Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Toán 11, trường THPT Quốc Oai- Hà Nội

Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG PHẦN 1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: 1.1 Định nghĩa: d   P   d  a; a   P  d d   P  * Nhận xét:  d a a   P  a (P) 1.2. Điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng d vuông góc với  P  nếu d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong  P   d d  a   d   P d  b  a, b  P ; a  b  M    a b (P) 1.3. Các tính chất: 1. Định nghĩa: Mặt phẳng đi qua trung điểm O của đoạn AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . M * Nhận xét:  P  là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB : M   P   MA  MB A B I (P) a / / b 2.   b   P a   P  a  a  b 3.   a / /b  a   P  ; b   P  (P)  P  / /  Q  4.   a  Q  a   P  b Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3  P    Q  5.   Q  / /  P   P   a;  Q   a a (P) (Q) a / /  P  6.  ba b   P  a   P  7.   a / /  P a  b; b   P  a b (P) 1.4. Phép chiếu vuông góc, định lý ba đường vuông góc  Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( ) theo phương l vuông góc với mặt phẳng ( ) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( ) . A l * H là hình chiếu vuông góc (gọi tắt là hình chiếu) của A lên mp  P  nếu H   P  và AH   P  H (P)  Định lý ba đường vuông góc:   P  , b   P  và a ' là Cho đường thẳng a  a hình chiếu của a trên  P  . Khi đó b  a'  b  a a' b (P) 1.5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.  d   P   (d ;  P )  900  d   P    d ;  P     d ' d '   AIH  với d ' A d là hình chiếu của d lên  P     Chú ý: 00  d ;  P   900 d' (P) H I Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 PHẦN 2. CÁC DẠNG TOÁN: DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT: 1.1. Phương pháp + Sử dụng lý thuyết PHẦN 1 + Vẽ hình để tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng trong đề. 1.2. Các ví dụ điển hình. Ví dụ 1. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng. A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. C. Có vô số một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. D. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ví dụ 2. Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào sai? A. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. B. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng  P  thì a vuông góc với b . C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng  P  . D. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng  P  thì a song song hoặc thuộc mặt phẳng  P  . Ví dụ 3. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Mặt phẳng  P  và đường thẳng a không thuộc mặt phẳng  P  cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Ví dụ 4. Chọn khẳng định đúng. Mặt phẳng (P) là trung trực của đoạn AB khi và chỉ khi: A. Song song với AB . B. Vuông góc với AB . C. Đi qua trung điểm của AB . D. Cả B và C đều đúng. Ví dụ 5. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d  ( ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( ) . B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì d  ( ) . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) thì d vuông góc với một đường thẳng bất kì nằm trong ( ) . D. Nếu d  ( ) và đường thẳng a //( ) thì d  a . Ví dụ 6. Cho mệnh đề sau: (1) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ này cùng phương với nhau. (2) Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 (3) Một đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng () thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (). (4) Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng () thì d vuông góc với mặt phẳng (). Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Ví dụ 7. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu a  P  và b   P  thì b  a . C. Nếu a  P và a b thì b  P . B. Nếu a D. Nếu a  P  và b  a thì b   P  .  P  và b   P  thì b a . Ví dụ 8. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P  , trong đó a   P  .Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Nếu b a thì b   P  . C. Nếu b   P  thì a b .  