sqrt{x+3}-3\right)=0\)

\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=0\\\sqrt{x+3}-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=6\end{matrix}\right.\)(TM)

b)\(\sqrt{x^2-4}-2\sqrt{x+2}=0\)

ĐKXĐ: \(x\ge\pm2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x-2}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=0\\\sqrt{x-2}-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\left(ktm\right)\\x=6\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 60 (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

Rút gọn biểu thức :

a) \(2\sqrt{40\sqrt{12}}-2\sqrt{\sqrt{75}}-3\sqrt{5\sqrt{48}}\)

b) \(2\sqrt{8\sqrt{3}}-2\sqrt{5\sqrt{3}}-3\sqrt{20\sqrt{3}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(2\sqrt{40\sqrt{12}}-2\sqrt{\sqrt{75}}-3\sqrt{5\sqrt{48}}\)

\(=2\sqrt{40.2\sqrt{3}}-2\sqrt{5\sqrt{3}}-3\sqrt{5.4\sqrt{3}}\)

\(=\left(2\sqrt{80}-2\sqrt{5}-3\sqrt{20}\right).\sqrt{\sqrt{3}}\)

\(=\left(8\sqrt{5}-2\sqrt{5}-6\sqrt{5}\right).\sqrt{\sqrt{3}}=0\)

b) \(2\sqrt{8\sqrt{3}}-2\sqrt{5\sqrt{3}}-3\sqrt{20\sqrt{3}}\)

\(=\left(4\sqrt{2}-2\sqrt{5}-6\sqrt{5}\right).\sqrt{\sqrt{3}}\)

\(=\left(4\sqrt{2}-8\sqrt{5}\right).\sqrt{\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{3}}\left(\sqrt{2}-2\sqrt{5}\right)\)

Bài 64 (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

a) Chứng minh 

               \(x+2\sqrt{2x-4}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)^2\) với \(x\ge2\)

b) Rút gọn biểu thức :

               \(\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}\) với \(x\ge2\)

Hướng dẫn giải

Bài 56 (Sách bài tập tập 1 - trang 14)

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) \(\sqrt{7x^2}\) với \(x>0\)

b) \(\sqrt{8y^2}\) với \(y< 0\)

c) \(\sqrt{25x^3}\) với \(x>0\)

d) \(\sqrt{48y^4}\)

Hướng dẫn giải

a )\(x\sqrt{7}\)

b )\(-2y\sqrt{2}\)

c )\(5x\sqrt{x}\)

d)\(4y^2\sqrt{3}\)

Bài 67* (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm, chứng minh :

a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất

Hướng dẫn giải

Bài 65 (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

Tìm x, biết 

a) \(\sqrt{25x}=35\)

b) \(\sqrt{4x}\le162\)

c) \(3\sqrt{x}=\sqrt{12}\)

d) \(2\sqrt{x}\ge\sqrt{10}\)

Hướng dẫn giải

Suy ra :

d)

Bài 61 (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

Khai triển và rút gọn các biểu thức (với x và y không âm)

a) \(\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}+x\right)\)

b) \(\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-2\sqrt{x}+4\right)\)

c) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+y+\sqrt{xy}\right)\)

d) \(\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x^2+y-x\sqrt{y}\right)\)

Hướng dẫn giải

a)\(\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}+x\right)=1-\sqrt{x^3}\)

b) \(\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-2\sqrt{x}+4\right)=\sqrt{x^3}+8\)

c)\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+y+\sqrt{xy}\right)=\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}\)

d)\(\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x^2+y-x\sqrt{y}\right)=x^3+\sqrt{y^3}\)

Bài 57 (Sách bài tập tập 1 - trang 14)

Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) \(x\sqrt{5}\) với \(x\ge0\)

b) \(x\sqrt{13}\) với \(x< 0\)

c) \(x\sqrt{\dfrac{11}{x}}\) với \(x< 0\)

d) \(x\sqrt{\dfrac{-29}{x}}\) với \(x< 0\)

Hướng dẫn giải

a )\(\sqrt{5x^2}\)

b )\(-\sqrt{13x^2}\)

c )\(\sqrt{11x}\)

d)\(-\sqrt{-29x}\)

Bài 58 (Sách bài tập tập 1 - trang 14)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}\)

b) \(\sqrt{98}-\sqrt{72}+0,5\sqrt{8}\)

c) \(\sqrt{9a}-\sqrt{16a}+\sqrt{49a}\) với \(a\ge0\)

d) \(\sqrt{16b}+2\sqrt{40b}-3\sqrt{90b}\) với \(b\ge0\)

  

Hướng dẫn giải

ĐS: a)

b)

c)

d)

Bài 63 (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

Chứng minh :

a) \(\dfrac{\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=x-y\) với \(x>0;y>0\)

b) \(\dfrac{\sqrt{x^3}-1}{\sqrt{x}-1}=x+\sqrt{x}+1\) với \(x\ge0;x\ne1\)

Hướng dẫn giải

Bài 62 (Sách bài tập tập 1 - trang 15)

Khai triển và rút gọn các biểu thức (với x, y không âm)

a) \(\left(4\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)\)

b) \(\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(3\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\)

Hướng dẫn giải

\(a,\left(4\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)=4x-4\sqrt{2}x-\sqrt{2}x+2x=6x-5\sqrt{2}x=\left(6-5\sqrt{2}\right)x\)

\(b,\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(3\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)=6x-4\sqrt{xy}+3\sqrt{xy}-2y=6x-4\sqrt{xy}-2y\)

Bài 59 (Sách bài tập tập 1 - trang 14)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\sqrt{3}-\sqrt{60}\)

b) \(\left(5\sqrt{2}+2\sqrt{5}\right)\sqrt{5}-\sqrt{250}\)

c) \(\left(\sqrt{28}-\sqrt{12}-\sqrt{7}\right)\sqrt{7}+2\sqrt{21}\)

d) \(\left(\sqrt{99}-\sqrt{18}-\sqrt{11}\right)\sqrt{11}+3\sqrt{22}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\sqrt{3}-\sqrt{60}\) = \(6+\sqrt{15}-2\sqrt{15}\)

= \(6-\sqrt{15}\)

b) \(\left(5\sqrt{2}+2\sqrt{5}\right)\sqrt{5}-\sqrt{250}\) = \(5\sqrt{10}+10-5\sqrt{10}\) = \(10\)

c) \(\left(\sqrt{28}-\sqrt{12}-\sqrt{7}\right)\sqrt{7}+2\sqrt{21}\) = \(14-2\sqrt{21}-7+2\sqrt{21}\)

= \(7\)

d) \(\left(\sqrt{99}-\sqrt{18}-\sqrt{11}\right)\sqrt{11}+3\sqrt{22}\)

= \(33-3\sqrt{22}-11+3\sqrt{22}\) = \(22\)