Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

§4. Hệ trục tọa độ

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1.36 trang 43 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Viết tọa độ của các vec tơ sau:

\(\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j\)

\(\overrightarrow b  = {1 \over 3}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \)

\(\overrightarrow c  = 3\overrightarrow i \)

\(\overrightarrow d  =  - 2\overrightarrow j \)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& \overrightarrow a = (2;3); \cr 
& \overrightarrow b = 2({1 \over 3}; - 5); \cr 
& \overrightarrow c = (3;0); \cr 
& \overrightarrow d = (0; - 2). \cr} \)

Bài 1.37 trang 43 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Viết vec tơ \(\overrightarrow u \) dưới dạng \(\overrightarrow u  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \) khi viết tọa độ của \(\overrightarrow u \) là:

\((2; - 3),( - 1;4),(2;0),(0; - 1),(0;0)\)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow u  = (2; - 3) =  > \overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j \)

\(\overrightarrow u  = ( - 1;4) =  > \overrightarrow u  =  - \overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \)

\(\overrightarrow u  = (2;0) =  > \overrightarrow u  = 2\overrightarrow i \)

\(\overrightarrow u  = (0; - 1) =  > \overrightarrow u  =  - \overrightarrow j \)

\(\overrightarrow u  = (0;0) =  > \overrightarrow u  = 0\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  = \overrightarrow 0 \)

Bài 1.38 trang 43 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho \(\overrightarrow a  = (1; - 2),\overrightarrow b (0;3)\). Tìm tọa độ của các vec tơ \(\overrightarrow x  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow y  = \overrightarrow a  - \overrightarrow b ,\overrightarrow z  = 3\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b \)

Hướng dẫn giải

\(\vec x = \vec a + \vec b \Rightarrow \left\{ \matrix{
x_{\vec x}^{} = x_{\vec a}^{} + x_{\vec b}^{} = 1 \hfill \cr 
y_{\vec x}^{} = y_{\vec a}^{} + y_{\vec b}^{} = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\vec y = \vec a - \vec b \Rightarrow \left\{ \matrix{
x_{\vec y}^{} = x_{\vec a}^{} - x_{\vec b}^{} = 1 \hfill \cr 
y_{\vec y}^{} = y_{\vec a}^{} - y_{\vec b}^{} = - 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\vec z = 3\vec a - 4\vec b \Rightarrow \left\{ \matrix{
x_{\vec z}^{} = 3x_{\vec a}^{} - 4x_{\vec b}^{} = 3 \hfill \cr 
y_{\vec z}^{} = 3y_{\vec a}^{} - 4y_{\vec b}^{} = - 18 \hfill \cr} \right.\)

Bài 1.39 trang 43 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Xét xem các cặp vec tơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp cùng phương thì xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng.

a) \(\overrightarrow a  = (2;3),\overrightarrow b  = ( - 10; - 15)\)

b) \(\overrightarrow u  = (0;7),\overrightarrow v  = (0;8)\)

c) \(\overrightarrow m  = ( - 2;1),\overrightarrow b  = ( - 6;3)\)

d) \(\overrightarrow c  = (3;4),\overrightarrow d  = (6;9)\)

e) \(\overrightarrow e  = (0;5),\overrightarrow f  = (3;0)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng;

b) \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng;

c) \(\overrightarrow m ,\overrightarrow n \) cùng hướng;

d) \(\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) không cùng phương;

e) \(\overrightarrow e ,\overrightarrow f \) hông cùng phương;

Bài 1.40 trang 44 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

a) Cho \(A( - 1;8),B(1;6),C(3;4)\). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Cho \(A(1;1),B(3;2),C(m + 4;2m + 1)\). Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = (2; - 2),\overrightarrow {AC}  = (4; - 4)\)

Vậy \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AB} \) =>ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) \(\overrightarrow {AB}  = (2;1),\overrightarrow {AC}  = (m + 3;2m)\)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow {{m+3} \over 2} = {{2m} \over 1} \Leftrightarrow m = 1\)

Bài 1.41 trang 44 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho bốn điểm \(A( - 2; - 3),B(3;7),C(0;3),D( - 4; - 5)\).

Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {AB}  = (5;10),\overrightarrow {CD}  = ( - 4; - 8)\). Ta có: \(\overrightarrow {CD}  =  - {4 \over 5}\overrightarrow {AB} \), vậy hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau.

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = (2;6)\) và \(\overrightarrow {AB} \) không trùng phương vì \({5 \over 2} \ne {{10} \over 6}\)

Vậy AB // CD

Bài 1.42 trang 44 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC. Các điểm \(M(1;1),N(2;3),P(0; - 4)\) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

(h.1.56)

\(\overrightarrow {MN}  = (1;2)\)

\(\overrightarrow {PA}  = ({x_A};{y_A} + 4)\)

Vì \(\overrightarrow {PA}  = \overrightarrow {MN} \) suy ra

\(\left\{ \matrix{
{x_A} = 1 \hfill \cr 
{y_A} + 4 = 2 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_A} = 1 \hfill \cr 
{y_A} = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự, ta tính được 

\(\left\{ \matrix{
{x_B} = - 1 \hfill \cr 
{y_B} = - 6 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_C} = 3 \hfill \cr 
{y_C} = 8 \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác là \(A(11; - 2),B( - 1; - 6),C(3;8)\)

Bài 1.43 trang 44 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD. Biết \(A(2; - 3),B(4;5),C(0; - 1)\). Tính tọa độ của đỉnh D.

Hướng dẫn giải

(h.1.57) 

\(\overrightarrow {BA}  = ( - 2; - 8)\)

\(\overrightarrow {CD}  = ({x_D};{y_D} + 1)\). Vì \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \) nên

\(\left\{ \matrix{
{x_D} = - 2 \hfill \cr 
{y_D} + 1 = - 8 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = - 2 \hfill \cr 
{y_D} = - 9 \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa độ đỉnh D(-2; -9)
Nhận xét: Ta có thể tính tọa độ đỉnh D dựa vào biểu thức \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \)

Bài 1.44 trang 44 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có A( - 5;6), B( - 4; - 1), C(4;3). Tìm tọa độ trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

(h.1.58)

Gọi I là trung điểm của AC

\(\eqalign{
& {x_I} = {{ - 5 + 4} \over 2} = - {1 \over 2}, \cr 
& {y_I} = {{6 + 3} \over 2} = {9 \over 2} \cr} \)

Tứ giác ABCD là hình bình hành I là trung điểm của BD.

Vậy 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{{{x_D} - 4} \over 2} = - {1 \over 2} \hfill \cr 
{{{y_D} - 1} \over 2} = {9 \over 2} \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} - 4 = - 1 \hfill \cr 
{y_D} - 1 = 9 \hfill \cr} \right. \cr 
& = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 3 \hfill \cr 
{y_D} = 10 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy tọa độ đỉnh D là (3;10).

Bài 1.45 trang 44 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có A( - 3;6), B(9; - 10), C( - 5;4).

a) Tìm tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác BGCD là hình bình hành

Hướng dẫn giải

(h.1.59)

a) \(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{ - 3 + 9 - 5} \over 3} = {1 \over 3} \hfill \cr 
{y_G} = {{6 - 10 + 4} \over 3} = 0 \hfill \cr} \right.\)

b)Tứ giác BGCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là \(D({{11} \over 3}; - 6)\)

Có thể bạn quan tâm


Có thể bạn quan tâm