P  thì b  a . a  b thì b  P  . B. Nếu b D. Nếu Ví dụ 9. Trong không gian cho 3 điểm M , A, B phân biệt thỏa mãn MA  MB . Chọn khẳng định đúng: A. M không nằm trên đường trung trực nào của đoạn thẳng AB . B. M là trung điểm của AB . C. Khi đó A, B trùng nhau. D. M nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB. DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. . . h ng ph p gi i Cách 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   , ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong   . Cách 2: Sử dụng tính chất 1a) a / /b 2.2. Các v    a    . b     ụ i n h nh Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AC   SAB  . B. BC   SAB  . C. AB   SBC  . i gi i Ch n B D. AC   SBC  Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Vì tam giác ABC vuông tại B suy ra BC  BA (1) Do SA   ABC   SA  BC . (2) S Từ (1) và (2) suy ra BC  ( SAB) C A B Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ABCD . Mệnh đề nào sau đây sai? A. BC   SAB  . B. CD   SAD  . C. AC   SBD  . D. BD   SAC  . i gi i Ch n C +) Do ABCD là hình vuông nên AC  BD (1) , S +) Theo giả thiết SA  ( ABCD) nên SA  AC (2) . Từ (1) và (2) suy ra AC  ( SBD) B A O C D Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SO   ABCD  . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB , BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. IJ   SAB  . B. CD   SAD  . C. IJ   SBD  . D. BD   SAC  . i gi i Ch n C ) IJ / / AC S  AC  BD +) Mà   AC   SBD   AC  SO  IJ   SBD  . A D I O B Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB Mệnh đề nào sau đây sai? A. BC  SB . B. CD  SD . C. BD  SC . i gi i J a, AD C a 2 và SA D. SA  AB . ABCD . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Ch n C + Theo giả thiết SA  ( ABCD) nên SA  AB . Suy ra D úng S + SA  ( ABCD)  SA  BC , mà ABCD là hình chữ nhật nên BC  AB . Suy ra BC  ( SAB)  BC  SB . Suy ra A úng + Tương tự suy ra CD  SD . Suy ra B úng B A O C D Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD . Hỏi đường thẳng SC vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A.  AHK  . B.  AHD  . C.  AKB  . D.  SBD  . i gi i Ch n A ) AK   SCD   AK  SC (1) S ) AH   SBC   AH  SC (2) K Từ (1) và (2) SC   AHK  . H D A O B C Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi trong các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt là tam giác vuông? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . i gi i Ch n D +) SB  ( ABC ) . Suy ra SB  AB, SB  BC . Suy ra S Các tam giác SBC , SAB vuông tại B +) SB  ( ABC )  SB  AC , mà tam giác ABC vuông tại A  AB  AC . Vậy AC  ( SAB) . Suy ra AC  SA . Suy ra tam giác SAC vuông tại A. C B A Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD  . Gọi I .J , K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  IJK  / /  SAC  . B. BD   IJK  .   C. SD, BC  60 . i gi i D. BD   SAC  . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Ch n C + (SD, BC )  ( SD, AD)  SDA . Mà góc này chưa S chắc bằng 600 . K A I B J D C Ví dụ 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy. H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC , SD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AK  ( SCD) . B. BD   SAC  . C. AH   SCD  . D. BC   SAC  . Lời giải Ch n A CD  AD    CD   SAD   CD  AK CD  SA  Mặt khác AK  SD (theo giả thiết) Suy ra AK  ( SCD) . S Ta có: H K B A I D C Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD  CD  a , AB  2a , SA   ABCD  . Gọi E là trung điểm của AB . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. CE   SAB  . B. CB   SAB  . D. CE   SDC  . C. SDC vuông tại C . i gi i Ch n A  CE / / AD )   CE   SAB  .   AD   SAB  S B A E D C Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 DẠNG 3: ÁP DỤNG ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐỂ CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. 3. . h ng ph p gi i: Cách 1: Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b , ta tìm mặt phẳng    chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a     dễ thực hiện. Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc. 3.2. Các ví dụ i n hình: Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và ABC vuông ở B . Gọi AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai? A. AH  SB . i gi i. B. AH  BC . C. AH  AC . D. AH  SC . Ch n C + Ta chứng minh được BC  ( SAB) . Suy ra BC  AH , mà S AH  SC . Suy ra AH   SBC  . từ đó suy ra các đáp án A,B,D úng H C A B Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC . Hãy Chọn khẳng định úng A. BC  AC . B. BC  AH . C. BC  SC . L i gi i D. BC  AB . Ch n B Do SH  BC; SA  BC nên BC   SAH  . Tức là BC  AH . S C A H B Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thoi tâm O và SA  SC , SB  SD . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. AC  SA . B. SD  AC . C. SA  BD . D. AC  BD . L i gi i Ch n A Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 + Dễ thấy do SA  SC nên ΔSAC cân S và SO  AC. + Tương tự SO  BD. Do đó AC  SO nên AC không vuông góc với SA. . S C B D A Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại O và SA  SB  SC  SD . Chọn khẳng định nào sau đây là sai? A. AC vuông góc với BD . B. SO vuông góc với AC . D. SO vuông góc với  ABCD  . C. SO vuông góc với BD . L i gi i Ch n A + Vì hai đường chéo của hình bình hành không vuông góc với nhau S B A O D C Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA   ABC  và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A. CH  SA . B. CH  SB . C. CH  AK . D. AK  SB . L i gi i Ch n D Do ABC cân tại C nên CH  AB . Suy ra CH   SAB  . Vậy các câu A, B, C úng nên D sai. Ví dụ 6. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng  ABC  . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H là trực tâm của tam giác ABC . B. H là trung điểm của BC . D. H là trung điểm của AC . L i gi i Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Ch n C OA  OB  Ta có :   OA   OBC   OA  BC . OA  OC  A Mà OH   OBC   OH  BC . H Vậy ta có: BC  OA    BC   OAH   BC  AH . BC  OH  Chứng minh tương tự ta có AB  CH . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC . C O B Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC , SD . Khẳng định nào sau đây sai? A. AK  CD . C. AH  BD . Lời giải B. BC  SB . D. AH  BC . Ch n D +) Ta chứng minh được BC  ( SAB) suy ra BC  SB +) Ta chứng minh được BD  ( SAC ) suy ra BD  AH +) Ta chứng minh được AK  ( SCD) suy ra AK  CD Ví dụ 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD . Khẳng định nào sau đây sai? A. SC  EF . B. SC  AE . C. SC  AF . L i gi i D. SC  BC . Ch n D Ta có SA   ABCD   SA  BC . Lại có BC  AB S nên BC   SAB   BC  AE . AE  SB, AE  BC  AE   SBC   AE  SC, . Chứng minh tương tự ta có SC  AF ,  2  1 E F Vậy từ 1 và  2  ta có SC   AEF  . B A D C Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 DẠNG 4. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 4. . h ng ph p gi i Muốn tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng   qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng d : d a   Ta tìm hai đường thẳng a, b cùng vuông góc với d . Áp dụng tính chất d      a / /   ta suy ra được  a     mặt phẳng   là mặt phẳng qua M và song song với a và b (hoặc chứa một trong hai đường thẳng a, b và song song với đường thẳng còn lại). 4.2. Các v ụ i n h nh Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA   ABC  . Mặt phẳng ( P ) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC , SC , SB lần lượt tại N , P, Q . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang vuông. C. Hình bình hành. B. Hình thang cân. D. Hình chữ nhật. i gi i Ch n A  AB  BC Ta có:   BC  SB  SA  BC   BC  SB Vậy    P  / / BC (1)   P   SB Mà  P    ABC   MN (2) Từ (1) và (2)  MN / / BC Tương tự ta chứng minh được PQ / / BC , MN/ / BC, BC  (SAB) S P Q A N C M Mà SA  BC  PN  NM Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại M , Q . B Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA   ABCD  . Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng qua A vuông góc với SC ta được thiết diện là: A. Một hình chữ nhật. C. Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. i gi i Ch n C B. Một hình vuông. D. Một hình thoi. Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Gọi K là hình chiếu của A trên SC . Trong  SAC  S gọi I  SO  AK  BD  SA Ta có   BD   SAC   BD  AC  BD  SC mặt khác    SC nên BD / /    I      SBD   Ta có  BD   SBD    BD / /   K L I H B A      SBD   HL / / BD, H  SD, L  SB O Thiết diện là tứ giác AHKL .  HL / / BD Ta có   HL  AK .  BD  AK C D   Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA  SB  SC  b a  b 2 . Gọi G là trọng tâm ABC . Xét mặt phẳng ( P ) đi qua B vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa S và C . Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( P ) là? A. S  a 2 3b 2  a 2 . 2b B. S  a 2 3b 2  a 2 . 4b C. S  a 2 3b 2  a 2 . 2b D. S  a 2 3b 2  a 2 . 4b i gi i Ch n B S +) Kẻ AI  SC   AIB   SC . Thiết diện là tam giác AIB . Ta có  a 2  b2  b2  a AI  AC sin ACS  a 1  cos 2 ACS  a 1   4b 2  a 2  2 ab 2 b   I + Gọi J là trung điểm của AB . AIB cân tại I suy ra IJ  AB a 1 a 2 3b2  a 2 2 2 IJ  AI  AJ  3b  a  S  AB.I J  . 2b 2 4b 2 C A 2 J G B Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD  8, BC  6 , SA   ABCD  , SA  6 . Gọi M là trung điểm của AB . ( P ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết diện của ( P ) và hình chóp có diện tích bằng? A. 10 . Ch n C B. 20 . C. 15 . i gi i D. 16 . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3  P   AB   P  / / SA S Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm SB, CD, SC Thiết diện là hình thang MNKI vuông tại M IK  MN 3 7 S MNKI  .MI  .3  15 . 2 2 K I D A M B N C Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC , SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên đoạn thẳng OH (không trùng với O và H ), mặt phẳng ( P ) qua I và vuông góc với OH . Thiết diện của ( P ) và hình chóp là hình gì? A. Hình thang vuông. C. Hình bình hành. B. Hình thang cân. D. Tam giác vuông. i gi i Ch n B S  P   OH   P  / / SO   P    SAH   IK  P  / / BC   P    ABC   MN  P  / / BC   P    ABC   PQ  Thiết diện là tứ giác MNPQ  MN / / BC Ta có   I , K lần lượt là trung điểm của PQ/ / BC P K A N Q C O I H MN , PQ M Mà ABC đều và SBC cân tại S  IK  MN , IK  PQ  MNPQ là hình thang cân. B Ví dụ 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a  12 , AP là đường cao của tam giác ACD . Mặt phẳng  P  đi qua B và vuông góc với AP cắt  ACD  theo giao tuyến có độ dài bằng? A. 9 . Ch n C B. 6 . C. 8 . i gi i D. 7 . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Ta có CD  AP, CD  BP  CD   APB   BG  CD B AD  M , AD  BM  AD   BCM   AD  BG  BG   ABC   BG  AP Kẻ KL đi qua trọng tâm G của ACD và song song với CD  AP  KL   P  là mặt phẳng  BKL  M A L D G 2   ACD    BKL   KL  CD  8 . 3 P K C Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD ,có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA   ABCD  . Gọi M là trung điểm của BO ,  P  là mặt phẳng qua M và  P   BC . Thết diện là hình gì? A. Hình thang cân. C. Hình bình hành. B. Hình thang vuông. D. Tam giác vuông. i gi i Ch n B Trong  ABCD  , qua M kẻ IJ / / AB / /CD, I  BC và J  AD S  IJ  BC (1) E Trong  SCD  kẻ JE / / SA với E  SD . Vì SA   ABCD  nên F JE   ABCD   JE  BC (2) (1) và (2)  BC   EIJ  D A Xét  EIJ  và  SCD  ta suy ra được  EIJ    SCD   ,  qua E ,  / / CD / / I J ,  cắt SC tại F Suy ra thiết diện là hình thang IJEF . J O M B C I Ví dụ 8. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tai B , AB  a, SA  a 3 và SA   ABC  . Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM  x  0  x  a  mặt phẳng   đi qua M và vuông góc với AB . Giả sử thiết diện của hình chóp S . ABC với   là tứ giác MNPQ . Tìm x để thiết diện MNPQ lớn nhất? A. x  a . 2 B. x  a . 2 C. x  i gi i Ch n A 3a . 2 D. x  a . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Ta tìm được MNPQ là hình chữ nhật S a  x a 3  3 a  x MN MB   MN    SA AB a 2  a2  a   a2 3  MN .MQ  3  a  x  x  3    x     2   4  4  MQ  AM  x, S MNPQ max S MNPQ  P N A a2 3 a khi x  . 2 4 C Q M B DẠNG 5. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 5.1 Phương pháp: xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P  Bước 1: Tìm d   P   I Bước 2: Trên d lấy điểm A khác I. Tìm hình chiếu H của A lên  P  . (Thông thường ta chọn điểm A trên d và A thuộc đường thẳng    P  , khi đó hình chiếu của A là giao điểm của  và  P  ).   Bước 3: suy ra d ;  P   ( AI ; HI )  AIH A d d' I H (P) Bước 4: Tính AIH (nếu đề bài yêu cầu tính góc) Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác trong mục 2.2 * Lưu ý:    + d // a  a, ( )  d , ( )     +    //    a, ( )  a, (  )  + Ta có thể tính góc giữa đường thẳng d và mp  P  bằng công thức: sin d ;  P   u.n u.n . Trong đó u là VTCP của d , n là véc tơ có giá vuông góc với  P  . 5.2. Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là tam giác vuông cân tại B . Cho độ dài các cạnh SA  AB  a . a) Góc giữa đường thẳng SB và  ABC  là: A. SBA B. SA; SC C. SAB D. SBC Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 L i gi i Chọn A SA  ( ABC ) nên A là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) S  AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)  (SB;( ABC )  (SB; AB)  SBA H C A B b) Góc giữa SC và  SAB  : A. 45 C. 3516 ' B. 60 D. 75 L i gi i Chọn C BC  AB (Vì tam giác ABC vuông tại B), do SA  ( ABC )  SA  BC  ( ABC ) S  BC  ( SAB)  B là hình chiếu vuông góc của C lên (SAB)  SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) H C A  (SC;(SAB))  (SC; SB)  BSC . B * Tính BSC : Xét tam giác SBC vuông tại B; có: BC  a ; SB  SA2  AB 2  a 2 tan BSC  BC a 2    BSC  35016' SB a 2 2 c) Tính góc giữa SA và (SBC) A. 600 B. 300 C. 450 D. 55035' L i gi i Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, ta có AH  SB ; BC  ( SAB)  BC  AH  ( SAB)  AH  ( SBC )  H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)  SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SBC)  (SA;(SBC ))  ( SA; SH )  ASH * Tình ASH : Vì tam giác ASH vuông cân tại A nên ASH  450 Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Ví dụ 2. Cho chình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với đáy; SA  a . Góc giữa SA và ((SBD) gần nhất với số đo nào sau đây? A. 450 B. 600 C. 35015' D. 75005' L i gi i Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO. S BD  AC ; BD  SA Ta có AH  SO ;  BD  ( SAC )  BD  AH  ( SAC )  AH  ( SBD)  H là hình chiếu của A lên (SBD) H  SH là hình chiếu của SA lên (SBD) A  (SA;(SBD))  ( SA; SH )  ASH D O B C Tính ASH : Xét tam giác ASO vuông tại A; có SA=a, AC a 2 AO   2 2 AO tan ASH   SA a 2 2  2  ASH  35015' a 2 Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD , có AB vuông góc với mặt đáy, tam giác BCD vuông tại B . Khẳng định nào đúng? A. Góc giữa CD và  ABD  là CBD B. Góc giữa AC và  BCD  là ACB C. Góc giữa AD và  ABC  là ADB D. Góc giữa AC và  ABD  là CBA L i gi i Chọn B Do AB  ( BCD) nên BC là hình chiếu của AC lên  BCD  A Suy ra góc giữa AC và  BCD  là  AC ; BC   ACB D B C Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác S . ABC , có ABC là tam giác đều cạnh a , SA  SB  SC  a 3 . Góc giữa SA và  ABC  có số đo gần nhất với số đo nào dưới đây ? A. 45 B. 60 C. 3526 ' L i gi i Chọn D D. 7031' Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 - Gọi AI , CK lần lượt các đường cao trong tam giác ABC , S H  AI  CK - Ta có BC  AI ; BC  SI  BC  SH - Tương tự, CK  SH Suy ra SH   ABC  nên là hình chiếu của SA lên  ABC  C A H K   SA;  ABC     SA; AH   SAH I B 2 2 a 3 a 3 Xét tam giác SAH vuông tại H ;có AH  AI  .  3 3 2 3 a 3 AH 1 cos SAH   3   SAH  7031' SA a 3 3 Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA   ABCD  . Biết SA  a 6 . Tính góc giữa SC và  ABCD  . 3 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 75 . L i gi i Chọn A Ta có: SA   ABCD   SA  AC S   SC;  ABCD    SCA   ABCD là hình vuông cạnh a  AC  a 2, SA  a 6 3 A D a  tan   SA 3     30 . AC 3 α B C Ví dụ 6. Cho hình thoi ABCD có tâm O, BD  4a, AC  2a . Lấy điểm S không thuộc  ABCD  sao cho SO   ABCD  . Biết tan SBO  A. 30o . Chọn B 1 . Tính số đo của góc giữa SC và  ABCD  2 B. 45o . C. 60o . L i gi i D. 75o . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Ta có ABCD là hình thoi có BD  4a  BO  2a . SO 1 Mà tam giác vuông SBO có tan SBO    SO  a . BO 2 Ta có SO   ABCD   OC là hình chiếu của SC lên mặt S phẳng  ABCD  . A D   SC ,  ABCD     SC , AO   SCO . O Xét tam giác vuông SCO có SO a tan SCO    1  SCO  450 . CO a Vậy góc giữa SC và  ABCD  là 450 . B C Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . M là trung điểm CD. Biết SA  SC  SB  SD  a 2 , đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a . Gọi  là góc giữa SM và mặt đáy. Khi đó tan   ? A. 3 . 2 B. 3 . 2 C. 6 . 6 D. 2. L i gi i Chọn D +) Vì các tam giác SAC cân tại S nên SO  AC ; Tương tự SO  BD  SO   ABCD   OM là hình chiếu của SM lên  ABCD  S   SM ;  ABCD    SM ; OM  SMO +) Xét tam giác SMO vuông tại O ,có OM   tan   a 2 ; SO  a 2 SO a   2 OM a 2 2 A D α O B C PHẦN 3. LUYỆN TẬP TEST 1 Câu 1. Trong không gian cho đường thẳng  và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với  cho trước? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 2.Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 3. Mệnh đề nào sau đây có thể sai? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Câu 4.Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và ABC vuông ở B . Gọi AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai? A. SA  BC . B. AH  BC . C. AH  AC . D. AH  SC . Câu 5.Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là: A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB . C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A . D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB . Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB  AC và DB  DC . Khẳng định nào sau đây úng? A. AB   ABC  . B. AC  BD . C. CD   ABD  . D. BC  AD . Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA  SC và SB =SD . Khẳng định nào sau đây đây là khẳng định sai? A. SO   ABCD  . B. AC   SBD  . C. BD   SAC  . D. CD  AC . Câu 8. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ SH   ABC  , H   ABC  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . C. H trùng với trung điểm của AC . B. H trùng với trực tâm tam giác ABC. D. H trùng với trung điểm của BC . Câu 9. Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA   ABC  và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai? A. CH  SA . B. CH  SB . C. CH  AK . D. AK  SB . Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC . Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy ABC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định úng? A. O là trọng tâm tam giác ABC . B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. O là trực tâm tam giác ABC . D. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABC  và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABC và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. BC  SB . B.  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . C. IO   ABCD  . D. Tam giác SCD vuông ở D . Câu 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC  a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với ( ABC ) lấy điểm S sao cho SA  A. 300. a 6 . Tính số đo giữa đường thẳng SB và  ABC  2 B. 450. C. 600. D. 750. Câu 13. Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a . Trên đường thẳng qua O vuông góc với  ABCD  lấy điểm S b2  4ac . Biết góc giữa SA và  ABCD  có số đo bằng 450 . Tính độ dài SO. A. SO  a 3 . B. SO  a 2 . C. SO  a 3 . 2 D. SO  a 2 . 2 Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC  a . Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm BC . Biết SB  a . Tính số đo của góc giữa SA và  ABC  . A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 750 . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Câu 15. Cho hình chóp đều S . ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi  là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính  . A.   arcsin 1  33 . 4 B.   arcsin 1  33 . 8 C.   arcsin 1  33 . 8 D.   arcsin 2  33 . 8 TEST 2 Câu 1. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. D. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng với mặt phẳng và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc . B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng hoặc thuộc mặt phẳng thì a song song . C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng thì a vuông góc với b . D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Câu 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu a    và b  a thì b C. Nếu a   và b  a   . thì b    . B. Nếu a D. Nếu a   và a b thì b   .   và b    thì b  a . Câu 4. Trong không gian, cho các đường thẳng d , d1 , d 2 , trong đó, hai đường thẳng d1 và d 2 chéo nhau. Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d 2 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu d vuông góc với một trong hai đường thẳng d1 , d 2 thì d vuông góc với  P  . B. Nếu d vuông góc với cả hai đường thẳng d1 , d 2 thì d vuông góc với  P  . C. Nếu d vuông góc với  P  thì d vuông góc với cả hai đường thẳng d1 , d 2 . D. Nếu d vuông góc với  P  thì d vuông góc với ít nhất một trong hai đường thẳng. Câu 5. Cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai ? A. AB  CD B. AC  BD C. BC  AD D. AC  BC Câu 6. Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông tại B và SA  ( ABC ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB và M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SA  SC. B. AH  SC. C. SB  BC. D. SM  AH . