Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

Lý thuyết

Bài 7 (Sách bài tập trang 128)

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy ?

Hướng dẫn giải

Gọi 3 số hạng của cấp số cộng là: \(5;5+d;5+2d\)
Gọi 3 số hạng của cấp số nhân là: \(5;5q;5q^2\).
Ta có hệ sau:\(\left\{{}\begin{matrix}5+2d=5q^2\\5+d=5q+10\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5+2d=5q^2\\d=5q+5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow5+2.\left(5q+5\right)=5q^2\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}q=-1\\q=3\end{matrix}\right.\).
Với \(q=-1\) thì \(d=5.q+5=5.\left(-1\right)+5=0\).
Với \(q=3\) thì \(d=5.q+5=5.3+5=20\).
Vậy
Với \(q=-1\):
3 số hạng của cấp số cộng là: 5; 5; 5.
3 số hạng của cấp số nhân là: 5; - 5; 5.
Với \(q=3\):
3 số hạng của cấp số cộng là: 5; 25; 45.
3 số hạng của cấp số nhân là: 5; 15; 45.

Bài 11 (Sách bài tập trang 128)

Tính tổng :

a) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+....+\dfrac{2n-1}{2^n}\)

b) \(1^2-2^2+3^2-4^2+....+\left(-1\right)^{n-1}.n^2\)

Hướng dẫn giải

Bài 8 (Sách bài tập trang 128)

Chứng minh rằng nếu 3 số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Gọi ba số đó là \(a,b,c\) theo ba số phải tìm. Theo bài ra ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+b}{2}=c\\ab=c^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=ab\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2ab\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow a-b=0\)\(\Leftrightarrow a=b\).
Suy ra: \(c=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{a+a}{2}=a\).
Vì vậy: \(a=b=c\).

Bài 6 (Sách bài tập trang 128)

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?

Hướng dẫn giải

Gọi ba số đó là \(x,y,z\). Do ba số là các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên:
\(x;y=x+7d;z=x+42d\). (Với d là công sai của cấp số cộng).
Ta có: \(x+y+z=x+x+7d+x+42d=3x+49d=217\).
Mặt khác x, y, z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
\(y^2=xz\)\(\Leftrightarrow\left(x+7d\right)^2=x\left(x+42d\right)\)\(\Leftrightarrow-28xd+49d^2=0\)\(\Leftrightarrow7d\left(-4x+7d\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d=0\\-4x+7d=0\end{matrix}\right.\).
Với \(d=0\) suy ra \(x=y=z=\dfrac{217}{3}\).
Suy ra: \(n=820:\dfrac{217}{3}=\dfrac{2460}{217}\notin N\).
Với \(4+7d=0\). Ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}4x+7d=0\\3x+49d=217\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\d=4\end{matrix}\right.\).
Vậy \(u_1=7-4=3\).
Có \(S_n=\dfrac{\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]n}{2}=\dfrac{\left[2.3+\left(n-1\right)4\right]n}{2}=820\)
 \(\Rightarrow n=20\left(tm\right)\).
 

Bài 5 (Sách bài tập trang 127)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) :

         \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{1}{3}\\u_{n+1}=\dfrac{\left(n+1\right)u_n}{3n};n\ge1\end{matrix}\right.\)

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số

b) Lập dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=\dfrac{u_n}{n}\)

    Chứng minh dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số nhân

c) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)

Hướng dẫn giải

Bài 4 (Sách bài tập trang 127)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) :

             \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1;u_2=2\\u_{n+1}=2u_n-u_{n-1};\left(n\ge2\right)\end{matrix}\right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Lập dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=u_{n+1}-u_n\)

    Chứng minh dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng

c) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)

Hướng dẫn giải

Bài 2 (Sách bài tập trang 127)

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với \(n\in N^{\circledast}\)

a) \(A_n=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)}\)

b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)

c) \(S_n=\sin x+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}\sin\dfrac{\left(n+1\right)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\)

Hướng dẫn giải

b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

Bài 9 (Sách bài tập trang 128)

Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có công bội là q và số các số hạng là chẵn. Gọi \(S_c\) là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \(S_l\) là tổng các số hạng có chỉ số lẻ.

Chứng minh rằng \(q=\dfrac{S_c}{S_l}\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 3 (Sách bài tập trang 127)

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :

a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)

b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)

Hướng dẫn giải

a)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).

Bài 13 (Sách bài tập trang 128)

Tìm m để phương trình :

                 \(x^4-\left(3m+5\right)x^2+\left(m+1\right)^2=0\)

có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng 

Hướng dẫn giải

Bài 1 (Sách bài tập trang 126)

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :

a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

Hướng dẫn giải

a)
Với \(n=1\).
\(n^5-n=1^5-1=0\).
Do 0 chia hết cho 5 nên điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(k^5-k⋮5\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Thật vậy:
\(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)=C^0_5k^0+C^1_5k+...+C^5_5k^5-k-1\)
\(=1+C^1_5k+...+k^5-k-1\)
\(=C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\)
Do mỗi \(C_5^1;C^2_5;C^3_5;C^4_5\) đều chia hết cho 5 và do gải thiết quy nạp \(k^5-k⋮5\) nên \(C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\) chia hết cho 5.
Vì vậy: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.

Bài 12 (Sách bài tập trang 128)

Tính tổng :

a) \(S_n=1+2a+3a^2+....+na^{n-1}\)

b) \(S_n=1.x+2x^2+3.x^3+....+nx^n\)

Hướng dẫn giải

Bài 10 (Sách bài tập trang 128)

Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không ?

Hướng dẫn giải

Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là \(x-d,x,x+d\)

Theo giả thiết ta có \(\left(x+d\right)^2=\left(x-d\right)^2+x^2\) (1)

Từ (1) tìm được \(x=0;x=4d\)

Như vậy có thể có tam giác vuông thỏa mãn đầu bài, các cạnh của nó là 3d, 4d, 5d. Đặc biệt, nếu \(d=1\) thì tam giác vuông có cách cạnh là 3, 4, 5 (tam giác Ai Cập)