Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết

Bài 3.13 (Sách bài tập trang 103)

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là :

\(A\left(a;0;0\right);B\left(0;b;0\right);C\left(0;0;c\right)\)

Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn ?

Hướng dẫn giải

Ta có : \(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b;0\right)\)

và \(\overrightarrow{AC}=\left(-a;0;c\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2>0\) nên góc \(\widehat{BAC}\) là góc nhọn

Lập luận tương tự chứng minh được các góc \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\) cũng là góc nhọn

Bài 3.6 (Sách bài tập trang 102)

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng :

a) \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

b) \(\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.3 (Sách bài tập trang 102)

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ \(\left(x_0;y_0;z_0\right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ \(\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Ozx\right)\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 3.16 (Sách bài tập trang 103)

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\left(1;0;0\right);B\left(0;-2;0\right);C\left(0;0;4\right)\) và gốc tọa độ. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó ?

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng :

\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\)

Vì \(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(1-2a+d=0\left(1\right)\)

\(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(4+4b+d=0\left(2\right)\)

Bài 3.14 (Sách bài tập trang 103)

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau :

a) Có tâm \(I\left(5;-3;7\right)\) và có bán kính \(r=2\)

b) Có tâm là điểm \(C\left(4;-4;2\right)\) và đi qua gốc tọa độ

c) Đi qua điểm \(M\left(2;-1;-3\right)\) và có tâm \(C\left(3;-2;1\right)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left(x-5\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-7\right)^2=4\)

b) \(\left(x-4\right)^2+\left(y+4\right)^2+\left(z-2\right)^2=36\)

c) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=18\)

Bài 3.10 (Sách bài tập trang 103)

Cho hình tứ diện ABCD

a) Chứng minh hệ thức  : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\)

b) Từ hệ thức hãy suy ra định lí : 

"Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện tứ ba cũng vuông góc với nhau"

Hướng dẫn giải

Bài 3.1 (Sách bài tập trang 102)

Trong không gian Oxyz cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-1;2\right);\overrightarrow{b}=\left(3;0;1\right);\overrightarrow{c}=\left(-4;1;-1\right)\). Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{m}\) và \(\overrightarrow{n}\) biết rằng :

a) \(\overrightarrow{m}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

b) \(\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow{m}=\left(-4;-2;3\right);\overrightarrow{n}=\left(-9;2;1\right)\)

Bài 3.8 (Sách bài tập trang 102)

Trong không gian cho ba vectơ tùy ý \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)

Gọi \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b};\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c};\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{a}\)

Chứng tỏ rằng ba vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) đồng phẳng ?

Hướng dẫn giải

Bài 3.7 (Sách bài tập trang 102)

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M. N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng :

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{MN}\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{PQ}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.12 (Sách bài tập trang 103)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau :

a) \(A\left(4;-1;1\right);B\left(2;1;0\right)\)

b) \(A\left(2;3;4\right);B\left(6;0;4\right)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=3\)

b) \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=5\)

Bài 3.9 (Sách bài tập trang 103)

Trong không gian Oxyz cho một vectơ \(\overrightarrow{a}\) tùy ý khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Gọi \(\alpha,\beta,\gamma\) là ba góc tạo bởi ba vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) trên ba trục \(Ox,Oy,Oz\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\).

Chứng minh rằng : 

                              \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.11 (Sách bài tập trang 103)

Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) trong không gian với các tọa độ đã cho là :

a) \(\overrightarrow{a}=\left(3;0;-6\right);\overrightarrow{b}=\left(2;-4;c\right)\)

b) \(\overrightarrow{a}=\left(1;-5;2\right);\overrightarrow{b}=\left(4;3;-5\right)\)

c) \(\overrightarrow{a}=\left(0;\sqrt{2};\sqrt{3}\right);\overrightarrow{b}=\left(1;\sqrt{3};-\sqrt{2}\right)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=6\left(1-c\right)\)

b) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-21\)

c) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\)

Bài 3.4 (Sách bài tập trang 102)

Cho hai bộ ba điểm :

a) \(A=\left(1;3;1\right);B=\left(0;1;2\right);C=\left(0;0;1\right)\)

b) \(M=\left(1;1;1\right);N=\left(-4;3;1\right):P=\left(-9;5;1\right)\)

Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ?

Hướng dẫn giải

Bài 3.2 (Sách bài tập trang 102)

Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(1;-3;4\right)\)

a) Tìm \(y_0\) và \(z_0\) để cho vectơ \(\overrightarrow{b}=\left(2;y_0;z_0\right)\) cùng phương với \(\overrightarrow{a}\)

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{c}\) biết rằng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\) ngược hướng và \(\left|\overrightarrow{c}\right|=2\left|\overrightarrow{a}\right|\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.15 (Sách bài tập trang 103)

Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây :

a) \(x^2+y^2+z^2-6x+2y-16z-26=0\)

b) \(2x^2+2y^2+2z^2+8x-4y-12z-100=0\)

Hướng dẫn giải

a) Tâm \(I\left(3;-1;8\right)\), bán kính \(r=10\)

b) Tâm \(I\left(-2;1;3\right)\), bán kính \(r=8\)

Bài 3.5 (Sách bài tập trang 102)

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều 3 điểm \(A\left(1;1;1\right);B\left(-1;1;0\right);C\left(3;1;-1\right)\) ?

Hướng dẫn giải