A. Phương pháp giải
1. Định nghĩa
Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Tính chất
Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng Δ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.
* Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
* Tính chất 3:
a. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại
b. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
* Tính chất 4:
a. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
* Tính chất 5
a. Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
b. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
4. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)
Cho a không vuông góc (P), b ⊂ (P), a' là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a, b ⊥ a'
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a; b và mặt phẳng (P), trong đó a ⊥ (P). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Nếu b ⊥ (P) thì b // a
B. Nếu b // (P) thì b ⊥ a
C. Nếu b // a thì b ⊥ (P)
D. Nếu b ⊥ a thì b // (P)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ví dụ cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó; SA ⊥ AB nhưng AB không song song với (ABCD)
Ví dụ 2: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với Δ, các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với Δ.
Ví dụ 3: Mệnh đề nào sau đây có thể sai?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba đường thẳng đó đồng phẳng
Ví dụ 4: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α)
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α)
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) .
D. Nếu d ⊥ (α) và đường thẳng a // (α) thì d ⊥ a
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α) chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Ví dụ 5: Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là
A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB
C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A
D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB
Hướng dẫn giải
Chọn A
Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực
Ví dụ 6: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?
A. Vô số B. 2 C. 3 D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Tập hợp các đường thẳng đó là một mặt phẳng qua O và vuông góc với Δ
Ví dụ 7: Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Δ cho trước?
A. 1 B. Vô số C. 3 D. 2
Hướng dẫn giải
Theo tiên đề qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Δ
Chọn đáp án A.
Ví dụ 8: Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mp(P) , đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mp (P) nếu:
A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp (P)
B. vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mp (P)
C. vuông góc với đường thẳng a nằm trong mp (P)
D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp (P)
Hướng dẫn giải
Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng (P). (định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Vậy đáp án D đúng.
Ví dụ 9: Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c
B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b
C. Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a
D. Nếu a ⊥ b , b ⊥ c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a; c)
Hướng dẫn giải
Nếu
thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai.
Chọn A.
Ví dụ 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Hướng dẫn giải
Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Vậy chọn đáp án D.
Được cập nhật: 14 tháng 4 lúc 10:56:37 | Lượt xem: 637
