Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Lý thuyết

Bài 4.27 (Sách bài tập trang 210)

Biết \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2x^2+\sqrt{3}x+3=0\)

Hãy tính :

a) \(z^2_1+z^2_2\)

b) \(z^3_1+z^3_2\)

c) \(z^4_1+z^4_2\)

d) \(\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_1}\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.29 (Sách bài tập trang 210)

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :

a) \(1+i\sqrt{2}\) và \(1-i\sqrt{2}\)

b) \(\sqrt{3}+2i\) và \(\sqrt{3}-2i\)

c) \(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

a) ta có : \(\left(1+i\sqrt{2}\right).\left(1-i\sqrt{2}\right)=1-\left(i\sqrt{2}\right)^2=1+2=3\)

và \(\left(1+i\sqrt{2}\right)+\left(1-i\sqrt{2}\right)=2\)

\(\Rightarrow1+i\sqrt{2}\) và \(1-i\sqrt{2}\) là nghiệm của hệ \(x^2-2x+3=0\)

b) ta có : \(\left(\sqrt{3}+2i\right).\left(\sqrt{3}-2i\right)=3-\left(2i\right)^2=3+4=7\)

và \(\left(\sqrt{3}+2i\right)+\left(\sqrt{3}-2i\right)=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}+2i\) và \(\sqrt{3}-2i\) là nghiệm của hệ \(x^2-2\sqrt{3}x+7=0\)

c) ta có : \(\left(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right).\left(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)=3-\left(i\sqrt{2}\right)^2=3+2=5\)

và \(\left(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)+\left(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\) là nghiệm của hệ \(x^2+2\sqrt{3}x+5=0\)

Bài 4.32 (Sách bài tập trang 210)

Giải phương trình :

                  \(\left(z-i\right)^2+4=0\) trên tập số phức

Hướng dẫn giải

Ông tốt nghiệp đại học rồi ư ? Chơi tới toán 12 à . Kinh dị :v

Bài 4.28 (Sách bài tập trang 210)

Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline{z}\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực ?

Hướng dẫn giải

Bài 4.26 (Sách bài tập trang 210)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) \(2x^2+3x+4=0\)

b) \(3x^2+2x+7=0\)

c) \(x^4+3x^2-5=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.25 (Sách bài tập trang 209)

Chứng minh rằng số thực \(a< 0\) chỉ có hai phức là \(\pm\sqrt{\left|a\right|}\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 4.31 (Sách bài tập trang 210)

Giải phương trình : 

                            \(8z^2-4z+1=0\)

trên tập số phức

Hướng dẫn giải

đặc \(z=a+bi\) (\(a;b\in R\) ; \(i^2=-1\))

ta có : \(8z^2-4z+1=0\Leftrightarrow8\left(a+bi\right)^2-4\left(a+bi\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow8\left(a^2+2abi-b^2\right)-4\left(a+bi\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow8a^2+16abi-8b^2-4a+4bi+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(8a^2-8b^2-4a+1\right)+\left(16ab+4b\right)i=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a^2-8b^2-4a+1=0\\16ab+4b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{-1}{4}\\a=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{4}\\a=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}i;z=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}i\)

vậy ................................................................................................................................

Bài 4.30 (Sách bài tập trang 210)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) \(x^3-8=0\)

b) \(x^3+8=0\)

Hướng dẫn giải