Phương trình Lượng giác sơ cấp

Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC Tài liệu bài giảng (Khóa TOÁN 11) 04. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau π 2  a) cos  x −  = − 4 2  π  b) 2 sin  2 x −  + 3 = 0 6  π 2  d) cos  − x +  = 3 2  Lời giải: π  c) 2 cos  x +  − 3 = 0 3  π 3π  x− = + 2kπ  x = π + k 2π  π 2  4 4  a) cos  x −  = − ⇔ ⇔ ( k ∈ ℤ)  x = − π + k 2π 4 2   x − π = − 3π + 2kπ  2  4 4 π 5π π   2x − = + 2kπ x = + kπ   π π 3   6 6 2 ⇔ ⇔ b) 2 sin  2 x −  + 3 = 0 ⇔ cos  2 x −  = − (k ∈ ℤ) 6 6 2    2 x − π = − 5π + 2kπ  x = − π + kπ   3 6 6 π π π   x + = + 2kπ x = − + k 2π   π π 3   3 6 6 c) 2 cos  x +  − 3 = 0 ⇔ cos  x +  = ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) 3 3 2    x + π = − π + 2kπ  x = − π + k 2π   3 6 2 π π π   − x + = + 2kπ x = + k 2π   π 2  3 4 12 ⇔ ⇔ d) cos  − x +  = (k ∈ ℤ) 3 2   − x + π = − π + 2kπ  x = 7π + k 2π   3 4 12 Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau π π   a) 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + sin 4 x − 2 = 0 b) sin  x −  = sin  2 x +  6 4   π π π π     c) tan  3 x −  = tan  x +  d) cot  2 x −  = cot  x +  4 6 4 3     Lời giải: 2 a) 4 sin 4 x + cos 4 x + sin 4 x − 2 = 0 ⇔ 4  sin 2 x + cos 2 x − 2sin 2 x cos 2 x  + 2 sin 2 x cos 2 x − 2 = 0   2 2 ⇔ 1 − sin 2 x + sin 2 x cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x ( cos 2 x + sin 2 x ) = 0 ( ) ( ) π π π   cos 2 x = 0 x = +k 2 x = + kπ   π  4 2 2 ⇔ 2 cos 2 x cos  2 x +  = 0 ⇔   ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) π  cos  2 x −  = 0 3π π π π 4    x= +k 2 x − = + kπ   4  8 2 4 2  π kπ 3π π Vậy phương trình có họ nghiệm + , + k ( k ∈ ℤ ) 4 2 8 2 MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC π π 5π   2 x + = x − + 2kπ x = − + k 2π   π π   4 6 12 b) sin  x −  = sin  2 x +  ⇔  ⇔ 6 4    2 x + π = π − x + π + 2kπ  x = 11π + k 2π   36 3 4 6 5π 11π 2π Vậy phương trình có họ nghiệm − + k 2π , +k (k ∈ ℤ) 12 36 3 π π π π 5π π   c) tan  3 x −  = tan  x +  ⇔ 3 x − = x + + kπ ⇔ x = + k (k ∈ ℤ) 4 6 4 6 24 2   5π π Vậy phương trình có họ nghiệm + k (k ∈ ℤ) 24 2 π π π π 7π   d) cot  2 x −  = cot  x +  ⇔ 2 x − = x + + kπ ⇔ x = + kπ ( k ∈ ℤ ) 4 3 4 3 12   7π Vậy phương trình có họ nghiệm + kπ ( k ∈ ℤ ) 12 Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau π π   a) cos  2 x +  = 0 b) cos  4 x −  = 1 6 3   π π   c) cos  − x  = −1 d) sin  3 x +  = 0 3 5   Lời giải: π π π π π  a) cos  2 x +  = 0 ⇔ 2 x + = + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ℤ ) 6 6 2 6 2  π π π π  b) cos  4 x −  = 1 ⇔ 4 x − = 2kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ℤ ) 3 3 12 2  π 4π π  c) cos  − x  = −1 ⇔ − x = π + 2kπ ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) 5 5 5  π 4π π  d) cos  − x  = −1 ⇔ − x = π + 2kπ ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ℤ ) 5 5 5  Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau  x π π  a) sin  −  = 1 b) sin  + 2 x  = −1 2 4 6  1 2 c) sin ( 3 x + 1) = d) cos x − 150 = 2 2 Lời