Phương pháp giải toán hình học lớp 11

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm TOÁN LỚP 11 – HÌNH HỌC Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng: 1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng 2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước 3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước. 4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. 5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một đường thẳng cho trước. 6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng. Dạng 1: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng Phương pháp: Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp. Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này. Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác phẳng khép kín ta được thiết diện. Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên cạnh SC (không trùng với S, C), N và P lần luợt là trung điểm của AB, AD. Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP). S Giải: Ta có: ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = NP M Kéo dài BC và NP cắt nhau tại I, khi đó ( MNP ) ∩ ( SBC ) = KM Kéo dài DC cắt NP tại J, ( MNP ) ∩ ( SCD ) = MQ Q J K ( MNP ) ∩ ( SAD ) = PQ A P Vậy thiết diện là ngũ giác KMQPN. N I B 1 C D Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng a song song với một đường thẳng b cho trước ( a và b chéo nhau)) . @Phương pháp: Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b . Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ). Bước 3: Khi đó: ( P ) ∩ ( Q ) = Mt P a P b Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt còn lại của hình chóp. Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song BD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt (P). Giải: Ta có: S BD P ( P ) , BD ⊂ ( SBD ) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Gọi I = SO ∩ AM Khi đó ( P ) ∩ ( SBD ) = Ix P BD Ix cắt SB tại K, cắt SD tại N. Do đó: ( P ) ∩ ( SBC ) = MK ( P ) ∩ ( SCD ) = MN ( P ) ∩ ( SAB ) = AK ( P ) ∩ ( SAD ) = AN Vậy thiết diện là tứ giác KMNA. M K N I A D O B C Dạng 3:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước: @Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm M ∈ (P) ∩ (Q) Bước 2: Chỉ ra mp (P) P a ( hoặc b ) ⊂ (Q). Suy ra giao tuyến (P) và (Q) là đường thẳng qua M và song song a ( hoặc b ). Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với (P) bằng các cách đã biết. Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm bất kì thuộc AB và (α ) là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB. 2 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α ) . S Giải: Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) (α ) song song với AD nên: P (α ) ∩ ( ABCD ) = Mx P AD Gọi N = Mx ∩ CD (α ) song song với SB nên: (α ) ∩ ( SAB ) = MP P SB A Tương tự ta có: (α ) ∩ ( SAD ) = Px P AD Gọi K = Px ∩ SD (α ) ∩ ( SCD ) = KN K D M N B Vậy thiết diện là hình thang MNKP. C Dạng 4:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng nào đó của hình chóp. Bước 2: Chỉ ra ( P ) P ( Q ) . Tìm a = ( P ) ∩ ( R ) (b = ( Q ) ∩ ( R ) ) . Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M song song với a ( hoặc b ). Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AB, CD < AB . ( α ) là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD). Tìm thiết diện của hình chóp với ( α ) . Giải: Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) , S P K M ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) Do ( α ) song song với (SAD) nên: ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN P AD ( α ) ∩ ( SAB ) = MK P SA ( α ) ∩ ( SCD ) = NP P SD ( α ) ∩ ( SBC ) = KP Vậy thiết diện là hình thang KMNP. A D M B 3 N C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Dạng 5:Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với d cho trước. Phương pháp chung: Bước 1: Tìm hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng vuông góc với d ( trong đó ít nhất một đường thẳng đi qua điểm M). Bước 2: Khi đó (P) P ( a ,b). Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết. Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận. Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d thì ta chọn (P) song song với a (hay chứa a ) và b song song với (P) (hay chứa b). Rồi thực hiện các bước còn lại. Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện khi ( α ) cắt hình chóp (S.ABCD). Giải: Ta có: S AD ⊥ AB   ⇒ AD ⊥ ( SAB ) AD ⊥ SA  ⇒ AD ⊥ SB Từ A kẽ đường thẳng vuông góc với SB tại H. Do đó ( α ) ≡ ( HAD ) Khi đó: H ( α ) ∩ ( SAB ) = AH ( α ) ∩ ( SAD ) = AD ( α ) ∩ ( ABCD ) = AD Do ( α ) ⊃ AD P BC Nên ( α ) ∩ ( SBC ) = Hx P BC I D A B C Gọi I = Hx ∩ SC Khi đó ( α ) ∩ ( SBC ) = HI Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID. Dạng 6: Thết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng . Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được đường thẳng b vuông góc với mp ( α ) một cách dễ nhất. Bước 2: Khi đó, mp ( a ,b) chính là mp ( α ) cần dựng Bước 3: Tìm giao tuyến của ( α ) với hình chóp bằng các cách đã biết. 4 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua Ị và vuông góc với mặt (SBC). Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). Giải: IJ ⊥ AB  S Ta có  ⇒ IJ ⊥ ( SAB ) ⇒ IJ ⊥ SB IJ ⊥ SA  Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K. Do đó ( P ) ≡ ( KIJ ) Ta có ( P ) ∩ ( SAB ) = KI ( P ) ∩ ( ABCD ) = IJ ( P ) ⊃ IJ P BC ⇒ ( P ) ∩ ( SBC ) = KN P BC ( P ) ∩ ( SCD ) = NI Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ. A K D N I J B C Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng ( α ) với hình lăng trụ được tiến hành tương tự như đối với hình chóp. Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu ( α ) cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt mặt đáy còn lại theo giao tuyến song song vơi giao tuyến vừa tìm được. Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hình lăng trụ. Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, các điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC1. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A1MN). Giải: ( A1MN ) ∩ ( BCB1C1 ) = MN A Kéo dài AC và A1N cắt nhau tại I. Khi đó: ( A1MN ) ∩ ( ABC ) = MP C M P ( A1MN ) ∩ ( ABB1 A1 ) = PA1 B Vậy thiết diện là tứ giác PMNA1. N A1 C1 B1 5 I Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.  Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp. Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với hình chóp. Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt phẳng (P) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp. Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các cạnh của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)  Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thể bắt gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì hình học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy của chúng ta. 1. Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai: Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai. Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các em bị bế tắt khi giải toán HHKG. Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông thì các em mặc nhiên vẽ hình chóp có đáy ABCD là S hình vuông và có đỉnh là S. Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán. - Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể hạn chế được. Điều này gây nhiều khó khăn khi giải những bài toán phức tạp. - Thứ hai: cạnh AD là nét khuất nhưng chưa được thể hiện trên hình vẽ. - Thứ ba: giao diện mặt bên ( SAD ) quá nhỏ, điều này gây nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà A ta cần kẻ thêm những đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. - Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thể hiện hoàn là một hình vuông như bên hình học phẳng. B 6 D C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Nếu đề bài yêu cầu thêm là mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy thì học sinh khó mà vẽ được hình đúng như ý mình. Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học sinh mất nhiều thời gian cho việc vẽ hình. Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt phẳng di qua trung điểm M của cạnh DD ' , trung điểm N của cạnh D ' C ' và đỉnh A . Học sinh giải bài toán như sau: C' Do hai mặt bên ( BB′A′A ) và ( CC ′D′D ) song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng N AMN ( ) cũng phải song song với nhau. Do đó A' D' ( AMN ) ∩ ( AA ' B ' B ) = AB ', AB′ P MN ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = B ' N C M Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB′ Phân tích sai lầm: Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng ( AMN ) và mặt phẳng ( BB′A′A) là đường thẳng đi B' B D A qua A và song song với MN. Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thẳng AB′ . Điều này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh AB′ P MN . Giải Ta có: ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM Trong mặt phẳng ( AA ' D ' D ) dựng AM cắt A ' D ' tại P. ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = PN Trong mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ' ) C' B' N ta nhận thấy P, M , B ' thẳng hàng. P thật vậy, Ta có: MD′ 1 PD′ 1 = ⇒ = AA 2 PA′ 2 D′N 1 = Ta lại có A′B′ 2 D' A' C M NB′ 1 = . từ đó suy ra PN đi qua B′ và PB′ 2 ( AMN ) ∩ ( CC ′D′D ) = MN ( AMN ) ∩ ( AA′B′B ) = AB′ B D Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB′ . 