ôn tập công thức lượng giác phần 1

Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC Tài liệu bài giảng (Khóa TOÁN 11) 01. ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (P1) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2 2 sin x = 1 − cos x 2 2  sin x + cos x = 1   2 2 cos x = 1 − sin x 1 1 = 1 + tan 2 x  tan 2 x = −1 2 cos x cos 2 x 1 1  = 1 + cot 2 x  cot 2 x = −1 2 sin x sin 2 x 1  tan x.cot x = 1  cot x = tan x 4 4 2  sin x + cos x = 1 − 2 sin x cos 2 x; sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x   sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x); sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x) II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Góc I Góc II Góc III Góc IV + + – – sinx + – – + cosx + – + – tanx + – + – cotx Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau: 1 π 2 π a) sin x = ;0 < x < b) cos x = − ; 0  → cos x = . 2 3  sin x 1 2 = =  tan x = cos x 2 2 4 Từ đó ta được:  cot x = 1 = 2 2  tan x −2 4 1 1 b) cos x =  sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − =  sin x = ± 5 5 5 5 π 1 Do < x < π  sin x > 0  → sin x = . 2 5 Do 0 < x < MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC sin x −1 = cos x 2 1 = −2 tan x 1 1 c) Từ tan x = 2  cot x = = tan x 2   tan x = Từ đó ta được:  cot x =   1  2 sin x = ± sin x  cos x = =2 sin x = 2 cos x  tan x =   5 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 4 5 cos x = 1 2 2 2 sin x + cos x = 1  sin x = cos x = ±   5  2 5 1 5 −2  sin x =  sin x < 0 3π 5  Do π < x <   2 cos x < 0 cos x = −1  5 1 1 d) cot x = −  tan x = = −2 2 cot x  1  2 sin x = ± sin x  cos x =  = −2 sin x = −2 cos x  tan x =   5 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 4 5cos = 1 x 2 2 2  sin x + cos x = 1 sin x = cos x = ±   5  2 5 1 5 −2  sin x =  sin x < 0 3π 5  Do < x < 2π    2 cos x > 0 cos x = 1  5 Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: sin x + cos x − 1 cos x = sin x − cos x + 1 1 + sin x tan x + tan y d) tan x.tan y = cot x + cot y a) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x c) 1 − b) sin 2 x cos 2 x − = sin x cos x 1 + cot x 1 + tan x Lời giải: sin x sin x − sin x cos 2 x sin 2 x(1 − cos 2 x) 2 a) tan 2 x − sin 2 x = − x = = = tan 2 x sin 2 x  đpcm. sin cos 2 x cos 2 x cos 2 x b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được: x x x 2sin x  cos x − sin x  x x 2 sin cos − 2sin 2   cos − sin sin x + cos x − 1 2 2 2 2 2 2 = 2 2 , (1) = = x x x x x x x x sin x − cos x + 1 2sin cos + 2sin 2   2sin  cos + sin  cos − sin 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x cos 2 − sin 2 cos − sin cos x 2 2 = 2 2 , ( 2). Mặt khác = 2 x x 1 + sin x  x x cos + sin sin + cos   2 2 2 2  Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 2 MOON.VN – Học để khẳng định mình 2 2 www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x cos3 x sin 3 x + cos3 x − = 1− − = 1− − = 1− = cos x sin x 1 + cot x 1 + tan x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 1+ 1+ sin x cos x 2 2 (sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x) = 1− = 1 − (1 − sin x cos x) = sin x cos x  đpcm. sin x + cos x sin x sin y sin x cos y + sin y cos x + tan x + tan y cos x cos y sin x sin y cos x cos y d) = = = = tan x tan y  