giải: x π π 3π x π a) sin  −  = 1 ⇔ − = + 2kπ ⇔ x = + k 4π ( k ∈ ℤ ) 2 4 2 2 2 4 π π π π  b) sin  + 2 x  = −1 ⇔ + 2 x = − + 2kπ ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ℤ ) 6 2 3 6  π π 1 2π   x = − +k 3 x + 1 = + 2kπ   1 6 18 3 3 c) sin ( 3 x + 1) = ⇔  ⇔ (k ∈ ℤ) 2 3 x + 1 = 5π + 2kπ  x = 5π − 1 + k 2π   6 18 3 3 0 0 0  x − 15 = 45 + k .360  x = 600 + k .3600 2 0 d) cos ( x − 15 ) = ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) 0 0 0 0 0 2  x − 15 = −45 + k .360  x = −30 + k .360 ( MOON.VN – Học để khẳng định mình ) www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 3  x π a) sin  −  = − 2 2 3 c) tan ( 2 x − 1) = 3 Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC 1 π  b) cos  − 2 x  = − 2 6  3 d) cot 3 x + 100 = 3 Lời giải: ( ) π x π − = − + k 2π  x = k 4π  3 x π 2 3 3 a) sin  −  = − ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ)  x = 10 π + k 4 π x π 4 π 2 3 2    − = + k 2π 3   2 3 3 2π π π  − 2x = + k 2π x = − + kπ   1 π  6 3 4 b) cos  − 2 x  = − ⇔  ⇔ (k ∈ ℤ) 2 6   π − 2 x = − 2π + k 2π  x = 5π + kπ  6  3 12 π π 1 π c) tan ( 2 x − 1) = 3 ⇔ 2 x − 1 = + kπ ⇔ x = + + k ( k ∈ ℤ ) 3 6 2 2 ( 0 ) 3  50  ⇔ 3x + 100 = 600 + k .1800 ⇔ x =   + k 600 ( k ∈ ℤ ) d) cot 3x + 10 = 3  3  Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau π π   a) sin ( 3x + 1) = sin ( x − 2 ) b) cos  x −  = cos  2 x +  3 6   π π   c) cos  2 x +  + cos  x −  = 0 d) sin x − 1200 + cos 2 x = 0 3 3   Lời giải: 3  x = − + kπ  3 x + 1 = x − 2 + k 2 π 2 ⇔ a) sin ( 3 x + 1) = sin ( x − 2 ) ⇔  (k ∈ ℤ) 3 x + 1 = π − x − 2 + k 2 π x = π − 3 + k π  4 4 2 π π π   2 x + = x − + k 2π x = − + k 2π   π π   6 3 2 b) cos  x −  = cos  2 x +  ⇔  ⇔ (k ∈ ℤ) π π π 3 6   2 x + = − x + + k 2π  x = + kπ   18 6 3 π π π π     c) cos  2 x +  + cos  x −  = 0 ⇔ cos  2 x +  = cos  − x +  3 3 3 3     π π 2π    2 x + 3 = x − 3 + k 2π  x = − 3 + k 2π ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) π π 2 π  2 x + = − x + + k 2π x = k   3 3 3 0 d) sin ( x − 120 ) + cos 2 x = 0 ⇔ sin ( x − 1200 ) = cos ( −2 x ) ⇔ sin ( x − 1200 ) = sin ( −2 x + 900 ) 0 ( )  x − 1200 = −2 x + 900 + k .3600  x = 700 + k .1800 ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ)  0 0 0 0 0  x − 120 = 2 x + 90 + k .360  x = −210 + k .360 Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau π π   a) cot  2 x −  = tan  x +  b) tan ( 2 x + 1) + cot x = 0 4 3   MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC π x c) sin 3 x + sin  −  = 0  4 2 π  d) sin 2  x −  = cos 2 x 4  Lời giải: π π   a) ĐKXĐ: sin  2 x −  ≠ 0, cos  x +  ≠ 0 4 3   π π π π π  π      cot  2 x −  = tan  x +  ⇔ cos  2 x −  cos  x +  = sin  2 x −  sin  x +  4 3 4 3 4  3      π π π  π π π     ⇔ cos  2 x −  cos  x +  − sin  2 x −  sin  x +  = 0 ⇔ cos  x + + 2 x −  = 0 4 3 4  3 3 4     π π π 5π π  ⇔ cos  3 x +  = 0 ⇔ 3 x + = + k π ⇔ x = + k ( k ∈ ℤ ) (thỏa mãn) 12  12 2 36 3  b) ĐKXĐ: cos ( 2 x + 1) ≠ 0,sin x ≠ 0 tan ( 2 x + 1) + cot x = 0  sin ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) + cos