Nghiệm của đa thức một biến

Lý thuyết

Bài 9.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 27)

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

(A) Đa thức \(5x^2\) không có nghiệm 

(B) Đa thức \(x^2-2\) không có nghiệm

(C) Đa thức \(x^2+2\) có nghiệm \(x=-1\)

(D) Đa thức \(x\) có nghiệm \(x=0\)

Hướng dẫn giải

B

Bài 48 (Sách bài tập - tập 2 - trang 27)

Tìm một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) biết :

a) \(f\left(x\right)=x^2-5x+4\)

b) \(f\left(x\right)=2x^2+3x+1\)

Hướng dẫn giải

a, f(x) = x² - 5x + 4

Ta có : a + b + c = 1 + (-5) + 4 = 0

=> f(1) = 1² - 5 + 4 = 0

Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

b, f(x) = 2x² + 3x + 1

Ta có : a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0

=> f(-1) = 2 . (-1)² + 3 . (-1) + 1 = 0

Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Bài 9.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 27)

Chứng tỏ rằng \(x=0;x=-\dfrac{1}{2}\) là các nghiệm của đa thức \(5x+10x^2\)

Hướng dẫn giải

Với x = 0

Ta có: 5.0+10.0² = 0

Với x = -\(\dfrac{1}{2}\)

Ta có: 5.(-\(\dfrac{1}{2}\)) + 10.(-\(\dfrac{1}{2}\))² = 0

Vậy x = 0, x = -\(\dfrac{1}{2}\) là nghiệm của đa thức 5x+10x²

Bài 50 (Sách bài tập - tập 2 - trang 27)

Đố em tìm được số mà :

a) Bình phương của nó bằng chính nó ?

b) Lập phương của nó bằng chính nó ?

Hướng dẫn giải

a) 0 ; 1

b) 0 ; 1 ; -1

Bài 44 (Sách bài tập - tập 2 - trang 26)

Tìm nghiệm của các đa thức sau :

a) \(2x+10\)

b) \(3x-\dfrac{1}{2}\)

c) \(\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\)

Hướng dẫn giải

a, Để đa thức 2x + 10 có nghiệm thì 2x + 10 = 0

2x = -10

x = -10 : 2 = -5

Vậy x = -5 là nghiệm của đa thức trên

b, Để đa thức \(3x-\dfrac{1}{2}\)có nghiệm thì \(3x-\dfrac{1}{2}\) = 0

\(3x=\dfrac{1}{2}\)

\(x=\dfrac{1}{2}:3\)

\(x=\dfrac{1}{6}\)

Vậy x = \(\dfrac{1}{6}\) là nghiệm của đa thức trên

c, Để đa thức (x - 1) (x² + 1) có nghiệm thì (x - 1) (x² + 1) = 0

<=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\Leftrightarrow x=1\\x^2+1>0\forall x\end{matrix}\right.\)

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức (x - 1) (x² + 1)

Bài 47 (Sách bài tập - tập 2 - trang 27)

Chứng tỏ rằng nếu \(a-b+c=0\) thì \(x=-1\) là một nghiệm của đa thức \(ax^2+bx+c\) ?

Hướng dẫn giải

Cho : a - b + c = 0; h(x) = ax² + bx + c

Ta có : h(-1) = a . (-1)² + b . (-1) + c

= a - b + c = 0

Vậy x = -1 là nghiệm của đa thức h(x)

Bài 49 (Sách bài tập - tập 2 - trang 27)

Chứng tỏ rằng đa thức \(x^2+2x+2\) không có nghiệm ?

 

Hướng dẫn giải

x² + 2x + 2

= x² + x + x + 1 + 1

= x(x+1) + 1(x+1) + 1

= (x+1).(x+1)+1

= (x+1)²+1. Vì (x+1)²\(\ge\)0 \(\forall\) x

\(\Rightarrow\)(x+1)²+1 > 1 \(\forall\) x

Vậy đa thức trên vô nghiệm

Bài 43 (Sách bài tập - tập 2 - trang 26)

Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^2-4x-5\)

Chứng tỏ \(x=-1;x=5\) là hai nghiệm của đa thức đó ?

Hướng dẫn giải

Với x = -1

Ta có: f(-1) = (-1)² - 4.(-1) - 5 = 0

Với x = 5

Ta có: f(x) = 5² - 4.5 -5 = 0

Vậy x = -1, x = 5 là nghiệm của đa thức f(x)

Bài 45 (Sách bài tập - tập 2 - trang 26)

Tìm nghiệm của các đa thức sau :

a) \(\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

b) \(\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\)

Hướng dẫn giải

a, Để (x - 2) (x + 2) có nghiệm thì (x - 2) (x + 2) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+2=0\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy x = 2; x = -2 là nghiệm của đa thức (x - 2) (x + 2)

b,Để (x - 1) (x² + 1) có nghiệm thì (x - 1) (x² + 1) = 0

<=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0< =>x=1\\x^2+1>0\forall x\end{matrix}\right.\)

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức (x - 1) (x² + 1)

Bài 46 (Sách bài tập - tập 2 - trang 26)

Chứng tỏ rằng nếu \(a+b+c=0\) thì \(x=1\) là một nghiệm của đa thức \(ax^2+bx+c\)

Hướng dẫn giải

Cho : a + b + c = 0; f(x) = ax² + bx + c

Ta có : f(1) = a . 1² + b . 1 + c

= a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x)