Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Bài 2.1 trang 22 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) \(\sin 3x = - {{\sqrt 3 } \over 2}\)
b) \(\sin \left( {2x - {{15}^o}} \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
c) \(\sin \left( {{x \over 2} + {{10}^o}} \right) = - {1 \over 2}\)
d) \(\sin 4x = {2 \over 3}\)
Hướng dẫn giải
a) \(x = - {\pi \over 9} + k{{2\pi } \over 3},k \in Z{\rm{ }}\) và \({\rm{ }}x = {{4\pi } \over 9} + k{{2\pi } \over 3},k \in Z\)
b) \(x = {30^o} + k{180^o},k \in Z{\rm{ }}\) và \(x = {75^o} + k{180^o},k \in Z\)
c) \(x = - {80^o} + k{720^o},k \in Z\) và \(x = {400^o} + k{720^o},k \in Z\)
d) \(x = {1 \over 4}\arcsin {2 \over 3} + k{\pi \over 2}{\rm{,k}} \in Z\) và \(x = {\pi \over 4} - {1 \over 4}{\rm{arcsin}}{2 \over 3} + k{\pi \over 2}{\rm{,}}k \in Z{\rm{ }}\)
Bài 2.2 trang 22 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) \(\cos \left( {x + 3} \right) = {1 \over 3}\)
b) \(\cos \left( {3x - {{45}^o}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
c) \(\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = - {1 \over 2}\)
d) \(\left( {2 + \cos x} \right)\left( {3\cos 2x - 1} \right) = 0\)
Hướng dẫn giải
a) \(x = - 3 \pm \arccos {1 \over 3} + k2\pi ,k \in Z\)
b) \(x = {25^o} + k{120^o},x = {5^o} + k{120^o},k \in Z\)
c) \(x = {\pi \over 6} + k\pi ,x = - {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\)
d) \(x = \pm {1 \over 2}\arccos {1 \over 3} + k\pi ,k \in Z\)
Bài 2.3 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) \(\tan \left( {2x + {{45}^o}} \right) = - 1\)
b) \(\cot \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = \sqrt 3 \)
c) \(\tan \left( {{x \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = \tan {\pi \over 8}\)
d) \(\cot \left( {{x \over 3} + {{20}^o}} \right) = - {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Hướng dẫn giải
a) \(x = - {45^o} + k{90^o},k \in Z\)
b) \(x = - {\pi \over 6} + k\pi ,k \in Z\)
c) \(x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi ,k \in Z\)
d) \(x = {300^o} + k{540^o},k \in Z\)
Bài 2.4 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình:
a) \({{\sin 3x} \over {\cos 3x - 1}} = 0\)
b) \(\cos 2x\cot \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0\)
c) \(\tan \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0\)
d) \(\left( {\cot x + 1} \right)\sin 3x = 0\)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: cos3x ≠ 1. Ta có:
sin3x = 0 ⇒ 3x = kπ. Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ Z bị loại nên 3x = (2m + 1)π. Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \left( {2m + 1} \right){\pi \over 3},m \in Z\)
b) Điều kiện: \(\sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) \ne 0\). Biến đổi phương trình:
\(\cos 2x.\cot \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0 \Rightarrow \cos 2x.\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z. \hfill \cr} \right.\)
Do điều kiện, các giá trị \(x = {\pi \over 4} + 2m{\pi \over 2},m \in Z\) bị loại. Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x = {\pi \over 4} + \left( {2m + 1} \right){\pi \over 2},m \in Z\) và \(x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z\)
c) Điều kiện:
\(\cos \left( {2x + {{60}^o}} \right) \ne 0\)
\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \sin \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\sin \left( {2x + {{60}^o}} \right) = 0 \hfill \cr
\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
2x + {60^o} = k{180^o} \hfill \cr
x + {75^o} = {90^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {30^o} + k{90^o},k \in Z \hfill \cr
x = {15^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr}\)
Do điều kiện ở trên, các giá trị \(x = {15^o} + k{180^o},k \in Z\) bị loại.
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = - {30^o} + k{90^o},k \in Z\)
d) Điều kiện: sinx ≠ 0. Ta có:
\(\eqalign{
& \left( {\cot x + 1} \right)\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cot x = - 1 \hfill \cr
\sin 3x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = k{\pi \over 3},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
Do điều kiện sinx ≠ 0 nên những giá trị \(x = k{\pi \over 3}\) và \(k = 3m,m \in Z\) bị loại.
Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x = - {\pi \over 4} + k\pi {\rm{ ; }}x = {\pi \over 3} + k\pi\) và \(x = {{2\pi } \over 3} + k\pi ,k \in Z\)
Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau
a) \(y = \cos \left( {2x - {\pi \over 3}} \right)$ và $y = \cos \left( {{\pi \over 4} - x} \right)\)
b) \(y = \sin \left( {3x - {\pi \over 4}} \right)$ và $y = \sin \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\)
c) \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 5}} \right)$ và $y = \tan \left( {{\pi \over 5} - x} \right)\)
d) \(y = \cot 3x\) và \(y = \cot \left( {x + {\pi \over 3}} \right)\)
Hướng dẫn giải
a)
\(\eqalign{
& \cos \left( {2x - {\pi \over 3}} \right) = \cos \left( {{\pi \over 4} - x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {\pi \over 3} = {\pi \over 4} - x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
2x - {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy các giá trị cần tìm là: \(x = {{7\pi } \over {36}} + k{{2\pi } \over 3},k \in Z\) và \(x = {\pi \over {12}} + k2\pi ,k \in Z\)
b)
\(\eqalign{
& \sin \left( {3x - {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( {x + {\pi \over 6}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x - {\pi \over 4} = x + {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
3x - {\pi \over 4} = \pi - x - {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {{5\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
4x = {{13\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy các giá trị cần tìm là: \(x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z\) và \(x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi \over 2},k \in Z\)
c)
\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = \tan \left( {{\pi \over 5} - x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos \left( {2x + {\pi \over 5}} \right) \ne 0;\,\,\cos \left( {{\pi \over 5} - x} \right) \ne 0\left( 1 \right) \hfill \cr
2x + {\pi \over 5} = {\pi \over 5} - x + k\pi ,k \in Z\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \left( 2 \right) \Leftrightarrow x = {{k\pi } \over 3},k \in Z \cr} \)
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện (1). Vậy ta có: \(x = {{k\pi } \over 3},k \in Z\)
d)
\(\eqalign{
& \cot 3x = \cot \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\sin 3x \ne 0;\,\,\sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr
3x = x + {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z\,\,\,\,\left( 4 \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \left( 4 \right) \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {{k\pi } \over 2},k \in Z \cr} \)
Nếu k = 2m + 1, m ∈ Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện (3).
Suy ra các giá trị cần tìm là \(x = {\pi \over 6} + m\pi ,m \in Z\)
Bài 2.6 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) cos 3x - sin 2x = 0
b) tanx. tan 2x = - 1
c) sin 3x + sin 5x = 0
d) cot 2x. cot 3x = 1
Hướng dẫn giải
a)
\(\eqalign{
& \cos 3x - \sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3x = \pm \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) + k2\pi ,k \in Z \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {\pi \over {10}} + {{k2\pi } \over 5},k \in Z\) và \(x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z\)
b) Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0
\(\eqalign{
& \tan x.\tan 2x = - 1 \cr
& \Rightarrow \sin x.\sin 2x = - \cos x.\cos 2x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos x + \sin 2x.\sin x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos x = 0 \cr} \)
Kết hợp với điều kiênh ta thấy phương trình vô nghiệm.
c)
\(\eqalign{
& \sin 3x + \sin 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 4x.\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {{k\pi } \over 4},k \in Z{\rm{ }}\) và \(x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\)
d) Điều kiện: sin2x ≠ 0 và sin 3x ≠ 0
\(\eqalign{
& \cot 2x.\cot 3x = 1 \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x = \sin 2x.\sin 3x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x - \sin 2x.\sin 3x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos 5x = 0 \Rightarrow 5x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z \cr} \)
Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì
\(\eqalign{
& x = {\pi \over {10}} + \left( {2 + 5m} \right).{\pi \over 5} \cr
& = {\pi \over {10}} + {{2\pi } \over 5} + m\pi \cr
& = {\pi \over 2} + m\pi ,m \in Z \cr} \)
Lúc đó \(\sin 2x = \sin \left( {\pi + 2m\pi } \right) = 0\), không thỏa mãn điều kiện.
Có thể suy ra nghiệm phương trình là \(x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z\) và k ≠ 2 + 5m, m ∈ Z
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
