Ôn tập công thức lượng giác phần 2

Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC Tài liệu bài giảng (Khóa TOÁN 11) 01. ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (P2) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau: π   3π  a) A = sin ( x + π) + cos  − x  + cot ( 2π − x ) + tan  − x  2  2   3π   5π  b) B = sin  + x  .cos ( x − 3π ) .cot  + x   2   2  c) C = ( 2sin 25500.cos −1880 1 + tan 3680 2 cos 6380 + cos 980 ) Lời giải: π   3π  a) A = sin ( x + π) + cos  − x  + cot ( 2π − x ) + tan  − x  2  2  π   = − sin x + sin x − cot x + tan  π + − x  = − cot x + cot x = 0 2   π π  3π   5π      b) B = sin  + x  .cos ( x − 3π ) .cot  + x  = sin  π + + x  .cos ( x − π − 2 π ) .cot  2 π + + x  2 2  2   2      π  π  = − sin  + x  .cos( x − π).cot  + x  = − cos x.(− cos x).(− tan x) = − sin x cos x 2  2  ( ) ( ) ( ) ) 2sin 25500.cos −1880 2sin 7.3600 + 300 .cos −1800 − 80 1 1 c) C = + = + 7 tan 3680 2 cos 6380 + cos 980   tan 3600 + 80 2 cos  1800. + 80  + cos 900 + 80 2   = ( ) ( 1 −2 sin 300.(−cos80 ) 1 cos8 2 + = + = 0 tan 8 2 sin 8 − sin 8 tan 8 sin 8 tan 8 Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau  11π   21π   9π   29π   2π  a) sin   + sin   + sin  −  + sin  −  = −2cos    10   10   10   10   5  sin5150.cos −4750 + cot 2220.cot 4080 1 2 0 = cos 25 b) cot 4150.cot −5050 + tan1970.tan730 2 ( ( ) ) c) tan1050 + tan 2850 − tan ( −4350 ) − tan ( −750 ) = 0 Lời giải:  11π   21π   9π   29 π  a) A = sin   + sin   + sin  −  + sin  − =  10   10   10   10  9π    21π   9π   21π  = sin  2 π −  + sin  − 5π  =  + sin  −  + sin  10    10   10   10  MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng = − sin b) B = Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC 9π 21π 9π 21π 9π 2π  9π π  + sin − sin − sin = −2 sin = −2 cos  −  = −2 cos 10 10 10 10 10 5  10 2  ( ) cot 415 .cot ( −505 ) + tan197 .tan 73 sin 5150.cos −4750 + cot 2220.cot 4080 0 0 0 0 = sin(3600 + 1800 + 250 ).cos(−3600 − 900 − 250 ) + cot(1800 + 420 ).cot(3600 + 480 ) = = cot(360 + 55).cot(−360 − 90 − 55) + tan(180 + 17). tan(90 − 17) sin 250.(− sin 250 ) + cot 420.cot(900 − 420 ) − sin 2 250 + 1 cos 2 250 = = cot 550.tan 550 + tan17 0.cot17 0 2 2 0 0 0 0 c) C = tan105 + tan 285 − tan ( −435 ) − tan ( −75 ) = ( ) = tan(1800 − 750 ) + tan(3600 − 750 ) − tan(−3600 − 750 ) − tan −750 = = − tan 75 − tan 75 + tan 75 + tan 75 = 0 0 0 0 0 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau 9 3π π  a) A = tan  x −  , với cos x = − ; π < x < 41 2 4  8 5 b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: sin a = , tan b = 17 12 Tính: sin ( a − b ) , cos ( a + b ) , tan ( a − b ) Lời giải: 9 81 1600 40 a) cos x = − ⇔ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − =  sin x = ± 41 1681 1681 41 3π 40 sin x 40 Do π < x <  → sin x < 0  → sin x = −  → tan x = = 2 41 cos x 9 40 π −1 tan x − tan π 31  9 4 Từ đó ta được A = tan  x −  = = = . 4  1 + tan x tan π 1 + 40 49  4 9 b) Ta có: 8 15  sin a =  → cos a = ± 17 17 15 8 Do a là góc nhọn  cos a > 0  → cos a =  → tan a = . 