Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 5: Ôn tập chương Nguyên hàm Tích phân và ứng dụng

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 4.45 (Sách bài tập trang 211)

Tìm số phức \(z\), biết : \(z-\left(2+3i\right)\overline{z}=1-9i\)

Hướng dẫn giải

Giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\)

Theo bài ra ta có: \(z-(2+3i)\overline{z}=1-9i\)

\(\Leftrightarrow (a+bi)-(2+3i)(a-bi)=1-9i\)

\(\Leftrightarrow -(a+3b)+3i(b-a)=1-9i\)

\(\left\{\begin{matrix} a+3b=-1\\ b-a=-3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow z=2-i\)

Bài 4.35 (Sách bài tập trang 210)

Thực hiện các phép tính :

a) \(\left(2+3i\right)^2-\left(2-3i\right)^2\)

b) \(\dfrac{\left(1+i\right)^5}{\left(1-i\right)^3}\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.44 (Sách bài tập trang 211)

Tìm số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z-\left(2+i\right)\right|=\sqrt{10}\) và \(z\overline{z}=25\)

Hướng dẫn giải

Giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\)

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} |(a-2)+i(b-1)|=\sqrt{10}\\ z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)^2+(b-1)^2=10\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} 2a+b=10\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+(10-2a)^2=25\rightarrow a=5\) hoặc \(a=3\)

\(\Rightarrow b=0;4\)

Vậy \(z\in \left \{5,3+4i\right\}\)

Bài 4.33 (Sách bài tập trang 210)

Thực hiện các phép tính :

a) \(\left(2+3i\right)\left(3-i\right)+\left(2-3i\right)\left(3+i\right)\)

b) \(\dfrac{2+i\sqrt{2}}{1-i\sqrt{2}}+\dfrac{1+i\sqrt{2}}{2-i\sqrt{2}}\)

c) \(\dfrac{\left(1+i\right)\left(2+i\right)}{2-i}+\dfrac{\left(1+i\right)\left(2-i\right)}{2+i}\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.34 (Sách bài tập trang 210)

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính :

a) \(\left(2+i\sqrt{3}\right)^2\)

b) \(\left(1+2i\right)^3\)

c) \(\left(3-i\sqrt{2}\right)^3\)

d) \(\left(2-i\right)^3\)

Hướng dẫn giải

a) ta có : \(\left(2+i\sqrt{3}\right)^2=2^2+2.2.i\sqrt{3}+\left(i\sqrt{3}\right)^2\)

\(=4+4\sqrt{3}i-3=1+4\sqrt{3}i\)

b) ta có : \(\left(1+2i\right)^3=1^3+3.1^2.2i+3.1.\left(2i\right)^2+\left(2i\right)^3\)

\(=1+6i-6-8i=-5-2i\)

c) \(\left(3-i\sqrt{2}\right)^3=3^3-3.3^2.i\sqrt{2}+3.3.\left(i\sqrt{2}\right)^2+\left(i\sqrt{2}\right)^3\)

\(=27-27\sqrt{2}i-18-2\sqrt{2}i=9-29\sqrt{2}i\)

d) \(\left(2-i\right)^3=2^3-2.2^2.i+2.2.i^2-i^3\)

\(=8-8i-4+i=4-7i\)

Bài 4.39 (Sách bài tập trang 211)

Tìm số phức \(z\) thỏa mãn hệ phương trình :

                     \(\left\{{}\begin{matrix}\left|z-2i\right|=\left|z\right|\\\left|z-i\right|=\left|z-1\right|\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(z=x+yi\), ta được hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(y-2\right)^2=x^2+y^2\\x^2+\left(y-1\right)^2=\left(x-1\right)^2+y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1,y=1\)

Vậy \(z=1+i\)

Bài 4.43 (Sách bài tập trang 211)

Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left|z-i\right|=\left|\left(1+i\right)z\right|\)

Hướng dẫn giải

Giải:

Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực

Ta có:

