A. Phương pháp giải
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa (P) và (Q) ta thực hiện các bước:
+ Bước 1: Chọn một điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) có thể được xác định dễ nhất.
+ Bước 2: Kết luận: d((P); (Q)) = d(A; (Q)).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng(MNP) và (ACC’).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.
⇒ MN // AC (1)
+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP // AA’ // DD'
Lại có: CC’ // AA’ nên MP // CC’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ( MNP) // (ACC’)
+ Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’. Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên D'O ⊥ (AA'C'C) và d(D’; (ACC’)) = D’O.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
Hướng dẫn giải
Chọn A
+ Vì tam giác ABC đều và AA’ = BA’ = CA’ (giả thiết) nên A’.ABC là hình chóp đều.
Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm tam giác ABC
Lăng trụ ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên ∠A'AH = 60°.
+ Xét tam giác AHA’ có: A'H = AH.tan60° = ((a√3)/3).√3 = a
+ lại có; (ABC) // (A’B’C’) ( định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d( A’, (ABC)) = A’H = a
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của A’lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A’H ⊥ (ABC). Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên ∠A'AH = 60°
+ Xét tam giác A’HA vuông tại H ta có: A’H = AA’.sin60° = (a√3)/2.
+ Do (ABC) // ( A’B’C’) (định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC); (A’B’C’)) = d(A’; (ABC)) = A’H = (a√3)/2
Chọn đáp án A
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.AB’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
Hướng dẫn giải
+ Do hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB’ = AC’.
⇒ tam giác AB’C’ là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến (do AH ⊥ (A'B'C')
⇒ HB’ = HC’ và A’H = AC.sin60° = (a√3)/2
+ Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH ⊥ (A’B’C’) nên ∠AA'H = 30°
Xét tam giác AA’H vuông tại H có:
AH = A’H.tan(AA'H) = (a√3)/2.tan30° = a/2
Chọn đáp án C
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D; cạnh a. Khoảng cách giữa (AB’C) và (A’DC’) bằng :
Hướng dẫn giải
+ Xét hai mp(AB’C) và (A’DC’) có:
+ Gọi O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hình chiếu của D’ trên O’D suy ra I là hình chiếu của D’ trên (A’DC’)
ta có: B’D’ = a√2 và O’D’ = (1/2)B'D' = (a√2)/2
+ xét tam giác O’D’D vuông tại D’ có:
Vậy d((AB’C) ; (A’DC’)) = (a√3)/3
Chọn đáp án D
Được cập nhật: hôm kia lúc 23:00:11 | Lượt xem: 2225
