Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 3.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Có hay không tam giác với độ dài các cạnh là :

a) 1m; 2m; 3m

b) 1,2 dm; 1 dm; 2,4dm

 

Hướng dẫn giải

Bài 23 (Sách bài tập - tập 2 - trang 40)

Cho tam giác ABC trong đó BC là cạnh lớn nhất

a) Vì sao các góc B và C không thể là góc vuông hoặc góc tù ?

b) Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. So sánh AB + AC với BH + CH rồi chứng minh AB + AC > BC

Hướng dẫn giải

Bài 21 (Sách bài tập - tập 2 - trang 40)

Cho hình 5 :

Chứng minh rằng :

            MA + MB < IA + IB < CA + CB

Hướng dẫn giải

Bài 29 (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7cm và 2cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo cm là một số tự nhiên lẻ ?

Hướng dẫn giải

Bài 3.7 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía của d và AB không song song với d. Một điểm M d động trên d. Tìm vị trí của M sao cho \(\left|MA-MB\right|\) là lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Bài 30* (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC 

Chứng minh rằng :

                      \(AM< \dfrac{AB+AC}{2}\)

 

Hướng dẫn giải

Giải sách bài tập Toán 7 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 7

Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MA = MD.

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có:

MA = MD (theo cách vẽ)

∠(AMB) = ∠(DMC) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)

Suy ra: AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Trong ΔACD, ta có: AD < AC + CD

(bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: AD < AC + AB

Mà AD = AM + MD = 2AM

Suy ra: 2AM < AC + AB hay Giải sách bài tập Toán 7 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 7

Bài 27 (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tổng MA + MB +MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

A M B C Hình 45 (h.45) Xét \(\Delta ABM:\)MA+MB>AB (1)

Xét \(\Delta AMC:\) MA+MC>AC (2)

Xét \(\Delta BMC:\) MB+MC>BC (3)

Cộng từng vế (1), (2), (3):

2(MA+MB+MC)>\(\text{AB+AC+BC}\)

Suy ra :

MA+MB+MC>\(\dfrac{\text{AB+AC+BC}}{2}\)

Bài 3.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Bộ nào sau đây không thể là số đo ba cạnh của một tam giác ?

(A) 1cm; 2cm; 2,5cm                                           (B) 3cm; 4cm; 6cm

(C) 6cm; 7cm; 13cm                                            (D) 6cm; 7cm; 12 cm

Hướng dẫn giải

Bài 28 (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó bằng 3dm và 5dm ?

Hướng dẫn giải

Bài 20 (Sách bài tập - tập 2 - trang 40)

Cho tam giác ABC có AB = 4cm. AC = 1cm. Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm) ?

Hướng dẫn giải

BCA41

Theo bất đẳng thức tam giác :

\(AB-AC< BC< AB+AC\)

\(\Rightarrow4-1< BC< 4+1\)

\(\Rightarrow3< BC< 5\)

Do độ dài BC bằng một số nguyên ( cm ) nên BC = 4cm

Bài 3.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Hãy tìm cạnh của tam giác cân nếu hai cạnh của nó bằng :

a) 7cm và 3cm

b) 8cm và 2cm

c) 10cm và 5cm

Hướng dẫn giải

Bài 22 (Sách bài tập - tập 2 - trang 40)

Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng 4cm và 9cm ?

Hướng dẫn giải

Ta có: nếu 4 cm là độ dài cạnh bên của tam giác

=> 4 + 4 = 8 < 9

=> 4 cm không phải là độ dài cạnh bên của tam giác

=> 9cm là độ dài cạnh bên của tam giác

ta có: chu vi hình tam giác cân là:

4 + 9 x 2= 22cm

Bài 3.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Chứng minh rằng trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Bài 25 (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AC = 30km, AB = 70 km

a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt đọng bằng 40km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không ? Vì sao ?

b) Cũng hỏi như trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 100km ?

Hướng dẫn giải

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(\left|AC-AB\right|< BC< AC+AB\)

\(\left|30-70\right|< BC< 30+70\)

\(40< BC< 100\)

a) Máy phát sóng có bán kính 40km thì TP B ko nhận đc tín hiệu vì \(BC>\text{40}\)

b) Máy phát sóng có bán kính 100km thì TP B nhận đc tín hiệu vì \(BC< 100\)

Bài 26 (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Bài 3.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Độ dài hai cạnh của một tam giác là 2cm và 10 cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ 3 của tam giác đó ?

(A) 6cm                        (B) 7cm                            (C) 8cm                              (D) 9cm

Hướng dẫn giải

Bài 19 (Sách bài tập - tập 2 - trang 40)

Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không ?

a) 5cm; 10cm; 12cm

b) 1m; 2m; 3,3m

c) 1,2m; 1m; 2,2m

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 5 + 10 = 15

=> 15 > 12

=> Có thể có tam giác có độ dài 3 cạnh là 5 cm; 10cm; 15cm

b)Ta có: 1 + 2 = 3

=> 3< 3,3

=> Không có tam giác có độ dài 3 cạnh là 1cm; 2cm; 3,3cm

c) Ta có: 1,2 + 1 = 2,2

=> 2,2 = 2,2

=> Không có tam giác có độ dài 3 cạnh là 1,2m; 1m; 2,2 cm

Bài 3.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 42)

Chứng minh "bất đẳng thức tam giác mở rộng" : Với ba điểm A, B, C bất kì ta có :

                          \(AB+AC\ge BC\)

Hướng dẫn giải

Xét 2 trường hợp:

+ A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C:

Khi đó AB + AC = BC

+ A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C thẳng hàng nhưng A không nằm giữa B và C:

Khi đó AB + AC > BC

Vậy \(AB+AC\ge BC\)

Bài 24 (Sách bài tập - tập 2 - trang 41)

Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất ?

Hướng dẫn giải

* Phân tích

Giả sử điểm M thuộc xy đã tìm được để có MA+ MB là ngắn nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua xy

ta có: MA = MA’

suy ra MA’ + MB cũng ngắn nhất .

Mà A và B lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xy

Nên M phải nằm giữa A’và B tức là MA’ + MB = A’B

Suy ra M phải là giao của A’B và xy.

* Cách dựng

Dựng A’ đối xứng với A qua xy,

Nối A’với B cắt xy tại điểm M

*Chứng minh :

Nối M với A ta có MA = MA’ (A và A’ đối xứng với nhau qua xy)

Mà MA’ + MB = A’B

suy ra MA+MB =A’B là ngắn nhất

Thật vậy: nếu lấy một điểm M’ thuộc xy mà M’ khác M ,

nối M’ với A’ và M’ với B

ta có tam giác M’A’B.

Do đó M’A’ + M’B > A’B

mà M’A’ = M’A’(tính chất đối xứng).

Có thể bạn quan tâm