§3. Tích của vectơ với một số
Bài 1.30 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho \(CI = {1 \over 4}CA\), J là điểm mà
\(\overrightarrow {BJ} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \)
a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI} = {3 \over 4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.
Hướng dẫn giải
(Xem h.1.50)
a) \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = - \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} \)
b) \({2 \over 3}\overrightarrow {BI} = {2 \over 3}\left( { - \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} } \right) = - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {BJ} = {2 \over 3}\overrightarrow {BI}\)
B, J, I thẳng hàng.
c) Học sinh tự dựng điểm J.
Bài 1.20 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow { - b} \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\)
d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\)
e) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
g) \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
h) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
Hướng dẫn giải
a) \(\vec a = \vec b \Rightarrow m = 1\)
b) \(\vec a = - \vec b \Rightarrow m = - 1\)
c) \(\vec a,\vec b\) cùng hướng \( \Rightarrow m > 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{20} \over 5} = 4\)
Vậy m = 4.
d) \(\vec a,\vec b\) ngược hướng \( \Rightarrow m < 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}\)
Vậy \(m = - {1 \over 3}\)
e) \(\eqalign{
& \vec a = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 0 \cr
& \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {0 \over {\left| {\vec b} \right|}} = 0 \Rightarrow m = 0 \cr} \)
g) \(\vec b = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 0 \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{\left| {\vec a} \right|} \over 0}\)
=> không tồn tại m.
h) \(\vec a = \vec b = \vec 0 \Rightarrow \) mọi giá trị của m đều thỏa mãn.
Bài 1.21 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Chứng minh rằng:
a) Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \)
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) và \(m \ne 0\) thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
c) Nếu \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \ne 0\) thì m = n
Hướng dẫn giải
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) và \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. Ta có \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {m\overrightarrow b } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\) do đó \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right|\)
\(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng . Vậy \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \)
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right| = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) vì \(m \ne 0\)
\(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng => \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
Vậy \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
c) \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {n\overrightarrow a } \right| = > \left| m \right| = \left| n \right|\) vì \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)
\(m\overrightarrow a ,n\overrightarrow a \) cùng hướng => m và n cùng dấu.
Vậy m = n.
Bài 1.22 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Chứng minh rằng tổng của n véc tơ \(\overrightarrow a \) bằng \(n\overrightarrow a \) (n là số nguyên dương).
Hướng dẫn giải
\(\overrightarrow a + \overrightarrow a + ... + \overrightarrow a = (1 + 1 + ... + 1)\overrightarrow a = n\overrightarrow a \)
Bài 1.23 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của BC)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI} \)
Từ đó suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng, trong đó GA = 2GI, G nằm giữa A và I.
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 1.24 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải
Gọ G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'. Ta có:
\(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \)
\(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \)
\(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \)
Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} \)
Do đó, nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \) hay G = G'
Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm thì \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \)
Bài 1.25 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ:
a) \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
b) \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)
c) \( - \overrightarrow a + {1 \over 2}\overrightarrow b\)
Hướng dẫn giải
(Xem h.1. 45)
Hãy vẽ trường hợp \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)
Bài 1.26 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.
a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \)
b) Tính độ dài của vec tơ \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \) theo a
Hướng dẫn giải
(Xem h.1.46)
a) \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} = 2(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AF} ) = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AF} \)
b) \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}\)
\( = > \left| {{1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} } \right| = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} = {1 \over 2}a\sqrt 3 = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Bài 1.27 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
Hướng dẫn giải
(h.1.47)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có tứ giác AFME là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Có thể chứng minh cách khác như sau:
Vì M là trung điểm của BC nên \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
Hay \(\overrightarrow {AM} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\)
\( = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Bài 1.28 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN.
Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AK} \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
Hướng dẫn giải
(h.1.48)
\(\overrightarrow {AK} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} )\)
\( = {1 \over 2}({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {2 \over 3}\overrightarrow {AC} )\)
\( = {1 \over 4}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \)