Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Lý thuyết

Bài 4.17 (Sách bài tập trang 206)

a) Cho hai số phức :

                   \(z_1=1+2i;z_2=2-3i\)

xác định phần thực và phần ảo của số phức \(z_1-2z_2\)

b) Cho hai số phức :

                   \(z_1=2+5i;z_2=3-4i\)

xác định phần thực và phần ảo của số phức \(z_1.z_2\)

Hướng dẫn giải

a. (1+2i)-2(2-33i)=-3+8i

phần thực bằng -3 ,phần ảo bằng 8

b.(2+5i)*(3-4i)=26+7i

phần thực bằng 26 ,phần ảo bằng 7

Bài 4.20 (Sách bài tập trang 207)

Chứng inh rằng :

a) \(\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{\dfrac{z_1}{z_2}}\)

b) \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)

Hướng dẫn giải

Lời giải:

Đặt \(\frac{z_1}{z_2}=t\Rightarrow \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{t}\)

Ta cần chứng minh \(\overline{t}=\frac{\overline{z_2t}}{\overline{z_2}}\Leftrightarrow \overline{t}\overline{z_2}=\overline{tz_2}\)

Đặt \(t=a+bi,z_2=c+di\). Bài toán tương đương với:

\((a-bi)(c-di)=\overline{(a+bi)(c+di)}\Leftrightarrow ac-bd-i(ad+bc)=ac-i(ad+bc)-bd\)

(luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

b)

Dựa vào phần a, ta có:

\(\text{VT}^2=\frac{z_1}{z_2}.\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{z_1}{z_2}.\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{|z_1|^2}{|z_2|^2}=\text{VP}^2\)

\(\Rightarrow \text{VT}=\text{VP}\) (cùng dương)

Ta có đpcm

Bài 4.18 (Sách bài tập trang 207)

Thực hiện các phép tính sau :

a) \(\dfrac{\left(2+i\right)+\left(1+i\right)\left(4-3i\right)}{3+2i}\)

b) \(\dfrac{\left(3-4i\right)\left(1+2i\right)}{1-2i}+4-3i\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.21 (Sách bài tập trang 207)

a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là một số thực khi và chỉ khi \(z=\overline{z}\)

b) Chứng tỏ rằng số phúc sau là một số thực :

                        \(z=-\dfrac{3+2i\sqrt{3}}{\sqrt{2}+3i}+\dfrac{-3+2i\sqrt{3}}{\sqrt{2}-3i}\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.11 (Sách bài tập trang 205)

Tính :

a) \(\left(1+i\right)^{2006}\)

b) \(\left(1-i\right)^{2006}\)

Hướng dẫn giải

\(\left(1+i\right)^{2006}=\left(\left(1+i\right)^2\right)^{1008}=\left(2i\right)^{1008}=2\)

Bài 4.23 (Sách bài tập trang 208)

Giải phương trình sau trên tập số phức :

                  \(\left(1-i\right)z+\left(2-i\right)=4-5i\)

Hướng dẫn giải

suy ra (1-i)z= (4-5i)-(2-i)

(1-i)z =2-4i

z= (2-4i)/(1-i)

z= 3-i

Bài 4.22 (Sách bài tập trang 207)

Tìm nghịch đảo của số phức sau :

a) \(\sqrt{2}-i\sqrt{3}\)

b) \(i\)

c) \(\dfrac{1+i\sqrt{5}}{3-2i}\)

d) \(\left(3+i\sqrt{2}\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.13 (Sách bài tập trang 205)

Tính :

a) \(\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\)

b) \(\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.15 (Sách bài tập trang 206)

Phân tích thành phân tử trên tập số phức :

a) \(u^2+v^2\)

b) \(u^4-v^4\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.8 (Sách bài tập trang 205)

Thực hiện các phép tính :

a) \(\left(2+4i\right)\left(3-5i\right)+7\left(4-3i\right)\)

b) \(\left(1-2i\right)^2-\left(2-3i\right)\left(3+2i\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.12 (Sách bài tập trang 205)

Cho \(x,y\) là những số phức. Chứng minh rằng mỗi cặp số sau là hai số phức liên hợp của nhau

a) \(x+\overline{y}\) và \(\overline{x}+y\)

b) \(x\overline{y}\) và \(\overline{x}y\)

c) \(x-\overline{y}\) và \(\overline{x}-y\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.10 (Sách bài tập trang 205)

Tính các lũy thừa :

a) \(\left(3-4i\right)^2\)

b) \(\left(2+3i\right)^3\)

c) \(\left[\left(4+5i\right)-\left(4+3i\right)\right]^5\)

d) \(\left(\sqrt{2}-i\sqrt{3}\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.9 (Sách bài tập trang 205)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) \(\left(5-7i\right)+\sqrt{3}x=\left(2-5i\right)\left(1+3i\right)\)

b) \(5-2ix=\left(3+4i\right)\left(1-3i\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.24 (Sách bài tập trang 208)

Tìm các số phức \(2z+\overline{z}\) và \(\dfrac{25i}{z}\) biết rằng \(z=3-4i\) 

Hướng dẫn giải

Bài 4.14 (Sách bài tập trang 206)

Cho \(z=a+bi\). Chứng minh rằng :

a) \(z^2+\left(\overline{z}\right)^2=2\left(a^2-b^2\right)\)

b) \(z^2-\left(\overline{z}\right)^2=4abi\)

c) \(z^2\left(\overline{z}\right)^2=\left(a^2+b^2\right)^2\)

Hướng dẫn giải

\(VT=\left(a+bi\right)^2+\left(a-bi\right)^2\\ =a^2+2abi-b^2+a^2-2abi-b^2\\ =2a^2-2b^2\\ =2\left(a^2-b^2\right)=VP\)

\(VT=\left(a+bi\right)^2-\left(a-bi\right)^2\\ =a^2+2abi-b^2-\left(a^2-2abi-b^2\right)\\ =a^2+2abi-b^2-a^2+2abi+b^2\\ =4abi=VP\)

\(VT=\left(a+bi\right)^2\left(a-bi\right)^2\\ =\left[\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)\right]^2\\ =\left[a^2-\left(bi\right)^2\right]^2\\ =\left(a^2+b^2\right)^2=VP\)

Bài 4.19 (Sách bài tập trang 207)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) \(\left(3+4i\right)x=\left(1+2i\right)\left(4+i\right)\)

b) \(2ix+3=5x+4i\)

c) \(3x\left(2-i\right)+1=2ix\left(1+i\right)+3i\)

Hướng dẫn giải

Bài 4.16 (Sách bài tập trang 206)

Tính giá trị của biểu thức : 

                                 \(P=\left(1+i\sqrt{3}\right)^2+\left(1-i\sqrt{3}\right)^2\)

Hướng dẫn giải

-4