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy  ABCD  . Goi I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. IO   ABCD  . B.  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . C. BD  SC . D. SA  SB  SC . Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . Khẳng định nào sau đây sai ? A. CK  HD . B. CK  SC . C. CK  SD . D. CK  SA . Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a  12 . Gọi  P  là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD . Thiết diện của  P  và hình chóp có diện tích bằng: A. 36 . B. 36 2 C. 36 3 . D. 40 . Câu 10. Cho hình chóp S . ABCD , SA   ABCD  , SA  a , mặt ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a . M là điểm thuộc cạnh AB , đặt AM  x  0  x  a  . Mặt phẳng  qua M và vuông góc với AB cắt CD, SC , SB lần lượt tại N , P, Q . Tính diện tích MNPQ theo a và x . A. a 2 . B. a 2  x 2 . C. a 2  x 2 . D. x 2  a 2 . Câu 11. Cho hình thang ABCD vuông ở A và D , SD  ABCD . Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng  DMC  cắt hình chóp theo thiết diện gì? A. Hình vuông. B. Hình thang cân. C. Hình bình hành. D. Hình thang vuông.     Câu 12. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB, CC  . Thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN là hình gì? A. Hình vuông. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình thang vuông. Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA   ABCD  . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng  P  qua M vuông góc với đường thẳng SA . Diện tích thiết diện của mặt phẳng  P  với khối chóp bằng mấy lần diện tích đáy? 1 1 1 . C. . D. . 2 4 6 S . ABC ABC BC  a Câu 14. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông, cạnh huyền . Hình chiếu vuông góc A. 2 . B. của S lên  ABC  trùng với trung điểm của BC . Biết SB  a . Số đo của góc giữa SA và  ABC  là A. 75 . . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 15.Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH vuông góc với  ABCD  . Gọi  là góc giữa BD và  SAD  . Tính sin  . 3 10 6 1 . B. sin   . C. sin   . D. sin   . 2 2 4 4 Câu 16. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và tam giác ABC vuông tại A. Gọi H , K lần lượt là trực A. sin   tâm các tam giác ABC và SBC . Số đo góc giữa AK và  SBC  là A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 120 . Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết AB  a , góc giữa MN và mặt phẳng đáy bằng 45 . Tính SO . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin a 10 a 5 . D. SO  . 2 4 Câu 18. Trong mặt phẳng   cho đường tròn đường kính cố định BC và một điểm M di động trên đường A. SO  a 10 . 2 Hình học 11-Chương 3 B. SO  a 5 . 4 C. SO  tròn này. Trên dường thẳng d vuông góc với   tại B lấy một điểm A . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC . Tìm tập hợp điểm H khi M di động. A. H thuộc đường tròn đường kính BK . B. H thuộc đường tròn đường kính AC . C. H thuộc đường tròn đường kính BM . D. H thuộc đường tròn đường kính AB . Câu 19. Cho hình tam giác đều ABC và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  ABC  tại A . M là một điểm lưu động trên d , E là chân các đường cao hạ từ B của tam giác MBC và D là trung điểm cạnh AC . Tìm tập hợp của E . A. E thuộc đường tròn đường kính CB . B. E thuộc đường tròn đường kính AB . C. E thuộc đường tròn đường kính AD . D. E thuộc đường tròn đường kính DC . Câu 20. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho MA2  MB 2  MC 2  3MO 2 . A. M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG , trong đó I là một điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm tam giác ABC . B. M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG , trong đó I là một điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm tam giác ABC . C. M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG và G là trọng tâm tam giác ABC . D. M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG và G là trọng tâm tam giác ABC . Câu 21. Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC A. Đường thẳng d   ABC  tại tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . B. Đường thẳng d   ABC  tại tâm đường tròn nội tiếp ABC . C. Đường thẳng d   ABC  . D. Đường thẳng d / /  ABC  . Câu 22. Cho tứ diên SABC có SA   ABC  . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC . Các đường thẳng AH , SK , BC thỏa mãn. A. Đôi một vuông góc. B. Chéo nhau. C. Song song. D. Đồng quy. Câu 23. Cho góc tam diện Sxyz với xSy  120, ySz  60, zSy  90 . Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho SA  SB  SC  a . Tam giác ABC có đặc điểm gì trong các đặc điểm sau? A. Vuông cân. B. Đều. C. Cân nhưng không vuông. D. Vuông nhưng không cân. OABC Câu 24. Cho tứ diện có OA, OB, OC đôi một vuông góc, H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mp(ABC), M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA2 MB 2 MC 2 T   OA2 OB 2 OC 2 A. min T  3 . B. min T  2 . C. min T  4 . D. min T  6 . Câu 25. Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng  ABC  . Tìm giá trị nhỏ nhất của M   2  cot 2   2  cot 2   2  cot 2   . A. 8 . B. 64 . C. 1 . D. 64 2 . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 TEST 3. Câu 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Chọn khẳng định sai: A. A là hình chiếu vuông góc của S lên mp  ABCD  . B. B là chiếu vuông góc của C lên mp  SAB  . C. D là chiếu vuông góc của C lên mp  SAD  . D. D là hình chiếu vuông góc của A lên mp  SCD  . Câu 2. Cho hình chóp S . ABCD ; SA vuông góc với đáy  ABCD  ; ABCD là hình vuông. Đường thẳng SA vuông góc với đường thẳng nào sau đây ? A. SB . B. SD . C. BC . D. SC . Câu 3. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ? A. a vuông góc với hai đường thẳng bất kì cắt nhau trong ( ) . B. a vuông góc với hai đường thẳng bất kì song song nhau trong ( ) . C. a vuông góc với hai đường thẳng bất kì trong ( ) . D. A và B sai. Câu 4. Chọn khẳng định đúng. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB thì: A. Song song với AB . B. Vuông góc với AB . C. Đi qua trung điểm của AB . D. Cả B và C đều đúng. Câu 5. Cho tứ diện ABCD có AB  AC và DB  DC . Khẳng định nào sau đây úng? A. AB   ABC  . B. AC  BD . C. CD   ABD  . D. BC  AD . Câu 6. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm BC , J là hình chiếu của A lên BC . Khẳng ịnh nào sau ây úng ? A. BC  ( SAJ ) . B. BC  ( SAB) . C. BC  ( SAC ) . D. BC  ( SAM ) . Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và AB  BC . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC . H là hình chiếu vuông góc của O lên  ABC  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H là trung điểm cạnh AB . C. H là trực tâm của tam giác ABC . B. H là trung điểm cạnh AC . D. H là trọng tâm của tam giác ABC . Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông. A. SBC . B. SCD . C. SAB . D. SBD . Câu 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD  . Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB , SC , SD theo thứ tự tại H , M , K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. AK  HK . B. HK  AH . C. BD  AK . D. AH  SB . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Hình học 11-Chương 3 Câu 10. Cho tứ điện đều ABCD , góc giữa AB với mặt đáy  BCD  là  , khi đó cos  bằng: A. 3 . 3 B. 3 . 2 C. 2 . 2 D. 1 . 2 Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bằng nhau, góc giữa SD với mặt đáy  ABCD  bằng: A. 90 . B. 60 C. 45 . D. 30 . Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  3a, AD  2a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a . Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mp  ABS  . Khi đó tan  bằng? A. 5 . 10 B. 14 . 11 C. 17 . 7 D. 10 . 5 Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA   ABCD  và SA  a 6 . Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng  ABCD  gần bằng? A. 74 . B. 55 . C. 81 . D. 63 . Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp  ABCD  . Gọi a là góc giữa BD và mp  SAD  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. cos a  3 . 2 2 B. sin a  3 . 2 2 C. a  60 . D. a  30 . Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD , với đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD  8 , BC  6 , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  6 . Gọi M là trung điểm AB .  P  là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết diện của  P  và hình chóp có diện tích bằng? A. 10 . B. 20 . C. 15 . D. 16 .