17 15 5 5  tan b = ⇔ sin b = cos b 12 12 5  5  sin b = ± sin b = cos b  13 Từ đó ta có  ⇔ 12 sin 2 b + cos 2 b = 1 cos b = ± 12   13 5  sin b = 13 Do b là góc nhọn nên sin b > 0; cos b > 0  → cos b = 12  13 8 12 15 5 21 • sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b = . − . = 17 13 17 13 221 MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng • cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b = Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC 15 12 8 5 140 . − . = 17 13 17 13 221 8 5 − tan a − tan b 15 12 = 21 • tan(a − b) = = 1 + tan a tan b 1 + 8 . 5 220 15 12 Ví dụ 4: [ĐVH]. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến π  π  a) A = cos 2 x + cos 2  x +  + cos 2  − x  3  3  3 3 3cos x − cos 3 x 3sin x + sin 3 x b) B = + cos x sin x Lời giải: a) Cách 1 : 2 π π π  π π  π   A = cos 2 x + cos 2  x +  + cos 2  − x  = cos 2 x +  cos x cos − sin x sin  +  cos x cos + sin x sin  3 3 3  3 3  3   1 3 3 1 3 3 = cos 2 x + cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x + sin x cos x + sin 2 x = 4 2 4 4 2 4 3 3 3 = cos 2 x + sin 2 x = 2 2 2 Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc: 2π  2π    1 + cos  2 x + 1 + cos  2 x −   π 3  3   π  1 + cos 2 x   A = cos 2 x + cos 2  x +  + cos 2  − x  = + + = 3 2 2 2  3  3 1 1  2π  2π   3 1 1 2π   = + cos 2 x + cos  2 x +  + cos  2 x −   = + cos 2 x +  2 cos 2 x.cos  = 2 2 2  3  3  2 2 2 3   3 1 2π 3 1 1 3 3 = + cos 2 x + cos 2 x.cos = + cos 2 x − cos 2 x =  →A= . 2 2 3 2 2 2 2 2 Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x. 3cos3 x − cos 3 x 3sin 3 x + sin 3 x 3cos3 x − 4 cos 3 x + 3cos x 3sin 3 x − 4sin 3 x + 3sin x b) Ta có B = + = + cos x sin x cos x sin x 3 3 − cos x + 3cos x − sin x + 3sin x = + = − cos 2 x − sin 2 x + 6 = 5 cos x sin x Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x. 2 Ví dụ 5: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau sin ( a + b ) sin ( a − b ) a) tan 2 a − tan 2 b = cos 2 a.cos 2 b 1 3 b) sin 4 x + cos 4 x = cos 4 x + 4 4 6 + 2 cos 4 x c) = cot 2 x + tan 2 x 1 − cos 4 x Lời giải: sin a sin b sin a.cos b − sin 2 b.cos 2 a a) tan 2 a − tan 2 b = − = cos 2 a cos 2 b cos 2 a.cos 2 b (sin a cos b − sin b cos a )(sin a cos b + sin b cos a ) sin(a − b)sin(a + b) = = cos 2 a.cos 2 b cos 2 a.cos 2 b 2 1 1 3 1 b) sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2(sin x cos x) 2 = 1 − 2. sin 2 2 x = 1 − (1 − cos 4 x) = + cos 4 x 4 4 4 4 2 2 MOON.VN – Học để khẳng định mình 2 2 www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC sin 2 x cos 2 x sin 4 x + cos 4 x + = cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x  1 2   1 1  2 − 4 1 sin 2 x 4 1 − + cos 4 x  2 2 2    sin x + cos x − 2(sin x cos x) 2 4 4 =   = 6 + 2 cos 4 x = =  2 1 2 1 − cos 4 x sin 2 x 1 − cos 4 x sin 2 x 4 2 Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau: a) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B b) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C Lời giải: a) sin B cos C + cos B sin C = sin( B + C ) = sin( π − A) = sin A  → đpcm. sin A sin B sin C b) tan A + tan B + tan C = + + = cos A cos B cos C sin A cos B cos C + sin B cos A cos C + sin C cos A cos B = cos A cos B cos C cos C (sin A cos B + sin B cos A) + sin C cos A cos B = cos A cos B cos C cos C sin( A + B) + sin C cos A cos B cos C.sin C + sin C cos A cos B = = cos A cos B cos C cos A cos B cos C sin C (cos C − cos A cos B) sin C [ − cos( A + B ) − cos A cos B ] sin C sin B sin A = = = = tan A.tan B.tan C cos A cos B cos C cos A cos B cos C cos A cos B cos C Nhận xét: Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp. Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau tanA + tan B A + B + C = π ⇔ A + B = π − C  → tan ( A + B ) = tan ( π − C ) ⇔ = − tan C 1 − tan A.tan B ⇔ tan A + tan B = − tan C + tan A. tan B. tan C ⇔ tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C  → dpcm c) tan 2 x + cot 2 x = ( ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:  11π   11π  a) A = cos ( x + 5π) − 2sin  − x  − sin  + x  2   2  π   3π  b) B = cos  − x  + cos ( π − x ) + cos  − x  + cos ( 2 π − x ) 2   2  Lời giải: π π     a) Ta có A = − cos x + 2sin  − x  + sin  + x  = − cos x + 2 cos x + cos x = 0 2  2  π  b) Ta có B = sin x − cos x − cos  − x  + cos x = sin x − sin x = 0 2  Bài 2: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau: 7π   3π   3π    7π  a) A = cos  − x  − sin  − x  + cos  x −  cos  − x 2   2   2    2   5π   11π   7π  b) B = sin  − x  − cos  − x  − 3sin ( x − 5π ) + tan  − x  . tan(− x)  2   2   2  Lời giải: MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC π  π  π  a) Ta có A = − cos  − x  + sin  − x  + cos 2  − x  = − sin x + cos x + sin 2 x 2  2  2  π  π  π  b) Ta có B = sin  − x  + cos  − x  + 3sin x − tan  − x  tan x = cos x + sin x + 3sin x − cot x tan x 2  2  2  = 4 sin x + cos x − 1 Bài 3: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau: 3π   π   3π  A = cos ( π − x ) + sin  x −  − tan  + x  cot  − x  2   2   2  0 0 0 B = sin ( 270 − x ) − 2sin ( x − 450 ) + cos ( x + 900 ) + 2 sin ( 7200 − x ) + cos ( 5400 − x ) Lời giải: π  π  a) Ta có A = − cos x − sin  x −  + cot x.cot  − x  = − cos x + cos x + cot x.tan x = 1 2  2  0 0 b) Ta có B = sin ( 90 − x ) − 2sin ( x − 90 ) − cos x − 2sin x − cos x = cos x − 2sin x . Bài 4: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau: π   3π   7π  tan  x −  .cos  + x  − sin 3  − x 2   2   2  A= π   3π  cos  x −  . tan  + x  2   2   13π   11π   3π   B = 1 + tan 2  − x   1 + cot 2 ( x − 3π )  .cos  + x  sin (11π − x ) .cos  x −  sin ( x − 7 π ) 2   2   2    Lời giải: π  π  − cot x.cos  x −  + sin 3  − x  2  2  ( ĐK: sin x cos x ≠ 0 ) • Ta có: A = − sin x. − cot x cos x − sin x + cos3 x − cos x + cos3 x A = sin x = = −1 + cos 2 x = − sin 2 x cos x cos x  π  • B = 1 + tan 2  − x   1 + cot 2 x  .sin x.sin x.sin x. − sin x = (1 + cot 2 x )(1 + cot 2 x ) . − sin 4 x 2   −1 = .sin 4 x = −1 . 4 sin x 98 Bài 5: [ĐVH]. Cho 3sin 4 x + 2 cos 4 x = . Tính giá trị biểu thức A = 2 sin 4 x + 3cos 4 x. 81 Lời giải: 98 98 2  2  2 2 3a + 2b = 3a + 2 (1 − a ) = 2 2 Đặt a = sin x; b = cos x ( a, b ∈ [ −1;1]) ta có:  81 ⇔  81 a + b = 1 b = 1 − a 4 5 107  2 2  a = 9 , b = 9  A = 2a + 3b = 81 ⇔  a = 16  b = 29  A = 2a 2 + 3b 2 = 607  45 45 405 Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau 2 π  π  a) sin 2  + x  − sin 2  − x  = sin 2 x b) sin x(1 + cos 2 x) = sin 2 x.cos x 8  8  2 MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC x 1  d) tan  + 1 = tan x 2  cos x  Lời giải: π  π  π  π  1 − cos  + 2 x  1 − cos  − 2 x  cos  − 2 x  − cos  + 2 x  4 − 4 = 4  4  a) Ta có: VT = 2 2 2 c) tan