x = 0  sin x sin ( 2 x + 1) + cos x cos ( 2 x + 1) = 0 sin x π − 1 + kπ ( k ∈ ℤ ) (thỏa mãn) 2 3π 4π π x    x = − 14 + k 7 3x + π = 4 − 2 + k 2π π x π x ⇔ a) sin 3x + sin  −  = 0 ⇔ sin  −  = sin ( 3x + π ) ⇔  3π x π 4π  4 2 4 2 x = − + k 3 x + π = + + k 2π  4 2 10 5  ⇔ cos ( 2 x + 1 − x ) = 0 ⇔ cos ( x + 1) = 0 ⇔ x = ( sin x − cos x ) = cos 2 x ⇔ 1 − sin 2 x = 2 cos 2 x ⇔ 2 cos 2 x − 1 + sin 2 x = 0 π  b) sin 2  x −  = cos 2 x ⇔ 4 2  π π π π π  ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 0 ⇔ cos  2 x +  = 0 ⇔ 2 x + = + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ℤ ) 4 4 2 8 2  Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau π π   a) tan  3 x −  = cot  2 x +  b) tan x 2 + 2 x + 3 = tan 2 4 6   1 1 c) cos x = d) sin 2 x = 2 2 Lời giải: π π π π 7 π kπ     a) PT ⇔ tan  3 x −  = tan  − 2 x  ⇔ 3 x − = − 2 x + kπ ⇔ x = + ,k ∈ℤ 4 4 3 60 5  3  2 ( ) b) PT ⇔ x 2 + 2 x + 3 = 2 + kπ ⇔ ( x + 1) = kπ ⇔ x = ± kπ − 1, k ∈ ℤ + . 2 1 1 1 2π π ⇔ cos 2 x = ⇔ cos 2 x = − ⇔ 2 x = + k 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ ℤ 2 4 2 3 3 1 π kπ d) Phương trình tương đương sin 2 x = ⇔ cos2 x = 0 ⇔ x = + , k ∈ ℤ . 2 4 2 Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 3 cos x − 2 3 tan x − 1 a) =0 b) =0 2sin x − 1 2 cos x + 3 Lời giải: 2  cos x = >1  3 cos x − 2  3 =0⇔ ⇔ x ∈∅ . a) Phương trình tương đương với 2sin x − 1 sin x ≠ 1  2 c) PT ⇔ cos x = MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC 1   tan x = 3 3 tan x − 1 π  b) Phương trình tương đương với =0⇔ ⇔ x = + k π, k ∈ ℤ . 6 2 cos x + 3 cos x ∉ 0; − 3   2    Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 3 − cot x 4 cos 2 x + 2sin x − 5 a) =0 b) =0 2sin 2 x + 3 tans x + 3 Lời giải: cot x = 3  3 − cot x π =0⇔ a) Phương trình tương đương với  3  ⇔ x = + k π, k ∈ ℤ . 6 2sin 2 x + 3  sin 2 x ∉ 0; − 2    4 cos 2 x + 2sin x − 5 4 − 4sin 2 x + 2sin x − 5 =0⇔ =0 tan x + 3 tan x + 3 2 4sin 2 x − 2 sin x + 1 = 0 3sin x + ( sin x − 1) 2 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x∈∅  tan x ≠ − 3; cos x ≠ 0  tan x ≠ − 3;cos x ≠ 0 Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 2sin 2 x − 1 2 tan 2 x − 3 tan x − 3 a) =0 b) =0 tan x + 1 2 cos x − 1 Lời giải: π  1 x = + kπ   sin 2 x = 2sin 2 x − 1  6 =0⇔ a) Phương trình tương đương (k ∈ ℤ) . 2⇔ 7 π tan x + 1 x = + kπ  tan x ≠ −1  6  3  tan x − 3 2 tan x + 3 = 0 x = α + kπ  tan x = −  2  b) Phương trình tương đương  ⇔ ⇔ 1  x = ± 2π + k π 1  cos x ≠ 3  cos x = − 2  2 Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau 3 + 2 cos 2 x 2 cos 2 x + 1 a) =0 b) =0 1 − 2 sin 3 x 3 − tan x Lời giải: a) Phương trình đã cho tương đương  5π  3 x = ± + kπ cos 2 x = −   3 + 2 cos 2 x 5π  12 2 ⇔ =0⇔ ⇔ x = ± + k π, k ∈ ℤ  12 1 − 2 sin 3 x sin 3 x ≠ 1 sin 3 x ≠ 1   2 2 b) Phương trình tương đương với ( )( )  tan x ≠ 3 2 cos 2 x + 1 π  b) Phương trình tương đương =0⇔ 1 ⇔ x = − 3 + kπ . 3 − tan x cos 2 x = −  2 MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95