Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
Bài 10* (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Chứng minh định lí "Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn" theo gợi ý sau :
Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}>\widehat{C}\)
a) Có thể xảy ra AC < AB hay không ?
b) Có thể xảy ra AC = AB hay không ?
Hướng dẫn giải
Khi so sánh AB và AC sẽ có 3 trường hợp xảy ra: AC < AB; AC = AB; AC > AB
+ Nếu AC < AB
Xét tam giác ABC có AC < AB
=> góc B < góc C ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác )
=> Trái với giả thiết góc B > góc C => vô lý
+ Nếu AC = AB
AC = AB => Tam giác ABC cân tại A ( dấu hiệu nhận biết )
=> góc B = góc C ( tính chất )
=> Trái với giả thiết góc B > góc C => vô lý
Vậy nếu tam giác ABC có góc B > góc C thì AC > AB ( đpcm )
Bài 1.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 38)
Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D (khác A và B), trên cạnh AC lấy điểm E (khác A và C).
Chứng minh rằng DE < BC ?
Hướng dẫn giải
Xét \(\Delta CDE\) có \(\widehat{E_1}>\widehat{A}\), mà \(\widehat{A}\) là góc tù nên \(\widehat{E_1}\) là góc tù.
Suy ra CD > DE. (1)
Xét \(\Delta BCD\) có \(\widehat{D_1}>\widehat{A}\) nên \(\widehat{D_1}\) là góc tù. Suy ra BC > CD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC > DE.
Bài 7* (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh \(\widehat{BAM}\) và \(\widehat{MAC}\) ?
Hướng dẫn giải
* Xét ΔABM và ΔMCE: AM=ME
\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\)
BM=MC
⇒ ΔABM = ΔMCE (c.g.c)
⇒ CE=AB ( 2 cạnh tương ứng)
⇒ \(\widehat{BAM}=\widehat{CEM}\)( 2 góc tương ứng)
Vì AB<AC
⇒ CE<AC
Xét ΔACE có: CE< AC
⇒ \(\widehat{MAC}= \widehat{CEM}\)
mà \(\widehat{BAM}=\widehat{CEM}\) (cmtrn)
⇒ \(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\) (đpcm)
Bài 5 (Sách bài tập - tập 2 - trang 36)
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh các độ dài BK và BC ?
Hướng dẫn giải
vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A
⇒góc A=900
Xét tam giác ABK có
góc A = 900⇒góc A>góc BKA⇒BK > AB
có góc BKC = góc ABK+ góc A (BKC là góc ngoài của tam giác ABD)
⇒góc BKC > góc A⇒góc BKC>900
Xét tam giác BKC có:BKC>900 ⇒BKC > C
⇒BC>BK(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong 1 tam giác)
vậy BC>BK
Bài 1.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm và AC = 7 cm. Gọi \(\widehat{A}_1,\widehat{B}_1,\widehat{C}_1\) theo thứ tự là góc ngoài tại đỉnh A, B, C của tam giác đó. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
(A) \(\widehat{A}_1>\widehat{B}_1>\widehat{C}_1\) (B) \(\widehat{B}_1>\widehat{C}_1>\widehat{A}_1\)
(C) \(\widehat{C}_1>\widehat{A}_1>\widehat{B}_1\) (D) \(\widehat{C}_1>\widehat{B}_1>\widehat{A}_1\)
Hướng dẫn giải
Bài 1.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 38)
Cho tam giác ABC với \(AB\le BC\le CA\). Trên các cạnh BC và AC lần lượt lấy hai điểm M và N (khác A, B, C)
Chứng minh rằng MN < AC ?
Hướng dẫn giải
Giải
Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được
MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.
Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC (M ≠ B, M ≠ C); Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.
Bài 1.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
So sánh các cạnh của một tam giác cân, biết rằng nó có một góc ngoài bằng \(40^0\)
Hướng dẫn giải
Bài 1 (Sách bài tập - tập 2 - trang 36)
So sánh các góc của tam giác ABC biết rằng \(AB=5cm,BC=5cm,AC=3cm\) ?
Hướng dẫn giải
từ đề bài, ta có:
AB = BC >AC
\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{A}>\widehat{B}\)
Bài 3 (Sách bài tập - tập 2 - trang 36)
Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}>90^0\), điểm D nằm giữa B và C.
Chứng minh rằng : AB < AD < AC
Hướng dẫn giải
Bài 4 (Sách bài tập - tập 2 - trang 36)
Điền dấu "X" vào chỗ trống thích hợp :
Hướng dẫn giải
Bài 1.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Tam giác ABC có \(\widehat{A}\) là góc tù, \(\widehat{B}>\widehat{C}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
(A) AB > AC > BC (B) AC > AB > BC
(C) BC > AB > AC (D) BC > AC > AB
Hướng dẫn giải
Bài 9* (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng \(30^0\) thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền ?
Hướng dẫn giải
Chứng minh:
Ta có: ^C= 30° => ^B= 60°
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho AB = BM.
=> ∆ABM cân tại B mà ^B= 60°
=>∆ABM đều
=> AB= BM= AM (1)
và ^BAM= ^B= ^BMA= 60°
∆ABC vuông tại A
=> ^B + ^C = 90°
=> 60° + ^C = 90°
=> ^C = 30° (2)
Ta lại có : ^BAM + ^MAC = ^BAC
=> 60° + ^MAC = 90°
=> ^MAC = 30° (3)
Từ (1) và (2): => ^MAC = ^C ( = 30°)
=> ∆AMC cân tại M
=> AM = MC (4)
Từ (1) và (4): => AB = BM =mc
=> 2AB = BM + MC
=> 2AB = BC
=> AB = BC/2 (đpcm)
Bài 8* (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC ?
Hướng dẫn giải
Bài 6 (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC ?
Hướng dẫn giải
Kẻ DE⊥ BC
Xét △ABC và △BDE có: Â=Ê=90*
∠ABD=∠DBE (BD phân giác ∠B)
BD: cạnh chung
⇒ △ABC = △BDE ( cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ AD=DE ( 2 cạnh tương ứng)
Xét △EDC có: Ê=90*
⇒ Ê>∠C (theo nhận xét)
⇒ DC>DE (theo quan hệ góc,cạnh đối diện trong tam giác)
mà AD=DE ⇒DC>AD (đpcm)
Bài 1.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 37)
Cho tam giác ABC với \(AB\le AC\). Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kì khác B và C.
Chứng minh rằng AM < AC ?
Hướng dẫn giải
Bài 2 (Sách bài tập - tập 2 - trang 36)
So sánh các cạnh của tam giác ABC biết \(\widehat{A}=80^0,\widehat{C}=40^0\) ?
Hướng dẫn giải
Giải:
Ta có: \(\widehat{A}=80^0\)
\(\widehat{C}=40^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{B}=180^0-80^0-40^0=60^0\) (Tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra: \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\)
\(\Leftrightarrow BC>AC>AB\) (Tính chất giữa góc và cạnh đối diện)
Vậy ...