\(|z-i|=|(1+i)z|\Leftrightarrow |a+i(b-1)|=|z||1+i|=|a+bi|\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+(b-1)^2=2(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow a^2+(b+1)^2=2\)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \((0,-1)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Bài 4.42 (Sách bài tập trang 211)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z-\left(3-4i\right)\right|=2\)

Hướng dẫn giải

Giải:

Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực

Ta có:

\(|z-3+4i|=2\Leftrightarrow |(a-3)+i(b+4)|=2\)

\(\Leftrightarrow (a-3)^2+(b+4)^2=4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \((3;-4)\) bán kính \(R=2\)

Bài 4.36 (Sách bài tập trang 211)

Giải phương trình sau trên tập số phức :

a) \(\left(1+2i\right)x-4\left(4-5i\right)=-7+3i\)

b) \(\left(3+2i\right)x-6ix=\left(1-2i\right)\left[x-\left(1+5i\right)\right]\)

Hướng dẫn giải

a) đặc : \(x=a+bi\) với \(a;b\in R\)\(i^2=-1\)

ta có : \(\left(1+2i\right)x-4\left(4-5i\right)=-7+3i\)

\(\Leftrightarrow\left(1+2i\right)\left(a+bi\right)-4\left(4-5i\right)=-7+3i\)

\(\Leftrightarrow a-2b+2ai+bi-16+20i=-7+3i\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b-16\right)+\left(2a+b+20\right)i=-7+3i\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2b-16=-7\\2a+b+20=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2b=9\\2a+b=-17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=-7\end{matrix}\right.\) vậy \(x=-5-7i\)

câu b lm tương tự nha .

Bài 4.46 (Sách bài tập trang 211)

Tìm số phức \(z\) thỏa mãn : \(\left|z\right|=\sqrt{2}\) và \(z^2\) là số thuần ảo ?

Hướng dẫn giải

Giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\Rightarrow z^2=a^2-b^2+2abi\)

\(z^2\) thuần ảo nên \(a^2-b^2=0\Rightarrow a^2=b^2\)

\(|z|=\sqrt{2}\rightarrow a^2+b^2=2\)

Từ hai điều trên suy ra \(a^2=b^2=1\Rightarrow a=\pm 1,b=\pm 1\)

Vậy tập hợp số phức \(z\)\(\left \{ \pm 1+i, 1\pm i \right \}\)

Bài 4.37 (Sách bài tập trang 211)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) \(3x^2+\left(2+2i\sqrt{2}\right)x-\dfrac{\left(1+i\right)^3}{1-i}=i\sqrt{8}x\)

b) \(\left(1-ix\right)^2+\left(3+2i\right)x-5=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.40 (Sách bài tập trang 211)

Chứng tỏ rằng \(\dfrac{z-1}{z+1}\) là số thực khi và chỉ khi \(z\) là một số thực khác -1 ?

Hướng dẫn giải

Hiển nhiên nếu \(z\in\mathbb{R},z\ne-1\) thì \(\dfrac{z-1}{z+1}\in\mathbb{R}\)

Ngược lại, nếu \(\dfrac{z-1}{z+1}=a\in\mathbb{R}\) thì \(z-1=az+a\)\(a\ne1\)

Suy ra \(\left(1-a\right)z=a+1\Rightarrow\)\(z=\dfrac{a+1}{1-a}\in\mathbb{R}\) và hiển nhiên \(z\ne-1\)

Bài 4.41 (Sách bài tập trang 211)

Tìm phần ảo của số phức \(z\), biết \(\overline{z}=\left(\sqrt{2}+i\right)^2\left(1-i\sqrt{2}\right)\)

Hướng dẫn giải

ta có : \(\overline{Z}=\left(\sqrt{2}+i\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)\)

\(\Leftrightarrow\overline{Z}=\left(1+2\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)=5-\left(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)i\)

\(\Rightarrow Z=5+\left(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)i\)

\(\Rightarrow\) phần ảo của số phức \(Z\)\(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)

Bài 4.38 (Sách bài tập trang 211)

Tìm số phức \(z\) biết 

a) \(\overline{z}=z^3\)

b) \(\left|z\right|+z=3+4i\)

Hướng dẫn giải

Số phức

Có thể bạn quan tâm