đpcm. cot x + cot y cos x + cos y sin x cos y + sin y cos x cos x cos y sin x sin y sin x sin y c) 1 − Ví dụ 3: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau cos 2 x + cos 2 x cot 2 x A= sin 2 x + sin 2 x tan 2 x cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 2(1 + sin x) B= . (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x 1 − sin x C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x Lời giải: cos 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) 2 2 cos x + cos x . cos 2 x + cos 2 x cot 2 x cos 4 x sin 2 x = sin 2 x = = = cot 4 x  Ta có A = 2 2 2 2 4 sin x sin x (cos x + sin x ) sin 2 x + sin 2 x tan 2 x sin x sin 2 x + sin 2 x. cos 2 x cos 2 x  Ta có cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 1 − sin 2 x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) 2 = = = (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x (1 − sin x + 1 + sin x) cos x 2 cos x 2 cos x (1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x . = = = cos x 2 cos x 1 − sin x cos x cos x  cos x  3  sin x  3  C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 +  sin x + 1 +  cos x − sin x cos x =  sin x   cos x   →B = = sin 3 x + cos3 x + cos x sin 2 x + cos 2 x sin x − sin x cos x = (sin x + cos x)(sin 2 x + cos 2 x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x  Ta có D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x = = cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 + sin 4 x + 2sin 2 x + 1 = ( cos (1 − cos x ) 2 2 ) 2 x +1 + 2 + 4 cos 2 x + ( sin 2 ) x +1 2 (1 − sin x ) 2 2 + 4sin 2 x = sin 2 x + cos 2 x + 2 = 3 Ví dụ 4: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: sin 2 x sin x + cos x a) − = sin x + cos x sin x − cos x tan 2 x − 1 2 1 b) 1 − cot 4 x = − 4 2 sin x sin x Lời giải: sin x sin x + cos x sin 2 x cos 2 x − = − = sin x + cos x = VP a) Ta có: VT = sin 2 x sin x − cos x sin x − cos x sin x − cos x −1 cos 2 x Suy ra ĐPCM. 2 MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC 2 2 2 2 cos 4 x ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) 2sin 2 x − 1 2 1 b) Ta có: VT = 1 − cot x = 1 − = = = − 4 4 4 4 2 sin x sin x sin x sin x sin x 2 2 2 2 2 sin x + cos x = 1; sin x − cos x = 2 sin x − 1 . Suy ra ĐPCM 4 Ví dụ 5: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: 1 + sin 2 x = 2 + cot 2 x a) 2 1 − cos x b) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) 2 Lời giải: 1 + sin x 1 + sin x 2sin x + cos x = = = 2 + cot 2 x 1 − cos 2 x sin 2 x sin 2 x 2 a) Ta có: 2 2 2 2 2 b) VP = (1 − sin x + cos x ) = cos x + sin  x + 1 − 2sin x − 2 sin x cos x + 2 cos x = 2 (1 − sin x )(1 + cos x ) = VT
 2 =1 Suy ra ĐPCM Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: sin 2 x(1 + cos x) sin x + tan x = a) cos 2 x(1 + sin x) cos x + cot x cos 2 x − sin 2 x = sin 2 x.cos 2 x b) 2 2 cot x − tan x Lời giải: sin 2 x + sin 2 x cos x sin 2 x (1 + cos x ) sin 2 x + sin 2 x cos x tan x + sin x sin x cos x Ta có: VT = = = = = VP 2 2 2 2 2 cos x (1 + sin x ) cos x + cos x sin x cos x + cos x sin x cot x + cos x sin x cos x Suy ra ĐPCM cos 2 x − sin 2 x ) sin 2 x cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x cos 2 x − sin 2 x = = = sin 2 cos 2 x = VP b) VT = 2 2 2 2 2 2 2 2 cot x − tan x cos x sin x ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) −
