Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 6: Ôn tập chương Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 2.53 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 87)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Gọi R, N, Q là các điểm thuộc các cạnh A'D', BC, C'D'

a) Tìm giao điểm I và K của đường thẳng RQ với các mặt phẳng (AA'B'B), (BB'C'C)

b) Tìm giao điểm P và J của đường thẳng NK với các mặt phẳng (CC'D'D), (AA'B'B)

c) Tìm giao điểm S và M của đường thẳng IJ với các mặt phặng (ADD'A'), (ABCD)

d) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (NQR) với các mặt phẳng của hình lập phương

e) Tìm thiết diện của mặt phẳng (NQR) với hình lập phương

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.44 (Sách bài tập trang 85)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' và các trung điểm E, F của các cạnh AB, DD'. Hãy xác định các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC') và (EFK) với K là trung điểm của cạnh B'C'

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 3 (Sách bài tập trang 87)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cho điểm M thay đổi trên cạnh SD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của AN với BM và AM với BN. Chứng minh rằng khi M chạy trên cạnh SD thì I, J lần lượt chạy trên các đường thẳng cố định ?

Hướng dẫn giải

\(I=AN\cap BM\) nên I lần lượt thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Như vậy I phải thuộc giao tuyến SO của hai mặt phẳng này, ở đây \(O=AC\cap BD\). Tương tự, ta có J thuộc d

Ôn tập chương II

 

Bài 2.52 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 87)

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc miền trong các tam giác SAB, SBC, SCD. Xác định thiết diện do mặt phẳng (EFG) cắt hình chóp ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 3 - Câu 2 (Sách bài tập trang 88)

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B', C', D'

Chứng minh :

                 \(\dfrac{MB'}{AB}+\dfrac{MC'}{AC}+\dfrac{MD'}{AD}=1\)

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABI, ta có :

\(\dfrac{MB'}{AB}=\dfrac{MI}{BI}\left(1\right)\)Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 1 (Sách bài tập trang 87)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cho điểm M thay đổi trên cạnh SD

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) ?

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AD và BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC

Bài 2.38 (Sách bài tập trang 84)

Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD

a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B'

Chứng minh rằng AB', BM và CD đồng quy tại một điểm

b) Chứng minh :

             \(\dfrac{MB'}{BC}=\dfrac{dt\left(\Delta MCD\right)}{dt\left(\Delta BCD\right)}\)

c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C' và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D'. 

Chứng minh rằng :

           \(\dfrac{MB'}{BA}+\dfrac{MC'}{CA}+\dfrac{MD'}{DA}=1\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.47 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 86)

Cho hình chóp A.BCD có đáy là hình thang ABCD (có đáy nhỏ BC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SD, O là giao điểm của AC và DM

a) Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (SAC)

b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (NBC). Thiết diện đó là hình gì ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.45 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 86)

Cho hình chóp A.ABCD có đáy là hình thang (đáy lớn AD). Gọi O là giao điểm của AC và BD, I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC

a) Xác định giao điểm M của AI và (SCD)

b) Chứng minh IJ // (SAD)

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) qua I, song song với DS và AC

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 2 - Câu 2 (Sách bài tập trang 88)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và cho M là một điểm thay đổi trên cạnh SC. Một mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và song song với BD. Mặt phẳng (P) cắt SB, SD lần lượt tại E và FF. Hãy xác định các điểm E, F ?

Hướng dẫn giải

Gọi K=AM∩SOK=AM∩SO. Mặt phẳng (P) đi qua K và song song với BD nên cắt (SBD) theo giao tuyế d' đi qua K và song song với BD. Vậy qua K, ta vẽ d' song song với BD. Đường thẳng d' cắt SB và SD lần lượt tại E và F. Đây là các điểm cần tìm.

Bài 2.48 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 86)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi \(G_1,G_2\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác SBC và SCD

Tìm giao tuyến của mặt phẳng (\(\left(AG_1G_2\right)\) với các mặt phẳng (ABCD) và (SCD)

Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \(\left(AG_1G_2\right)\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.54 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập - trang 87)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CC', C'D'. Tìm diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (NPQ) cắt hình lập phương

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 3 - Câu 1 (Sách bài tập trang 88)

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B', C', D'

Xác định các giao điểm B', C', D' ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

C

Bài 2.40 (Sách bài tập trang 84)

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA' và CC'. Một điểm P nằm trên cạnh bên DD'.

a) Xác định giao điểm Q của đường thẳng BB' với mặt phẳng (MNP)

b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì ?

c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp

Hướng dẫn giải

a) Ta có mặt phẳng (AA', DD') song song với mặt phẳng (BB',CC'). Mặt phẳng (MNP) cắt hai mặt phẳng nói trên theo hai giao tuyến song song.