x − −2sin 1 2 =− tan x tan 2 x π sin ( −2 x ) 2 sin 2 x = VP 2 2 b) VT = sin x.2 cos 2 x = 2 sin x cos x.cos x = sin 2 x.cos x = VP . sin x cos x sin 2 x − cos 2 x − cos 2 x −2 c) VT = − = = = = VP . ( với sin 4 x ≠ 0 ) 1 cos x sin x sin x cos x tan 2 x sin 2 x 2 x x x sin sin .2 cos 2 1 cos + x 2 2 2 = 2 sin x cos x 1 = tan x = VP . ( với cos x.cos x ≠ 0 ) d) VT = = x x 2 2 cos x 2 cos 2 cos x 2 cos .cos x 2 2 Bài 7: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau π x 1 + sin x − 2sin 2  −  cos3 x.sin x − sin 3 x.cos x 4 2  E= F= x sin 2 x.cos 2 x 4 cos 2 sin 4 x.cos 2 x sin 2 2 x − 4sin 2 x H= G= (1 + cos 4 x)(1 + cos 2 x) sin 2 2 x + (4sin 2 x − 4) Lời giải:  π  1 + sin x − 1 − cos  − x   x 2   sin x − sin x  • Ta có: Với cos ≠ 0 : E = = = 0. x x 2 4 cos 4 cos 2 2 2 2 cos x sin x ( cos x − sin x ) cos x sin x.cos 2 x 1 • Với sin 2 x.cos 2 x ≠ 0 ta có: F = = = . sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x cos 2 x 2 2 sin 2 x cos 2 x.cos 2 x sin 2 x 2sin x cos x • Với (1 + cos 4 x )(1 + cos 2 x ) ≠ 0 ta có: G = = = = tan x . 2 2 2 2 cos 2 x.2 cos x 2 cos x 2 cos 2 x 2 2 4sin 2 x cos 2 x − 4sin 2 x sin x ( cos x − 1) − sin 4 x • Ta có: H = = = = tan 4 x ( ĐK: cos x ≠ 0 ) 2 2 2 4 2 2 4sin x cos x − 4 cos x cos x ( sin x − 1) − cos x = 4 = Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau tan 2 2a − tan 2 a a) = tan a.tan 3a 1 − tan 2 2a. tan 2 a π  π  b) sin  + a  − sin  − a  = 2 sin a 4  4  Lời giải: 2 2 ( tan 2a − tan a )( tan 2a + tan a ) tan 2a − tan a a) VT = = = tan a. tan 3a = VP 2 2 1 − tan a.tan 2a (1 − tan a tan 2a )(1 + tan a tan 2a ) 1 π  π  1 b) VT = sin  + a  − sin  − a  = ( sin a + cos a ) − ( − sin a + cos b ) = 2 sin a = VP (đpcm) 2 2 4  4  Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau sin ( a − b ) sin ( a + b ) a) = − cos 2 a.sin 2 b 2 2 1 − tan a.cot b MOON.VN – Học để khẳng định mình b) cos ( a − b ) cos ( a + b ) 2 2 cos a.cos b = 1 − tan 2 a. tan 2 b www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng a) VT = sin ( a − b ) sin ( a + b ) 1 − tan 2 a.cot 2 b = Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC Lời giải: sin a cos b − sin b cos a )( sin a cos b + sin b cos a ) ( sin 2 a cos 2 b 1− cos 2 a sin 2 b = sin 2 a cos 2 b − sin 2 b cos 2 a = − cos 2 a.sin 2 b = VP (đpcm) cos 2 a sin 2 b − sin 2 a cos 2 b cos 2 a sin 2 b cos ( a − b ) cos ( a + b ) ( cos a cos b + sin a sin b )( cos a cos b − sin a sin b ) b) VT = = = cos 2 a.cos 2 b cos 2 a.cos 2 b cos 2 a.cos 2 b − sin 2 a.sin 2 b = 1 − tan 2 a.tan 2 b = VP (đpcm) 2 2 cos a.cos b Bài 10: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: tan 2 2 x − tan 2 x cos x π x a) = cot  −  b) tan x.tan 3x = 1 − sin x  4 2 1 − tan 2 x.tan 2 2 x Lời giải: 1  x x  x x  x x π x cos + sin   cos + sin  cos − sin  cos  −   π x 2 2  2 2  2 2  4 2 = 2  a) Ta có VT = cot  −  = = = 2 1  x x  4 2 π x x x   sin  −   cos − sin   cos − sin  2 2 4 2 2 2 2  x x cos 2 − sin 2 2 2 = cos x = VP (đpcm) x x 1 − sin x 1 − 2sin cos 2 2 ( tan 2 x − tan x )( tan 2 x + tan x ) = tan x.tan 3x = VP (đpcm) tan 2 2 x − tan 2 x b) Ta có VT = = 1 − tan 2 x.tan 2 2 x (1 − tan x tan 2 x )(1 + tan x tan 2 x ) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95