Bài 4: Ôn tập chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Bài 12 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(2\sin^2x+\sin x\cos x-\cos^2x=3\)
Hướng dẫn giải
Đây là dạng phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin và cos
Cách giải : Xét 2 trường hợp
TH1 : cos x = 0 => 2\(\sin^2x\)= 3 ( không thỏa mãn )=> pt vô nghiệm
TH2 : cos x \(\ne\)0 . Chia cả 2 vế cho \(\cos^2x\)ta được
\(2\tan^2x+\tan x-1=3\times\left(1+\tan^2x\right)\)
Giải phương trình tìm ra nghiệm và kết luận
Bài 1 (Sách bài tập trang 36)
Tìm tập xác định của các hàm số
a) \(y=\dfrac{2-\cos x}{1+\tan\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}\)
b) \(y=\dfrac{\tan x+\cot x}{1-\sin2x}\)
Hướng dẫn giải
Bài 6 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(\sin^2x-\cos^2x=\cos4x\)
Hướng dẫn giải
\(\Leftrightarrow-\cos2x=\cos4x\Leftrightarrow2\cos3x\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos3x=0\\\cos x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\)
Bài 3 (Sách bài tập trang 36)
Chia các đoạn sau thành hai đoạn, trên một đoạn hàm số \(y=\sin x\) tăng, còn trên đoạn kia hàm số đó giảm :
a) \(\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]\)
b) \(\left[-\pi;0\right]\)
c) \(\left[-2\pi;-\pi\right]\)
Hướng dẫn giải
a) Hàm số \(y=\sin x\) giảm trên đoạn \(\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]\) và tăng trên đoạn \(\left[\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right]\)
b) \(y=\sin x\) giảm trên \(\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]\), tăng trên \(\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]\)
c) \(y=\sin x\) tăng trên \(\left[-2\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]\), giảm trên \(\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\pi\right]\)
Bài 15 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(2\tan^2x-3\tan x+2\cot^2x+3\cot x-3=0\)
Hướng dẫn giải
Bài 4 (Sách bài tập trang 37)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) \(y=3-4\sin x\)
b) \(y=2-\sqrt{\cos x}\)
Hướng dẫn giải
a) Do \(-1\le sinx\le1,\forall x\in R\).
Nên giá trị lớn nhất của \(y=3-4sinx\) bằng \(3-4.\left(-1\right)=7\)khi \(sinx=-1\)\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).
Giá trị nhỏ nhất của \(y=3-4sinx\) bằng \(3-4.1=-1\) đạt được khi \(sinx=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\).
Bài 13 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(3\sin x-4\cos x=1\)
Hướng dẫn giải
\(3\sin x-4\cos x=1\Leftrightarrow\dfrac{3}{5}\sin x-\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow\sin\left(x-\alpha\right)=\dfrac{1}{5}\) (với \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5};\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\) )
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\alpha+arc\sin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\x=\alpha+\pi-arc\sin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\)
Bài 11 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(2\cos^2x-3\sin2x+\sin^2x=1\)
Hướng dẫn giải
* \(\cos x=0\), thỏa mãn phương trình => Phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
* Với \(\cos x\ne0\), chia hai vế cho \(\cos^2x\), tìm được \(\tan x=\dfrac{1}{6}\)
Vậy phương trình có các nghiệm :
\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=arc\tan\dfrac{1}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Bài 5 (Sách bài tập trang 37)
Vẽ đồ thị của các hàm số :
a) \(y=\sin2x+1\)
b) \(y=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị của hàm số \(y=\sin2x+1\) thu được từ đồ thị hàm số \(y=\sin2x\) bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên phía trên một đơn vị
b) Đồ thị hàm số \(y=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\) thu được từ đồ thị hàm số \(y=\cos x\) bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang phải một đoạn bằng \(\dfrac{\pi}{6}\)
Bài 8 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(3\sin^2x+4\cos x-2=0\)
Hướng dẫn giải
\(3\sin^2x+4\cos x-2=0\)
<=> \(-3\sin^2x+4\cos x+1=0\Leftrightarrow\cos x=\dfrac{2\pm\sqrt{7}}{3}\)
<=> \(x=\pm\cos\left(\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}\right)+k2\pi\)
(Giá trị \(\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}>1\) nên bị loại)
Bài 7 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(\cos3x-\cos5x=\sin x\)
Hướng dẫn giải
\(\cos3x-\cos5x=\sin x\Leftrightarrow\sin x\left(1-2\sin4x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin x=0\\\sin4x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{5\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\)
Bài 14 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(4\sin3x+\sin5x-2\sin x\cos2x=0\)
Hướng dẫn giải
\(4\sin3x+\sin5x-2\sin x\cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(4\sin3x+\sin5x-\sin3x+\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow3\sin3x+\sin5x+\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow3\sin3x+2\sin3x\cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow\sin3x\left(3+2\cos2x\right)=0\)
Đáp số : \(x=k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\)
Bài 16 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(\cot x-1=\dfrac{\cos2x}{1+\tan x}+\sin^2x-\dfrac{1}{2}\sin2x\)
Hướng dẫn giải
Bài 9 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(\sin^2x+\sin^22x=\sin^23x\)
Hướng dẫn giải
Bài 10 (Sách bài tập trang 37)
Giải phương trình sau :
\(2\tan x+3\cot x=4\)
Hướng dẫn giải
\(2\tan x+3\cot x=4\)
Điều kiện \(\cos x\ne0\) và \(\sin x\ne0\)
Ta có : \(2\tan^2x-4\tan x+3=0\)
Phương trình vô nghiệm đối với \(\tan x\), do đó phương trình vô nghiệm.
Bài 2 (Sách bài tập trang 36)
Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số :
a) \(y=\sin^3x-\tan x\)
b) \(y=\dfrac{\cos x+\cot^2x}{\sin x}\)