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.41 (Sách bài tập trang 85)

Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC' sao cho \(\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{CN}{NC'}\)

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN  song song với mặt phẳng (ACB')

b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB')

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.39 (Sách bài tập trang 84)

Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA',BB',CC' song song cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC' và A'B'C'

a) Chứng minh (IGK) // (BB'C'C)

b) Chứng minh rằng (A'GK) // (AIB')

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.37 (Sách bài tập trang 84)

Trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ các nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz không nằm trong \(\left(\alpha\right)\). Trên Ax lấy đoạn AA'=a, trên By lấy BB'=b, trên Cz lấy đoạn CC'=a

a) Gọi I, J và K lần lượt là các giao điểm B'C'. C'A' và A'B' với \(\left(\alpha\right)\).

Chứng minh rằng \(\dfrac{IB}{IC}.\dfrac{JC}{JA}.\dfrac{KA}{KB}=1\)

b) Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'

Chứng minh GG' // AA'

c) Tính GG' theo a, b, c ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.42 (Sách bài tập trang 85)

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'

a) Chứng minh rằng hai đường chéo AC' và A'C cắt nhau và hai đường chéo BD' và B'D cắt nhau

b) Cho E và F lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.

Chứng minh MN = EF ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 2 - Câu 1 (Sách bài tập trang 88)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và cho M là một điểm thay đổi trên cạnh SC. Một mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và song song với BD

Chứng minh rằng (P) luôn chứa một đường thẳng cố định khi M thay đổi ?

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) qua A song song với BD nên (P) sẽ cắt (ABCD) theo giao tuyến d đi qua A và song song với BD. A và BD cố định nên d cố đinh

Đề kiểm tra - Đề 3 - Câu 3 (Sách bài tập trang 88)

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B', C', D'.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

                 \(\dfrac{MB'}{AB}.\dfrac{MC'}{AC}.\dfrac{MD'}{AD}\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.50 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 87)

Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho :

             \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\) đạt giá trị cực tiểu

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 2 (Sách bài tập trang 87)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cho điểm M thay đổi trên cạnh SD

Xác định giao điểm N của SC và mặt phẳng (ABM). Tứ giác ABNM là hình gì ? Có thể là hình bình hành không ?

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d' đi qua M và song song với AB và CD. Vậy qua M ta sẽ vẽ đường thẳng d', đường thửng này cắt SC tại N. Đây là điểm cần tìm. Ta thấy ngay ABNM là hình thang. Để ABNM là hình bình hành, ta phải có thêm AM song song với BN. Khi đó AM và BN phải song song với d. Điều này không thể xảy ra khi M thuộc đoạn SD và không trùng với hai đầu mút S và D

Bài 2.46 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 86)

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C' là trung điểm của SC và M là một điểm di động trên cạnh SAa. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C'M và song song với BC

a) Xác định thiết diện (P) cắt hình chóp S.ABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành

b) Khi M di động trên cạnh SA, thì giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện chạy trên đường nào ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.51 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 87)

Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M thuộc đoạn AB. Gọi N, P là các điểm thuộc miền trong các tam giác ACD, BCD tương ứng. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện ABCD ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.43 (Sách bài tập trang 85)

Cho hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\&\left(\beta\right)\) cắt nhau theo giao tuyến m. Trên đường thẳng d cắt \(\left(\alpha\right)\) ở A và cắt \(\left(\beta\right)\) ở B ta lấy hai điểm cố định \(S_1,S_2\) không thuộc \(\left(\alpha\right)\)\(\left(\beta\right)\). Gọi M là một điểm di động trên \(\left(\beta\right)\). Giả sử các đường thẳng \(MS_1,MS_2\) cắt \(\left(\alpha\right)\) lần lượt tại \(M_1,M_2\)

a) Chứng minh rằng \(M_1M_2\) luon luôn đi qua một điểm cố định

b) Giả sử đường thẳng \(M_1M_2\) cắt giao tuyến m tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, B, M thẳng hàng 

c) Gọi b là một đường thẳng thuộc mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) nhưng không đi qua điểm B và cắt m tại I. Chứng minh rằng khi M di động trên b thì các điểm \(M_1\) và \(M_2\) di động trên hai đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Bài 2.49 - Đề toán tổng hợp (Sách bài tập trang 86)

Cho tứ diện ABCD. Trên ba cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' sao cho đường thẳng B'C' cắt đường thẳng BC tại K, đường thẳng C'D' cắt đường thẳng CD tại J, đường thẳng D'B' cắt đường thẳng DB tại I

a) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng

b) Lấy điểm M ở giữa đoạn thẳng BD; điểm N ở giữa đoạn thẳng CD sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC và điểm F nằm bên trong tam giác ABC. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNF)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Đề kiểm tra - Đề 2 - Câu 3 (Sách bài tập trang 88)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và cho M là một điểm thay đổi trên cạnh SC. Một mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và song song với BD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của ME với CB và MF với CD. Chứng minh ba điểm I, A, J thẳng hàng ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song

Có thể bạn quan tâm