 =1 sin 2 x cos 2 x Suy ra ĐPCM. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau: 1 − 4sin 2 x cos 2 x a) = (sin x − cos x) 2 2 (sin x + cos x) a) VT = 1 − 4sin 2 x cos 2 x = sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x b) = tan 4 x 2 2 4 cos x − sin x + sin x Lời giải: 2 ( sin x + cos x ) − 2sin x cos x (1 + 2sin x cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) 2 ( sin x + cos x ) (1 − 2sin x cos x ) = 1 − 2 sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x − 2sin x cos x = 2 ( sin x + cos x ) 2 = ( sin x − cos x ) = VP . Suy ra ĐPCM 2 2 2 2 2 sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x sin x − cos x (1 − cos x ) sin 2 x − cos 2 x sin 2 x b) VT = = = cos 2 x − sin 2 x + sin 4 x cos 2 x − sin 2 x (1 − sin 2 x ) cos 2 x − sin 2 x cos 2 x MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng = sin 2 x (1 − cos 2 x ) cos 2 x (1 − sin 2 x ) = Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC sin 4 x = tan 4 x = VP . Suy ra ĐPCM cos 4 x Bài 2: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau 1 − cos x 1 a) A = − 2 sin x 1 + cos x 1 − sin 2 x.cos 2 x − cos 2 x cos 2 x Lời giải: 1 − cos x 1 1 − cos x 1 1 1 a) Ta có: A = − = − = − =0 2 2 sin x 1 + cos x 1 − cos x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 1 − sin 2 x cos 2 x sin 2 x + cos 2 x − sin 2 x cos 2 x 2 b) B = − cos x = = tan 2 x + 1 − ( sin 2 x + cos 2 x ) = tan 2 x 2 2 cos x cos x Bài 3: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau 1 − cos x 1 + cos x − a) A = b) B = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1 1 + cos x 1 − cos x Lời giải: 1 − cos x 1 + cos x 1 − cos x − (1 + cos x ) −2 cos x  −2 cot x, ( 0 < sin x < 1) a) A = − = = = 1 + cos x 1 − cos x sin x 1 − cos 2 x  2 cot x, ( −1 < sin x < 0 ) b) B = b) B = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1 = 1 − cos 2 x + 1 = sin x + 1 Bài 4: [ĐVH]. Tính giá trị của các hàm số lượng giác 1 π π a) sin x = ;0 < x < b) cot x = − 2; − < x < 0 2 2 3 π 2 3π c) tan x + cot x = 2; 0 < x < d) cos x = − ;π < x < 2 2 6 Lời giải: 1 2 1  cos x = 1 − sin 2 x = ; tan x = ; cot x = 2 a) Ta có: sin x = 3 3 2 1 1 1 1 2 =−  sin x = − =− ; cos x = 2 cot x 1 + cot x 3 2 3 1 1 1 1 c) Ta có: tan x + cot x = 2 ⇔ tan x + = 2 ⇔ tan x = 1 ⇔ cot x = 1; sin x = = ; cos x = 2 tan x 2 2 1 + cot x b) Ta có: cot x = − 2  tan x = 2 2 1  sin x = − 1 − cos 2 x = −  tan x = − , cot x = − 2 6 6 2 Bài 5: [ĐVH]. Tính giác trị của các hàm số lượng giác 2 3π 1 π a) tan x − cot x = − ;π < x < b) tan x = − ; 0  2 2sin 2 x + sin x.cos x + cos 2 x 2sin 2 x + sin x.cos x + cos 2 x 2 tan 2 x + tan x + 1 11 C c) C = =  = = sin 4 x − cos 4 x sin 2 x − cos 2 x tan 2 x − 1 4 Bài 13: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau  1  (1 + cot 2 x )  − 1 4 4 2 2 sin x − cos x + cos x x cos x   a) = cos 2 b) 2 2 2(1 − cos x) 2 1 + tan x Lời giải: sin 4 x − cos 4 x + cos 2 x sin 2 x − cos 2 x + cos 2 x 1 a) Ta có = = . 2(1 − cos 2 x) 2sin 2 x 2  1  (1 + cot 2 x )  − 1 2 2  cos x  = 1 . sin x .cos 2 x = 1 . b) Ta có 1 + tan 2 x sin 2 x cos 2 x ( ) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn MOON.VN – Học để khẳng định mình www.facebook.com/Lyhung95