7 A Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng. @ Nguyên nhân: Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai. Do bước đầu tiếp xúc với hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ hình. Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn đến không đủ dữ kiện để giải quyết bài toán. Các khái niệm HS không nắm vững hoặc hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”, “hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều, các mặt bên là hình chữ nhật…) @ Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hinh chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp. Giúp học sinh nắm vững khái niệm về các hình trong không gian để có cách vẽ hình chính xác…. Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian: - Dùng nét ( ___ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thấy. - Dùng nét (---) để biểu diễn những đường khuất. - Hai đường thẳng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thẳng song song ( cắt nhau ). - Hình biểu diễn của hình thang là hình thang. - Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình bình hành. - Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì…. Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có lợi cho việc quan sát trực giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bài toán. Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác. Khi giải một số bài tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra. 2. Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết. Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìm thiết diện. Ví dụ 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, S SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( α ) . Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc, không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng ( α ) A B Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để giải các dạng bài tập tìm thiết diện. giải D 8 C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng AM ⊥ SB AD ⊥ SA Ta có: AD ⊥ AB do đó AD ⊥ ( SAB ) suy ra AD ⊥ SB (1) mặt khác AM ⊥ SB (2) từ (1) và (2) suy ra ( ADM ) ⊥ SB S M vậy ( ADM ) ≡ ( α )  AD ⊂ ( α )   BC ⊂ ( SBC ) ⇒ Mt = ( α ) ∩ ( SBC ) ta có:  AD P BC   M ∈ ( α ) ∩ ( SBC )  Mt P BC , Mt P AD Mt cắt SC tại N. ( α ) ∩ ( SAB ) = AM A B N ( α ) ∩ ( SDC ) = DN Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác DAMN. D @ Biện pháp khắc phục: C - Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất để giải bài toán tìm thiết diện: Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ…Từ đó suy ra các đoạn giao tuyến. Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết diện cần tìm. Phân loại các dạng bài tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết được cách giải với từng dạng bài toán đề cho (phần này được trình bài ở mục 1). - Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết diện được xuất phát phần lớn ở những khó khăn về tìm “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao tuyến”. Mà việc xác định “đoạn giao tuyến” hoặc là ta đã có hoặc nếu không có sẳn thì xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm các giao điểm là phổ biến (tuy nhiên còn có phương pháp khác sẽ nêu ra sau) - Như vậy quy cho cùng vấn đề tìm “giao điểm” là cốt lõi trong bài toán thiết diện. Vậy làm sao để tìm được “giao điểm” chẳng hạn là giao điểm của hình chóp cắt bởi mặt phẳng nào đó. Khó khăn bắt đầu từ đây mà nguyên nhân chủ yếu là các em học sinh không nắm vững phương pháp dẫn đến sai lầm. Có thể nêu ra hai phương pháp tìm giao điểm của một đường thẳng và một đường thẳng: Cách 1: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta đi tìm giao điểm của đường thẳng a và một đường thẳng b nằm trong mặt phăng (P). 9 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm b ⊂ ( P ) ⇒ a ∩ ( P) = I   a ∩ b = I Cách 2: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a, sau đó xác định giao tuyến b của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó giao điểm cần tìm là giao điềm của hai đường thẳng a và b. a ⊂ ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = b ⇒ a ∩ ( P ) = I a ∩ b = I  Chú ý: ở cách 2 khi tìm giao điểm I ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng thường là ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó. Nhưng đôi khi việc xác định như vậy lại gặp những khó khăn và từ đó dẫn đến những khó khăn cho bài toán tìm thiết diện. Ta có một cách khác tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Ta tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng đó lần lượt chứa hai đường thẳng song song nhau. Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó. Một ví dụ minh họa: Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM). S K M C B J I P A O D : Giải: 10